Задачи по эконометрике и финансовой математике

4.5. Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего X1 (т.), браке литья X2 (%) и себестоимости одной т. литья Y (руб.) по 25 литейным цехам заводов:

i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi i X1i X2i Yi

1 14,6 4,2 239 10 25,3 0,9 198 19 17 9,3 282

2 13,5 6,7 254 11 56 1,3 170 20 33,1 3,3 196

3 21,5 5,5 262 12 40,2 1,8 173 21 30,1 3,5 186

4 17,4 7,7 251 13 40,6 3,3 197 22 65,2 1 176

5 44,8 1,2 158 14 75,8 3,4 172 23 22,6 5,2 238

6 111,9 2,2 101 15 27,6 1,1 201 24 33,4 2,3 204

7 20,1 8,4 259 16 88,4 0,1 130 25 19,7 2,7 205

8 28,1 1,4 186 17 16,6 4,1 251

9 22,3 4,2 204 18 33,4 2,3 195

Необходимо: а) найти множественный коэффициент детерминации и пояснить его смысл; б) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2, оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне; в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности; г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т. литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т., а брак литья 5%.

Решение.

1) Найдем уравнение парной регрессии Y на X1. Наиболее распространенной формой связи является линейная парная регрессия вида y=a+bx. Для нахождения коэффициентов применяем метод наименьших квадратов. Получаем систему нормальных уравнений:

Для подсчета коэффициентов используется расчетная таблица, три последних столбца нужны для оценки приближения, заполняются после нахождения коэффициентов.

i X1i X2i Yi X1i*Y (X1)² Y²

1 14,6 4,2 239 3489,4 213,2 57 121

2 13,5 6,7 254 3429 182,3 64 516

3 21,5 5,5 262 5633 462,3 68 644

4 17,4 7,7 251 4367,4 302,8 63 001

5 44,8 1,2 158 7078,4 2007 24 964

6 111,9 2,2 101 11 301,9 12 522 10 201

7 20,1 8,4 259 5205,9 404 67 081

8 28,1 1,4 186 5226,6 789,6 34 596

9 22,3 4,2 204 4549,2 497,3 41 616

10 25,3 0,9 198 5009,4 640,1 39 204

11 56 1,3 170 9520 3136 28 900

12 40,2 1,8 173 6954,6 1616 29 929

13 40,6 3,3 197 7998,2 1648 38 809

14 75,8 3,4 172 13 037,6 5746 29 584

15 27,6 1,1 201 5547,6 761,8 40 401

16 88,4 0,1 130 11 492 7815 16 900

17 16,6 4,1 251 4166,6 275,6 63 001

18 33,4 2,3 195 6513 1116 38 025

19 17 9,3 282 4794 289 79 524

20 33,1 3,3 196 6487,6 1096 38 416

21 30,1 3,5 186 5598,6 906 34 596

22 65,2 1 176 11 475,2 4251 30 976

23 22,6 5,2 238 5378,8 510,8 56 644

24 33,4 2,3 204 6813,6 1116 41 616

25 19,7 2,7 205 4038,5 388,1 42 025

∑ 919,2 87 5088 165 106 48 690 1 080 290

Получаем следующую систему уравнений:

Решаем систему, получаем уравнение регрессии:

Y=257,7604 1,4752X.

С увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 1.48 рубля. Влияние не учтенных в данной модели факторов характеризуется коэффциентом 257.7604.

2. Для нахождения уравнения множественной регрессии используется табличный редактор Microsoft Excel. Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Это означает, что если принимать во внимание производственный брак, то с увеличением выработки литья на 1 тонну себестоимость тонны литья снижается в среднем на 0.94 рубля, с увеличением брака на 1% себестоимость тонны литья увеличивается в среднем на 16.94 рубля. Влияние прочих, не учтенных в модели факторов, характеризуется коэффициентом 164.1406.

3. Чтобы оценить значимость уравнения парной регрессии на уровне =0.05, необходимо сравнить фактическое и табличное значение F-критерия Фишера. Для расчета фактического значения нужно найти линейный коэффициент парной корреляции согласно формуле:

Подставляем значения среднеквадратических отклонений, получаем

Связь тесная, обратная.

Вычисляем фактическое значение критерия:

Это значение больше табличного 2.08, следовательно, уравнение является значимым.

Вариация результата на 50,89% объясняется вариацией фактора X1.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 15.12%, что говорит о повышенной ошибке аппроксимации.

Оценим уравнение множественной регрессии. Критическое значение критерия Фишера найдено с помощью табличного редактора Microsoft Excel, F=66.69 367. Табличное значение для уровня значимости =0.05 равно 2.08, оно меньше критического, следовательно, уравнение множественной регрессии является значимым.

Коэффициент множественной корреляции равен 0.941 785, связь весьма тесная, прямая.

