О некоторых задачах управляемости нелинейных систем

В данной работе рассматривается управляемая система x = f{x, u), жег, иеисшт (0.1) и различные вопросы управляемости данной системы.

Проблемы управляемости динамических систем, интенсивно изучаемые с 1961 года, когда на первом конгрессе ИФАК был прочитан доклад Р. Е. Калмана [12], не потеряли своей актуальности и сейчас. В линейной постановке эти вопросы хорошо изучены и достаточно полно освещены в научных монографиях и учебных пособиях. Для нелинейных же систем вопрос об управляемости, в частности исследование локальной нуль-управляемости, исследован не настолько хорошо, как для линейных систем. Особый интерес представляет исследование локальной нуль-управляемости в, так называемом, «критическом случае» (т. е. в случае, когда система линейного приближения для системы (0.1) не является вполне управляемой). Именно критические случаи доставляют массу интересных эффектов пограничной управляемости. Например, показано, что система может быть управляемой и при этом не являться устойчиво управляемой (см. ниже). Целью данной работы является изучение условий локальной управляемости, устойчивой локальной управляемости, устойчивой глобальной управляемости и позиционного управления системой (0.1) в критическом случае. Специальное исследование предпринято для системы второго порядка. Построены примеры внешне простых систем вида (0.1) с аномальным поведением управляемых траекторий.

Работа состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.

Перечислим основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается, предложенный А. Г. Бутковским [4], «метод штрихованных границ траекторных воронок». В основе данного метода лежат понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой траекторной воронки и особых многообразий системы (0.1).

В первом параграфе вводятся понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой траекторной воронки данного метода.

В качестве допустимых управлений системы (0.1) берутся всевозможные измеримые функции и: t —> и.

Допустимым решением системы (0.1), удовлетворяющим начальному условию ж (0) = хо, называется абсолютно непрерывная вектор-функция? ? [0, -7~], которая почти всюду на отрезке [0, г] удовлетворяет системе (0.1) при некотором управлении «(-?), Ь? [0,т].

Конусом допустимых направлений скоростей системы (0.1) называется множество.

К (жо) = {см? ТКХ0: а? М.+, ж € Г (х0) = /(х0,1/)}, п здесь ТКХо = .{у еШ.": У — сг7(^о, щ), с- 6 й, «,•? ?/} — так назыг=1 ваемое, пространство скоростей системы (0.1)). Т. е. К (гсо) — это конус, состоящий из всех лучей, выходящих из точки 0? ТКХо и имеющих непустое пересечение с множествомР (хо) = f (xo, II).

Множество всех точек в К. п, в которые можно перейти из точки Хо? К" за время г ^ 0, двигаясь по допустимым траекториям системы (0.1) называется множеством достижимости из точки х$ за время т и обозначается Ю) г (жо).

Отрезком траекторной воронки системы (0.1) называется множество г.

Точка хо называется вершиной траекторной воронки У (хо, т).

Основанием траекторной воронки У (хо, т) называется множество д^(хо, г) = дУ (хо, г)(У *)};

Кг т. е. основание д^(хо, т) состоит из тех точек траекторной воронки У (хо, т), в которые можно попасть из точки хо за время г с помощью допустимых управлений и нельзя перейти за время меньшее г.

Множество д8У (хо, т) = дУ (хо, т) д/У (хо^) называется боковой границей траекторной воронки У (а?о, т).

Траекторная воронка У (хоУт) называется жесткой, если существует такое е > 0, что для любых ?1? (0,г + е), ?2? (0, т + е), ?1 < ?2 выполняется условие dsV (xQ, ti) f>dsV (x0,t2) = dsV (xQ, ti).

Боковую границу д8У (х$, т) жесткой воронки У (хо, г) будем называть границей и обозначать д3У (хо), подчеркивая, что граница жесткой траекторией воронки У (хо), по крайней мере вблизи точки не зависит от момента времени т.

Доказаны следующие утверждения:

Лемма 0.1. Пусть граница жесткой воронки д8У (хо) существует и является гладкой (или кусочно-гладкой), то в точках гладкости границы ее можно описать как множество нулей гладкой (или кусочно-гладкой) функции ср (х): Мп —> К, которая необходимо удовлетворяет принципу максимума во всех точках, гладкости.

Теорема 0.1. Пусть функция х F (x) = f (x, U) непрерывна в области G С М. п и удовлетворяет условиям: а) при любом х? G множество F{x) выпукло, компактно и существует такое I > 0, что ^ /(1 + |ж|), где F (x) = sup |g|. б) функция х —>• Р{х) удовлетворяет локальному условию Липшица, т. е. в каждой ограниченной области I) С С существует такое, А = 0, что dist (JFl (a-l),^(^2)) ^ А (/))|-Г1 — х% для любых Х, Х2? где сЦв^^Я!), ^(я^)) — метрика Хаусдорфа в стандартном евклидовом пространстве К" .

