«Косой изгиб» балки

" Косой изгиб" балки

Балка прямоугольного поперечного сечения нагружена сосредоточенной силой F, равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью p и моментом в виде пары сил m, как показано на рисунке 1. В опорах балки возникают реакции, действующие в главных центральных плоскостях инерции. Допускаемое напряжение для стали [у] = 160 МПа Требуется.

• 1. Провести и обозначить в поперечном сечении балки главные центральные оси инерции z и у, ось х совместить с осью балки.
• 2. Составить расчетную схему балки, нагруженной внешними нагрузками в главной центральной плоскости уох.
• 3. Построить эпюру изгибающих моментов относительно оси z (Mz).
• 4. Составить расчетную схему балки, нагруженной внешними силами в главной центральной плоскости zох.
• 5. Построить эпюру изгибающих моментов относительно оси y (My).
• 6. Определить положение опасного сечения балки.
• 7. В опасном сечении балки провести нейтральную ось и установить положения опасных точек.
• 8. Определить нормальные напряжения в выступающих угловых точках опасного сечения балки.
• 9. Построить для опасного сечения балки эпюру нормальных напряжений в аксонометрии.

Решение

Вертикальная плоскость.

Проведем для поперечных сечений балки главные центральные оси инерции y, z, а ось х совместим с осью балки (рисунок 1, а). Спроектируем силы, действующие на балку, в главную центральную плоскость инерции yox. балка инерция эпюра.

Составляем расчетную схему балки, нагруженной внешними силами в плоскости yox и, соответственно, изгибающими ее относительно оси z (рисунок 1, б).

Рисунок 1. — Расчетные схемы и эпюры изгибающих моментов в сечениях балки.

Решаем уравнения равновесия и определяем величины реакций опор Проверяем правильность найденных результатов.

Условие равновесия выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Находим поперечные силы и изгибающие моменты методом сечений. Балка имеет четыре участка нагружения.

Участок I:

Участок II:

Участок III:

По полученным результатам строим эпюру изгибающего момента Mz.

Горизонтальная плоскость.

Спроектируем силы, действующие на балку, в главную центральную плоскость инерции zox.

Составляем расчетную схему балки, нагруженной изгибающими ее относительно оси z (рисунок 1, в). Составим уравнения равновесия.

Решаем уравнения равновесия и определяем величины реакций опор Проверяем правильность найденных результатов.

Условие равновесия выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Находим поперечные силы и изгибающие моменты методом сечений. Балка имеет два участка нагружения.

Участок I:

Участок II:

На втором участке изгибающий момент Мz имеет экстремальное значение. Приравнивая к нулю выражение поперечной силы, найдем расстояние до сечения с экстремальным значением изгибающего момента и величину изгибающего момента в этом сечении.

Участок III:

Участок IV:

По полученным результатам строим эпюру изгибающего момента Mz.

Находим положение опасного сечения балки. Как показывают эпюры изгибающих моментов Мz и Мy, опасное сечение может располагаться.

на расстоянии 2,9м от точки В ().

под опорой С ().

Определим величину максимального напряжения в этих сечениях по формуле:

где Wz и Wy? момент сопротивления поперечного сечения относительно, соответственно, осей z и y.

Моменты сопротивления сечения балки.

Величина максимального напряжения в опасных сечениях.

Значит, опасным сечением является сечение II, так как.

Условие прочности в опасной точке сечения II для деревянной балки с пределом прочности.

не выполняется, поэтому подбираем новый размер сечения, сохраняя соотношение.

Моменты сопротивления нового сечения балки.

Определяем новую ширину поперечного сечения балки из условия.

Тогда.

Принимаем по ряду нормальных линейных размеров Величины моментов сопротивления нового сечения балки.

Условие прочности в опасной точке сечения II для нового сечения балки.

выполняется.

Моменты инерции сечения балки.

Определяем в опасном сечении балки положение нейтральной оси:

Откладываем от оси z против хода часовой стрелки угол в и проводим нейтральную ось (рисунок 2). Опасными точками будут точки опасного поперечного сечения, наиболее удаленные от нейтральной оси, т. е. точки 1 и 3.

Рисунок 2 — Опасное сечение балки

Для построения эпюры нормальных напряжений определим напряжения в выступающих угловых точках (1, 2, 3, 4) опасного поперечного сечения (рисунок 3) по формуле:

При выполнении расчетов величины изгибающих моментов Мz и Мy принимаем по модулю, а знаки перед каждым слагаемым ставим с учетом характера деформации в точке (растяжение? «+», сжатие? «?»).

По найденным значениям строим в аксонометрии эпюры нормальных напряжений, действующих по граням опасного сечения балки (рисунок 3). Из эпюр видно, что в точках, в которых нейтральная ось пересекает контур сечения, нормальные напряжения равны нулю.

Рисунок 3. — Эпюры нормальных напряжений, действующих по граням опасного сечения балки.