Обучающий эксперимент. 
Методика обучения математике. 
Формирование приемов математического мышления

Формирование предварительных знаний и умений

Предварительный анализ содержания материала, отобранного для усвоения, а также результаты определения исходного уровня познавательной деятельности учащихся позволили выявить знания и умения, которые необходимо было сформировать до организации усвоения обобщенного умения по выполнению элементарных геометрических преобразований. Система предварительных знаний и умений включала в себя:

• 1. Понятие ориентированной фигуры, вектора, направленного угла, понятие о их равенстве и умение их построить.
• 2. Понятие расстояния между фигурами.
• 3. Понятие коэффициента гомотетии (подобия).
• 4. Действие распознавания.

Без знания этой системы предварительных понятий и действий невозможно было обеспечить усвоение основного раздела экспериментальной программы — умения выполнять преобразования. Так, понятие вектора, равенства векторов и умение их построить необходимо для совершения параллельного переноса, понятие направленного угла — для выполнения преобразования вращения вокруг точки и оси; умение анализировать коэффициент гомотетии (подобия) необходимо для построения гомотетичных (подобных) фигур и т. д. В качестве основного средства усвоения этих знаний использовалось действие распознавания, которым учащиеся не владели. В силу этого оно было сделано предметом специального усвоения.

В ходе формирования отобранного предварительного материала учащиеся усваивали не только неизвестные им математические понятия (вектор, направленный угол и т. д.), но и знакомились с новым для них методом работы — поэтапной отработкой каждого понятия. Она предполагала в данном случае формирование специфической части ориентировочной основы действия распознавания для каждого понятия (формирование необходимых и достаточных признаков понятия) и логической (общей всем понятиям) части ориентировочной основы, т. е. приема установления принадлежности (или непринадлежности) данного объекта соответствующему понятию. Наряду с этим, учащихся обучали различным методам контроля по выполнению заданий: парному контролю и методу декодирования химических шифровокТакая предварительно проведенная работа исключала необходимость отработки этих действий при изучение основного материала — умения выполнять геометрические преобразования.

Все предварительные знания и умения отрабатывались у учащихся по методике формирования умственных действий и понятий. Как указывалось выше, средством формирования предварительных понятий являлось действие распознавания. Вначале это действие строилось в материальной или материализованной форме. На карточку столбиком выписывались признаки формируемого понятия. Имелись карточки, на которых было выписано предписание по распознаванию этих признаков. Например, предписание по распознаванию признаков понятия «вектор» (имеющего два признака, соединенных между собой конъюнктивно) на материальном этапе имело следующий вид:

Карточка № 1.

• 1. Прочтите задание.
• 2. Возьмите карточку с признаками вектора.

I. 3. Прочтите вслух первый признак.

• 4. Найдите, что об этом признаке говорится в условии.
• 5. Отметьте результат в схеме знаками +, -, 7^[1]
• 6. Проверьте с помощью шифровки этот признак.

II. 7. Прочтите вслух второй признак.

• 8. Найдите, что об этом признаке говорится в условии.
• 9. Отметьте результат в схеме знаками?
• 10. Проверьте с помощью шифровки этот признак.

III. 11. Сравните полученные в схеме результаты с логическим правилом (карточка № 2).

• 12. Отметьте ответ в схеме знаками +, -, ?
• 13. Проверьте ответ с помощью шифровки.

На карточке № 2 была дана обобщенная схема логического правила распознавания:

Карточка № 2.

1. Если все признаки «+», ответ «+».

2. Если хотя бы один признак «-», ответ «-».

3. Если хотя бы один признак «?» и нет признаков «—», ответ «?».

Каждый ученик имел карточки с признаками формируемых понятий, предписаниями и логическим правилом, а также напечатанные задания.

Кроме карточек и заданий учащимся давались модели (модель вектора — отрезок со стрелкой; циферблат с нанесенной на нем градусной сеткой, на котором отрабатывались признаки направленного угла, и т. д.), чертежи.

