Численное моделирование гидрофизических процессов в стратифицированных озерах

Антропогенное эвтрофирование, т. е. увеличение первичной продуктивности озер в результате обогащения их вод биогенными элементами, главным образом фосфором, стало во второй половине XX в. повсеместным явлением, охватившим около 90% всех озер мира, включая крупнейшие из них. Большая часть озер мира расположена в зоне умеренных широт северного полушария. Общей особенностью природных вод этой зоны в естественных условиях является слабая насыщенность их фосфором, который, как правило, и является одним из основных факторов, лимитирующих развитие автотрофных организмов — первичных продуцентов. Рост поступления биогенов, а также увеличение сброса загрязнений, как следствие промышленного роста и интенсификации сельского хозяйства, привели к развитию процесса антропогенного эвтрофирования озер. Необходимость борьбы с антропогенным эвтрофированием водоемов и их загрязнением, принявшими глобальный характер, стимулировала проведение широкого круга исследований в области лимнологии, математического моделирования, экономики, связанных с проблемой сохранения, восстановления и эффективного использования природных ресурсов озер. Экологическое состояние водных объектов зависит от большого числа разнообразных факторов и процессов: гидрофизических, гидробиологических, гидрохимических, метеорологических и антропогенных. Гидрофизические процессы в значительной мере формируют среду обитания гидробионтов, определяют перепое и седиментацию веществ, интенсивность загрязнения и самоочищения водоёмов.

Проблема качества воды является комплексной проблемой. Вода — это сложная физическая, биохимическая и экологическая система. Для того чтобы уметь предсказывать последствия тех или иных решений, необходим соответствующий инструмент, с помощью которого можно проанализировать массу весьма разнообразной информации. Таким инструментом является вычислительный эксперимент, основанный на математическом моделировании и численных методах. Эффективным средством анализа возникающих проблем являются методы, основанные на построении и совместном изучении математических моделей природных систем. Использование математического моделирования и проведение вычислительного эксперимента позволяют оценить аспекты и последствия реализации проектов, связанных с воздействием па природную среду, как в перспективе, так и при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций.

В настоящее время в прикладной математике при решении задач на ЭВМ сложилась технологическая цепочка, описывающая основные этапы вычислительного эксперимента: объект исследования — физическая модель — математическая модель — численный алгоритм — программа — расчёт на ЭВМ, сравнение с экспериментальными и другими данным [19, 79,91].

Решение задачи начинается, как правило, с формализации объекта и построения соответствующей математической модели, основным требованием к которой является адекватное описание физических процессов, протекающих в исследуемых системах. Однако охватить всё многообразие физических явлений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы, первостепенность которых определяется, в первую очередь, свойствами изучаемой системы и кругом моделируемых физических явлений. Известен ряд общих требований, предъявляемых к каждой математической модели: соответствующая система уравнений должна быть замкнутой и непротиворечивоймодель должна описывать широкий класс физических явлений и допускать конструирование реализуемого численного алгоритма.

На втором этапе вычислительного эксперимента для решения входящих в математическую модель уравнений при различных краевых условиях используется основной аппарат вычислительной математики — численные методы. Разрабатывается численный алгоритм и проводится его исследование.

На третьем этапе составляется вычислительная программа, реализующая построенный алгоритм. Далее проводятся вычисления на ЭВМ, выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими прогнозами, натурными данными и результатами физических экспериментов.

Одним из критериев выбора алгоритма, используемого при численном моделировании той или иной физической задачи, является объем вычислительной работы, необходимый для его реализации. Существует правило, что этот объем должен быть пропорционален реальным физическим изменениям, происходящим в моделируемой системе. Если алгоритм требует большого количества тяжелой вычислительной работы для расчета слабого эффекта или очень медленного физического процесса, то от такого «затратного» алгоритма следует, отказаться, выбрав более эффективный. Примером могут служить решения нестационарных задач, с шагом по времени (выбор которого диктуется условиями устойчивости) много меньшим масштаба реального изменения решения. Из вышесказанного можно сделать вывод, что создание адекватных математических моделей на основе «незатратных» алгоритмов является важной научной задачей.