Пусть существуют вектор р Е и константа, а < 0- что для любого х? С.

Тогда для любого? С существует единственная дифференцируемая почти всюду функция (р: К&trade- —>¦ К. удовлетворяющая принципу максимума (0.2) и начальному условию.

0.2) qeF (x).

Н (х, р) = тах{/(ж, и), р) ^ а.

0.3) f (x) = х — Xq для всех х? L = {х? G: {х — хо, р) = 0}.

0.4).

Таким образом для любой точки хо в произвольной ограниченной области С С в которой выполнены условия а), б) и неравенство (0.3) можно построить границу <�Э5У (жо) и продолжить ее по непрерывности, рассматривая ее, как множество нулей решения уравнения (0.2), вплоть до границы области С.

Во втором параграфе вводится понятие особых многообразий § системы (0.1), и в частности, многообразий перемены штриховки (сокращенно МПШ) границ траекторных воронок системы (0.1).

Точки ха ?'д3У (хо), для которых К (жа) С ТХа (д8У (хо)) называются особыми точками границы д8У (хо) (предполагается, что граница траекторией воронки У (хо) данных точках является гладкой).

Множество всех особых точек на границах всех траекторных воронок системы (0.1) называется особыми многообразиями системы (0.1) и обозначается §.

Понятие особого многообразия тесно связано с понятием особых управлений (см. например [6]). Известно [6], что для системы х = ?0(х)+и/1(х), (ж, и) бГ х (7, (0.5) где II = с1 и С К, /о, Л Е Ст (Еп), т ^ п, особые многообразия можно описать как множество нулей скалярной функции з (х) = ае1(/о (ж),/1(ж),. ,/&bdquo—1(ж)). Функции {/¿-(ж)}^1 определяются следующим образом: = [/"(*),/-,(*)] = (Ж)/им — (?Ы?.)Мх).

Операция [/о (ж),/?1(ж)] называется скобкой Ли-Пуассона или коммутатором функций /о (ж),/г-1(ж) (см. например [33]). Как будет показано в дальнейших параграфах функция в (х) играет ключевую роль в построении фазового портрета и исследовании управляемости систем вида (0.5).

В третьем параграфе, в качестве показательного примера, исследуется структура боковых границ траекторных воронок линейной системы х = Ах + иЪ, жбГ, г/6 [-1,1]. (0.6).

Доказана теорема.

Теорема 0.2. Пусть гапк (6, АЬ}., Ап 1Ь) = п — 1 и з (х0) = сЫ (Ая:о, Ъ, АЬ,., Ап~2Ь) ф 0. (0.7).

Тогда существует такое г > 0, что траекторпая воронка У (хо, г) системы (0.6) является жесткой, телесной, а ее граница д3У (хо, т) является кусочно-гладким многообразием класса С°°.

Показано, что в предположении (0.7) граница Т) является объединением непересекающихся гладких, класса С°°, многообразий т. е. п-1 имек=1.

Доказано также, что многообразия Л^ и Д^., к = 1, п — 1 не ют общих точек и являются гладкими класса С°° слабо инвариантными многообразиями системы (0.6), причем для каждого к = 0,., п — 2, многообразие А^ и Л^ является общим краем многообразий и .

Многообразия Л^ строятся следующим образом: для каждого к = 1,., п — 1 многообразие является множеством концов всех, выходящих из точки допустимых траекторий системы (0.6), соответствующих допустимым управлениям =.

1, 0 < ^ ^ ?1 -1, ^Т. е. ЛГ* = {х =: Е (0,г)}, где х^, ик+(-)), Ь Е (0,г) — допустимые решения системы, удовлетворяющие начальному условию х (0(•)) = 0. .

Многообразия к = 1,., п — 1 строятся аналогичным образом с заменой допустимого управления на = —.

Существенно в теореме 0.2 то, что гапк (Ь, АЬ,., = п — 1, т. е. система (0.1), вообще говоря, не является вполне управляемой.

Результаты данного параграфа можно рассматривать как продолжение исследований С. Ф. Николаева и Е. Л. Тонкова (см. [29], [30], [31]).

Вторая глава посвящена исследованию управляемости в нуль системы (0.1) в предположении, что U непустой выпуклый компакт в М. то, 0 Е int/(0, U), f Е С1^ X Rm, Rn).

Точка xq называется т-управляемой, если существует такое допустимое управление и: [0, г] —>¦ U, что разрешима краевая задача x = f (x, u (t)), х (0) = жо, х (т) = 0.

Множество всех т-управляемых точек называется множеством управляемости системы (0.1) за время т и обозначается DT.