На одном-двух примерах учащимся объяснялось и показывалось, как пользоваться карточками с признаками, логическим правилом работы с ними, предписаниями. Учащимся также объяснялось, какие операции и в какой последовательности они должны выполнять. Кроме того, объяснялся принцип работы с шифровкой. Затем учащиеся приступали к самостоятельному выполнению заданий, пользуясь карточками.

При этом в условиях индивидуального эксперимента первые 2—3 задания выполнялись при непосредственном контроле и корректировке со стороны экспериментатора каждой операции, выполняемой каждым испытуемым. В условиях группового обучения эти задания выполнялись совместно с учителем одним учащимся на доске, а остальными в их тетрадях. Последующие задания учащиеся выполняли самостоятельно.

После выполнения 5—8 заданий учащиеся, как правило, запоминали и систему необходимых и достаточных признаков формируемого понятия (число признаков не превышало трех, связь между признаками во всех предварительных понятиях была конъюнктивная), и логическое правило, и предписание по распознаванию признаков, осваивали и метод работы с шифровками.

Работая на материальном (материализованном) этапе, учащиеся читали вслух (в условиях группового эксперимента прочитывали шепотом) каждый пункт предписания и выполняли его, причем выполнение следовало непосредственно за прочтением. Такой метод работы готовил перевод действия в следующую форму — в форму «громкой речи».

На этапе «громкой речи» карточки с признаками и логическим правилом убирались.

Предписание по выполнению заданий менялось: вместо пункта «прочти вслух первый (второй) признак» появлялся пункт «запиши (проговори) первый (второй) признак». (В условиях индивидуального эксперимента на этом этапе работы с понятиями использовалось проговаривание, а в условиях группового обучения эта форма действия была заменена другой формой внешней речи — прописыванием. Кроме того, происходило сокращение действия распознавания: снимались указания относительно отметки результатов наличия (отсутствия или неизвестности) признаков в схеме с помощью знаков +, —,? Учащиеся, проговорив (прописав) требуемые признаки, сразу же отмечали свои результаты в шифровке по каждому признаку и окончательный ответ).

Если при выполнении 1—2 заданий кто-либо из учащихся забывал какой-то из пунктов предписания или один из признаков, то ему разрешалось взять соответствующую карточку и посмотреть. Следующие 2—3 задания каждый из учащихся выполнял самостоятельно, не пользуясь карточками с признаками и логическим правилом.

Таким образом, и на этапе громкой речи процесс выполнения задания был пооперационным.

Успешное выполнение заданий на этапе громкой речи позволяло переходить к следующему этапу — внешняя речь про себя. На этом этапе работы правильность выполнения каждой операции и конечного ответа контролировались также с помощью шифровки.

Учащиеся выполняли задания (3—4 задачи), ничего не проговаривая вслух и не прописывая; в предписании по выполнению заданий имелось указание: «Назови про себя первый (второй) признак». Затем это требование снималось, и все действие выполнялось в умственном плане. Пооперационный контроль по выполнению действия полностью снимался. Теперь, в соответствии с новым предписанием, учащиеся не должны были отмечать в шифровке результаты проверки каждого признака формируемого понятия. Выполнение заданий (4—6) проходило следующим образом: учащиеся про себя читали задание и сразу же отмечали окончательный ответ в шифровке. Если учащиеся на этом этапе работали безошибочно, то мы считали, что данное понятие усвоено.

Таким образом, в процессе формирования предварительных понятий учащиеся усваивали как специфическую часть, так и логическую часть ориентировочной основы действия распознавания. Логическая часть была усвоена уже при поэтапной отработке понятия «вектор» параллельно с поэтапной отработкой специфической части — необходимых и достаточных признаков этого понятия. При формировании последующих предварительных понятий (равенство векторов, направленные углы, расстояние между фигурами и т. д.) поэтапную обработку проходила только специфическая часть ориентировочной основы действия распознавания, логическая часть была та же самая и выполнялась сразу в умственной форме.