Математические модели для расчета течений и температурного режима в озерах стали создаваться уже достаточно давно вслед за моделями циркуляции океана в 60-х годах. В 70-е годы были разработаны первые математические модели экосистем для американских Великих озер, озер Байкал и Ладожского. Но каждый гидрологический объектрека, озеро и т. д. — является частью географического ландшафта и одновременно комплексом взаимосвязанных физических явлений, происходящих внутри данного объекта. Взаимодействие же этого объекта с окружающей средой определяется метеорологическими условиями, разностью свойств и характеристик данного скопления воды и окружающей среды, физическими процессами, происходящими в данном объекте. Тесная связь окружающей среды и гидрологического объекта, их взаимное влияние делают задачи гидрофизических расчётов достаточно разнообразными и сложными, а методы их решения часто зависят не только от необходимой точности решения этих задач, но и от индивидуальных особенностей рассматриваемого объекта, не говоря уже об ограничениях, накладываемых имеющимися в распоряжении исследователя материалами наблюдений и трудоёмкостью расчётов.

При изучении характеристик качества воды необходимо исследование всей совокупности процессов — химических, биологических и гидрофизических. Гидрофизические процессы в значительной мере формируют среду обитания гидробионтов, определяют перенос и седиментацию веществ, интенсивность процессов загрязнения и самоочищения водоемов. Гидрофизические модели обеспечивают химико-биологические модели информацией о температуре воды в характерных зонах, водои массообмене между зонами.

В непроточных водоемах течения и перемешивание в основном происходят под действием ветрового напряжения. Картина ветровых течений зависит от геометрии водоема, направления и силы ветра, глубины и стратификации. Плотностная стратификация озера связана с неравномерными распределениями температуры и солености воды.

Известно, что существует связь между вертикальным распределением температуры и распределениями химических и биологических характеристик воды. Термоклин является слоем, препятствующим переносу кислорода и питательных веществ в гиполимнион. Кроме того, высокая температура сама оказывает существенное воздействие на физические и химические свойства воды и связанные с ними биологические процессы. В частности, при повышении температуры снижается растворимость кислорода. Для озера Шира имеются данные измерений сотрудников Института биофизики СО РАН по распределениям температуры, солёности и других компонентов водной системы в глубоководной части водоема. Из этих данных следует, что концентрации исследуемых величин зависят в основном от глубины, а не от горизонтальных координат. Хотя к настоящему времени созданы трёхмерные модели термогидродинамических процессов в водоёмах, они являются весьма ресурсоёмкими и не всегда удобными в использовании. Применение таких моделей значительно ограничивает скорость проведения вычислительных экспериментов. Следует отметить, что для использования трёхмерных моделей требуется большое количество входных данных, а при недостатке информации результаты моделирования не будут более точными, чем при использовании моделей с меньшей размерностью. Для достижения приемлемой для исследователей скорости расчёта и адекватного описания происходящих явлений в данной работе используются двумерные и одномерные модели.

Целью работы является разработка одномерной вертикальной и двумерной в вертикальной плоскости математических моделей гидрофизических процессов в озёрах, создание компьютерных программ для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озёрах, проведение численных расчётов по озеру Шира.

Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать одномерную и двумерную модели гидрофизических процессов в озёрах с использованием «незатратных» алгоритмов.

2. Создать программный комплекс для моделирования гидрофизических и гидробиологических процессов в озёрах.

3. Провести численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке двумерной в вертикальной плоскости математической модели гидрофизических процессов в озёрах на основе «незатратного алгоритма», проведение численного моделирования гидрофизических процессов в озере Шира.

Теоритическая и практическая значимость работы заключается в том, что разработанные численные модели и компьютерные программы могут быть использованы для исследования гидрофизических процессов в стратифицированных водоемах, проверки гипотез и прогноза при решении различных научно-исследовательских и практических задач, касающихся озёрных экосистем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предложенных методов и алгоритмов и подтверждается согласованием результатов численных расчетов с натурными данными и решениями тестовых задач.

