Оценка реальных опционов с использованием модели Блека — Шольца

Биномиальная модель и модель Блека — Шольца

Связь биномиальной модели и модели Блека — Шольца

Рассматривая применение биномиальной оценки реальных опционов мы исходили из того, что число звеньев дерева решений дискретно и известно нам.

Действительно, логика требует, чтобы звенья дерева располагались таким образом, чтобы соответствовать частоте принятия «судьбоносных» решений для компании или проекта. То есть узлы дерева должны быть одновременно теми точками во времени, в которых принимаются стратегические решения о сокращении, развитии, переключении бизнеса и т. п.

А как быть, если бизнес требует постоянного мониторинга и ситуация может измениться в любую минуту?

Построим многозвенное бинарное дерево, а затем будем увеличивать в нем число звеньев, сокращая временные интервалы между его узлами. По мере того как длина каждого временного интервала все больше и больше приближается к нулю, дискретная биномиальная модель превращается в модель Блека — Шольца, отражающую непрерывный во времени процесс.

Таким образом, основное различие между моделями состоит в том, что одна является дискретной и предполагает наличие заранее известного конечного числа интервалов (звеньев) бинарного дерева, а другая — непрерывной и основывается на том, что число звеньев дерева бесконечно велико, а длина каждого интервала соответственно бесконечно мала.

Формула Блека — Шольца

Формальная запись модели Блека — Шольца, выведенной для оценки премии по европейскому опциону CALL, выглядит следующим образом:

d2=d (- ал/7 С0 — текущая цена опциона CALL;

50 — текущая цена базового актива. Предполагается, что актив не приносит текущего дохода (дивиденда, купона); X — цена исполнения опциона; е — основание натурального логарифма (е = 2,718); г — ставка безрисковой доходности, исчисленная по способу непрерывных процентов,.

где гj — годовая ставка безрисковой доходности, доли сд.; Т, t — время до исполнения опциона CALL; In — знак натурального логарифма;

о — среднеквадратическое отклонение цены базисного актива за год, доли ед.;

N (d) — кумулятивная функция нормального распределения. Таблица ее значений представлена в приложении 2.

Формула выведена исходя из риск-нейтрального подхода и предполагает, что опцион европейский, а по базисному активу текущий доход не начисляется. Расчетная цена опциона зависит от вероятности того, что к моменту исполнения он окажется выигрышным. Вероятность в формуле учитывается с помощью множителей N (¿0. В качестве вероятностной модели цены базисного актива принято логарифмически-нормальное распределение.

Вместе с тем если стоит задача оцепить американский реальный опцион, то, как было сказано выше, модель также может быть применена для его консервативной оценки (цена европейского опциона является нижним пределом для цены американского опциона с такими же условиями выпуска).

Оценка реальных опционов CALL с использованием модели Блека — Шольца

Проиллюстрируем использование модели Блека — Шольца для оценки реальных опционов CALL. С этой целью рассмотрим три практические задачи, в которых обычно требуются подобные оценки:

• • оценка перспектив роста (опцион на тиражирование опыта или увеличение производственной мощности);
• • оценка нематериальных активов, таких, как права, патенты, лицензии и т. п.;
• • оценка бизнеса в целом и проектов по слияниям и поглощениям (так называемых аквизиционных проектов).

Опцион на будущее развитие

При анализе перспектив будущего развития ценность опциона обычно прибавляется к ценности бизнеса или проекта, определенной по традиционной ОС^ -технологии. В качестве цены исполнения опционах используются вложения капитала в развитие (расширение, тиражирование опыта). Текущая ценность базисного актива (5) — это приведенная к сегодняшнему дню оценка денежных потоков, которые генерируются бизнесом (довольно часто она меньше, чем цепа исполнения). Время (7) в модели Блека — Шольца применительно к реальным опционам — это срок, в течение которого возможно принять решение о расширении бизнеса.

В качестве безрисковых ставок обычно на практике используют так называемые псевдобезрисковые уровни доходности, которые представляют собой безрисковую доходность (чаще всего по казначейским векселям США), увеличенную на размер премии, зависящей от кредитного рейтинга страны, где происходит оценка (табл. 6.4.1).

ТАБЛИЦА 6.4.1. Безрисковая ставка с премией за страновые риски (псевдобезрисковые уровни доходности)