О сформированное™ действия распознавания (особенно его логической части) говорят также те задания, которые составляли сами учащиеся. Так, им предлагалось составить такое задание «на вектор», когда имеется первый признак этого понятия, а о втором ничего неизвестно. Задания учащихся отмечались разнообразием, интересным содержанием и некоторые из них в дальнейшем были включены в обучающую программу.

При организации усвоения каждого из предварительных понятий и действий еще до начала обучения экспериментатором намечались группы заданий, имеющие своей целью отработку этих знаний на соответствующем этапе их формирования.

Указание относительно выполнения заданий на определенном этапе давалось ученику письменно. Оно было включено в предписание по выполнению этих заданий, где наряду с такими указаниями, как «найдите, что об этом признаке говорится в условии задачи», или «проверьте с помощью шифровки этот признак», было и специальное указание, касающееся этапа обработки. Например, указание «прочтите вслух первый признак понятия» давалось на материальном (материализованном) этапе, «назовите вслух (запишите) первый признак» — на громкоречевом и т. д.

Количество заданий, которые должны были выполнить испытуемые на каждом этапе отработки, заранее планировалось экспериментатором. С этой целью им использовались данные о количестве заданий, полученные в ранее проведенных исследованиях, построенных на основании теории формирования умственных действий. Кроме того, при проведении второго индивидуального и последующих двух групповых экспериментов каждому из испытуемых давалась анкета. В ней Для вновь формируемого понятия и действия он должен был записать, достаточно ли (недостаточно, избыточно и на сколько) предлагаемое количество заданий на каждом этапе отработки (этапы перечислялись).

Анализ анкет показал, что количество заданий на каждом из этапов зависит от многих факторов: от сложности формируемых понятий и действий, в частности от количества необходимых и достаточных признаков, их логической структуры, от степени сформированности логической части действий распознавания, от индивидуальных способностей испытуемых и т. д. Например, при формировании понятия «вектор», которое отрабатывалось одним из первых (учащиеся знакомились с новым для них методом работы) на материальном (материализованном) этапе потребовалось в среднем 12—13 заданий. При формировании понятия направленного угла, когда у учащихся была отработана логическая часть действия распознавания, на этом этапе потребовалось 7—9 заданий.

После обработки анкет для поэтапной отработки каждого формируемого понятия и действия выбиралось среднее количество заданий. При проведении индивидуальных экспериментов количество заданий, необходимых для формирования всей системы предварительных знаний, составляло 150. Анализ хода обучения и анкет показал, что число заданий надо увеличить, и каждый из испытуемых следующих двух групповых экспериментов выполнил по 157 заданий.

Со всеми предложенными заданиями, использованными для усвоения системы предварительных знаний и умений, учащиеся справились успешно. Из 7780 заданий, предъявленных всем 50 испытуемым, 7583, т. е. 97,5%, были выполнены правильно, лишь при решении 197 задач, что составляет 2,5%, были допущены ошибки. Основное количество ошибок падает на начальный этап обучения, когда испытуемые осваивали новый для них метод работы.

Для проверки сформированности системы предварительных знаний и умений испытуемым была дана контрольная работа: каждый ученик должен был выполнить по 8 заданий. Результаты следующие: из 400 предложенных задач 395 (98,5%) были решены абсолютно правильно, т. е. учащиеся давали не только безошибочное решение, но и подробно обосновывали его. В пяти случаях (1,5%) решения также не содержали ошибок, но их аргументация была неполной. Не было ни одного случая, в котором наши испытуемые дали бы неверное решение.

Изложенные результаты свидетельствуют, таким образом, о том, что все намеченные предварительные знания и умения были сформированы, и это давало нам возможность перейти к основной части обучающего эксперимента — формированию обобщенного умения по выполнению элементарных геометрических преобразований.

• [1] См.: Решетова 3. А., Калошина И. П. Программированное обучение производственным навыкам. Сообщение III. Организация пооперационного контроля при формировании производственных умений и профессиональных знаний без применения обучающих машин // Новые исследования в педагогических науках. Вып. IV. М.: Просвещение, 1965.