Методы нахождения неопределенных интегралов

Контрольная работа по высшей математике

Ситуационная (практическая) задача № 1

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Подставив последовательно, запишем данный ряд в виде:

Так как среди коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости ряда по формуле

где ,

Следовательно, ряд сходится при

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При данный ряд принимает вид. Сравним ряд с гармоническим рядом. Применим второй признак сравнения.

Так как полученный предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд расходится, то ряд также расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.

При данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующим рядом. По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:

1. 2.

т. е.

Выполняются два условия сходимости знакочередующего ряда, т. е. по признаку Лейбница ряд сходится. Но знакопеременный ряд сходится условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .

Ответ. Область сходимости данного ряда

Ситуационная (практическая) задача № 2

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение.

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем его по методу Бернулли.

Заменим функцию произведением двух неизвестных функций и, положим. Тогда. Подстановка и в уравнение дает .

Преобразуем это уравнение:

Положим, и тогда при любом значении. Из уравнения находим:

При найденном значении линейное уравнение принимает вид:. Подставляем значение в уравнение, получим Зная, что и, находим

Проверка.

Подставим значения и в заданное уравнение

Получили тождество, следовательно, найденное решение уравнения правильно.

Находим частное решение при .

— частное решение при

Ответ: — общее решение уравнения.

— частное решение при

Тестовые задания

1. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл

А., Б., В., Г. .

Ответ. А.

2. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл

А., Б. ,

В. Г.

Ответ. А.

3. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл

А., Б.

В. Г.

неопределенный интеграл дифференциальный Ответ. Г.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

.

А. 3/2; Б. 125/6; В. 9/2; Г. 9

Ответ. В. 9/2

5. Вычислить

А., Б., В., Г.

Ответ. В.

6. Выберите сходящийся ряд

А., Б., В. , Г.

Ответ. А. ,

7. Выберите абсолютно сходящийся ряд.

А., Б., В., Г.

Ответ. Г.

8. В точке ряд

А. расходится, Б. сходится абсолютно, В. сходится условно, Г. может, как сходиться, так и расходиться.

Ответ. А. расходится

9. При каком значении параметра функция является решением уравнения

А., Б., В., Г.

Ответ. А.

10. Найти общее решение уравнения

А., Б., В., Г. .

Ответ. А.