Значения скорректированного и некорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации равны соответственно 0.87 366 и 0.886 959. Некорректированный коэффициент множественной детерминации характеризует долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата, эта доля равна 88.7%, что указывает на тесную связь факторов с результатом. Скорректированный коэффициент множественной детерминации не зависит от числа факторов в модели, определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Сравнивая модели, построенные с учетом брака и без учета брака, получаем, что модель, построенная с учетом брака, точнее описывает производственный процесс, чем модель, построенная без учета брака. Коэффициент указывает на высокую детерминированность результата y (более 80%) факторами X1, X2.

4. Чтобы установить значимость коэффициента регрессии при X2, нужно рассматривать значение частного F-критерия, это значение оценивает статистическую значимость присутствия фактора в уравнении. Частное значение критерия, согласно приложению табличного редактора F=7.5399, это означает, что коэффициент регрессии при X2 является значимым, поскольку частное значение критерия больше табличного 2.08 на уровне значимости =0.05. Проверим результат, используя критерий Стьюдента. При этом выдвигается гипотеза о случайной природе показателей H0, то есть о незначительном отличии показателей от нуля. Затем проводится оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции путем сопоставления значений с помощью t-критерия Стьюдента.

Расчет значения t-критерия Стьюдента для коэффициента при X2 найдем как квадратный корень из соответствующего частного F-критерия Фишера:

Это значение больше табличного 2.10, следовательно, коэффициент регрессии при X2 является статистически значимым, гипотеза H0 отвергается.

5. Найдем 95%-ный доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья в цехах, в которых выработка литья на 1 работающего составляет 40 тонн, используя уравнение парной регрессии пункта 1.

Оценки уравнения регрессии, как выяснилось в предыдущих пунктах, позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение выработки литья на 1 работающего, по условию, равно 40 тонн.

Рассчитаем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле:

Найдем

Используем дополнительную расчетную таблицу для определения стандартной ошибки.

I X1i Y Yx Y-Yx (Y-Yx)² X1i;

(X1i-)²

1 58 170.4 185.17 -14.77 218.1529 8.83 77.9689

2 64 171.6 173.58 -1.98 3.9204 14.83 219.9289

3 39.5 233.3 220.9 12.4 153.76 -9.67 93.5089

4 43.8 157.8 212.59 -54.79 3001.944 -5.37 28.8369

5 29.3 291.7 240.59 51.11 2612.232 -19.87 394.817

6 43.8 191.8 212.59 -20.79 432.2241 -5.37 28.8369

7 36.5 301.7 226.69 75.01 5626.5 -12.67 160.5289

8 74.6 201.3 153.12 48.18 2321.312 25.43 646.6849

9 38.1 219 223.6 -4.6 21.16 -11.07 122.5449

10 18.6 225.3 261.26 -35.96 1293.122 -30.57 934.5249

11 22.2 217.4 254.3 -36.9 1361.61 -26.97 727.3809

12 76.6 182.8 149.25 33.55 1125.602 27.43 752.4049

13 37.9 245.5 223.99 21.51 462.6801 -11.27 127.0129

14 51.8 204.3 197.14 7.16 51.2656 2.63 6.9169

15 75.4 164 151.57 12.43 154.5049 26.23 688.0129

16 28.4 268 242.33 25.67 658.9489 -20.77 431.3929

17 48.2 199.6 204.1 -4.5 20.25 -0.97 0.9409

18 71.6 114.1 158.91 -44.81 2007.936 22.43 503.1049

19 75.4 113.3 151.57 -38.27 1464.593 26.23 688.0129

20 49.7 171.6 201.2 -29.6 876.16 0.53 0.2809

 983.4 4044.5 23 867.88 7057.296

Таким образом, стандартная ошибка прогноза будет вычислена с помощью расчетных значений:

Построим доверительный интервал прогноза. Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% случаев, составит

Обратимся к найденному в пункте 1 уравнению линейной регрессии:

Для построения доверительного интервала вычислим прогнозное значение y с помощью уравнения линейной регрессии:

Далее строим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала прогноза по формулам:

Таким образом, доверительный интервал для среднего значения себестоимости 1 тонны литья построен.

1.2. Ссуда получена 15 марта и должна быть возвращена 5 июля. Размер ссуды 20 млн руб. Простая ставка 15% годовых. Найти совокупный долг (первоначальная ссуда с процентами) исходя а) из английской, б) из французской и в) из германской практики определения процентов.

(а S=20,921 млн руб.; б S=20,933 млн руб.; в S=20,913 млн руб.)

Решение.

Предварительно определим число дней ссуды: точное 112, приближенное 110.

А) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

млн. руб.

б) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):

млн. руб.

в) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360):

млн. руб.