Работы выполнены совместно с Институтом биофизики СО РАН и при поддержке грантов РФФИ-ККФН (проект № 05−01−97 700 ренисей), РФФИ-НВО (проект № 05−58 902 НВО), Министерства образования и науки Российской Федерации и Американского фонда гражданских исследований и развития (грант RUX0−002-KR-06, программа «Фундаментальные исследования и высшее образование»), интеграционного проекта СО РАН 24 «Роль микроорганизмов в функционировании живых систем», РФФИ (проект № 07−01−153 а).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Разработана двумерная в вертикальной плоскости математическая модель гидрофизических процессов в озёрах.

2. Разработан эффективный алгоритм на основе гидростатического приближения и метода расщепления, позволивший сохранить приемлемую точность на грубых в горизонтальном направлении сетках и увеличить скорость расчётов.

3. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий одномерные и двумерные гидрофизические модели. Компьютерная модель позволяет исследовать динамику вертикальных распределений гидрохимических и гидробиологических компонентов водной экосистемы.

4. Проведено численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира. Представление материалов диссертационной работы на конференциях. Основные результаты работы были доложены на IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003), на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2006), па VII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2006), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2007), на VIII Всероссийской конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007), на конференции-конкурсе молодых учёных ИВМ СО РАН (Красноярск, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе (в скобках в числителе указан общий объём этого типа публикации, в знаменателе — объём, принадлежащий лично автору) 2 статьи в издании, рекомендованном ВАК для представления результатов докторских диссертаций [15, 10] (21/15 стр.), 3 — в трудах международных и всероссийских конференций [12, 13, 14] (12/8 стр.), 2 — в материалах конференций молодых учёных [16, 18] (11/9 стр.).

Личный вклад автора. В работе [10] автор участвовал в постановке задач, конструировании численных алгоритмов решения двумерных задач ветровых течений в стратифицированных водоёмах, выполнил программную реализацию и провёл численные эксперименты. В работе [14] участвовал в конструировании численного алгоритма для одномерной вертикальной модели и его программной реализации. В работе [16] автор участвовал в постановке задачи и реализации численного алгоритма решения задачи протекания.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 101 наименований. Полный объём диссертации составляет 112 страниц, включая 39 рисунков, 5 таблиц.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработана двумерная в вертикальной плоскости математическая модель гидрофизических процессов в озёрах. Построен численный алгоритм на основе метода расщепления по физическим процессам, методов конечных элементов и конечных разностей. Численный алгоритм проверен на специально построенных задачах с точными аналитическими решениями.

2. Разработан эффективный алгоритм на основе гидростатического приближения и метода расщепления, позволивший сохранить приемлемую точность на грубых в горизонтальном направлении сетках и увеличить скорость расчётов.

3. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий одномерные и двумерные гидрофизические модели для стратифицированного водоема. Разработана программная платформа для реализации моделей водной экосистемы. Комплекс программ позволяет проводить численные исследования вертикальной структуры водоема для заданных метеоданных, начальных данных, батиметрии, расчётных параметров и сетки. С помощью небольших и понятных изменений кода программы можно изменять уравнения модели, добавлять или удалять расчётные переменные и параметры. Комплекс передан в Институт биофизики СО РАН для исследования вертикальной структуры водной экосистемы озера Шира.

4. Выполнено численное моделирование гидрофизических процессов в озере Шира. Результаты численных экспериментов согласуются с натурными данными. Компьютерная модель позволяет прогнозировать динамику верхнего квазиоднородного слоя (эпилим-ниона) в зависимости от метеоданных, в частности, определить вертикальную плотност-ную стратификацию, которая оказывает решающее влияние на пространственно-временные распределения гидрохимических компонент и динамику планктонных организмов в глубоких озерах. Достаточно хорошее согласование расчетов с полевыми данными позволяет использовать предлагаемую модель для прогноза динамики соответствующих характеристик водной толщи при гипотетических сценариях метеоусловий, например, при моделировании поведения экосистемы озера в ответ на погодные аномалии, вызванные глобальными изменениями климата (слишком теплые или холодные сезоны, ураганные ветры и т. п.).

Заключение

.