Множество Dqo = (Jr>o называется множеством управляемости системы (0.1).

Система (0.1) называется локально управляемой или просто управляемой [5, с. 39], если 0 Е intZ) r при некотором г > 0. Если при этом Dqq = Rn, то система (0.1) называется глобально управляемой.

H.H. Петровым (см. например [35], [36]), введено понятие iV-управля-емости системы (0.1). Свойство iV-управляемости означает, что 0 Е int DT при всех т > 0. Если при этом Dco = К", то система (4.1) называется глобально N-управляемой.

Наряду с уже известными понятиями локальной управляемости и n-управляемости, вводится понятие устойчивой управляемости.

Определение 0.1. Система (0.1) называется устойчиво управляемой, если для любого е > 0 найдется такое S = 6(е) >0, что для любого xq Е 0%(хо) существуют время т Е (0,оо) и допустимое решение x (t), t Е [0, г] системы (0.1) удовлетворяющее условиям: х (0) = хо, х (т) = 0, |x (i)| ^ е для всех? Е[0,г].

Понятие устойчивой управляемости не является новым. В работах И. П. Карасева (см. например [13],[14]) и Е. JI. Тонкова [45] встречается аналогичное понятие «локальной управляемости в малом».

Пусть ?, Ш, 91 соответственно множества локально управляемых, устойчиво управляемых и iV-управляемых систем вида (0.1).

Теорема 0.3. 9t С Ж С ?•.

Доказано, что эти понятия не равносильны, приведены соответствующие примеры. Таким образом, свойство iV-управляемости является наиболее сильным из известных к настоящему времени свойств управляемости, а устойчивая управляемость занимает промежуточное положение между iV-управляемостыо и локальной управляемостью.

Параграфы 5 и 6 посвящены изучению условий устойчивой управляемости системы x = fQ (x) + ufi (x), жеГ, we [-1,1] (0.8) в предположении, что функции /o,/i голоморфны в некоторой окрестности начала координат, /о (0) = 0, /i (0) =6⁰.

Через х — 7(t) х = 7+(t) и х — 7~(i) обозначим решения соответствующих систем.

X = fi (x), X = /о (я) + fi (x), X = /о (ж) — /х (ж), удовлетворяющие начальному условию.

7(0)=7+(0)=7-(0) = 0.

Теорема 0.4. Пусть п = 2. Для того, чтобы система (0.8) была устойчиво управляемой, необходимо и достаточноу чтобы функция s (7(i)) меняла в нуле знак.

Теорема 0.5. Пусть rank (6,A&, A26,., An~16) ^ п — 1, а /oi.fi? C°°(Rn, Mn). Если существуют число г > 0 и такие решения х +(t) = z (t, u+(-)), x[t) — x (t, (•)), t 6 [0, г] системы (0.8) — что х+{0) = ж (0) = 0, s (x+(t))s (x-(t)) < 0 для всех t Е (0, т), то система (0.8) устойчиво управляема.

Теорема 0.6. Пусть rank (6, АЪ, А2Ъ,., Ап~Ч) ^ п — 1, а /0,/i Е C°°(IRn, IRra). Если существует такое г > 0, что s (7+(i))s (7(i)) < 0 для eceir t е (0,г), (0.9) то система (0'.8) устойчиво управляема.

Показано, что в случае п = 2 условие (0.9) является необходимым и достаточным условием устойчивой управляемости системы (0.8).

Задачам исследования локальной управляемости нелинейных систем посвящено немало работ (см. например [5], [7], [9], [12], [15], [16], [19], [28], [32], [34], [35], [36], [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53], [54]). Наиболее известный результат принадлежит Калману (см. например [5, ]) и состоит в том, что система (0.1) локально управляема, если соответствующая ей, система линейного приближения является вполне управляемой. В работах Н. Н. Петрова [34], [35] доказано, что в случае если соответствующая (0.1) система линейного приближения является вполне управляемой, то система (0.1) является N-управляемой, а следовательно в этом случае, в силу теоремы 0.3, система (0.1) является и устойчиво управляемой. Поэтому наибольший интерес представляет, так называемый «критический случай» (т.е. когда система линейного приближения для системы (0.1) не является вполне управляемой).

К настоящему времени наиболее полная информация о локальной управляемости в критическом случае получена лишь для систем второго порядка (см. например [7], [9], [22], [28], [36]). Наиболее общий результат в случае п = 2 принадлежит Н. Н. Петрову [36], который получил критерий управляемости для систем второго порядка вида (0.1) с голоморфной правой частью. Следует отметить, что теорема 0.4 по сути является следствием данного критерия.

В случае произвольного п вопрос о локальной управляемости системы (0.1) в критическом случае пока исследован недостаточно. В ряде работ (см. например [16], [32], [35], [54]) получены достаточные условия локальной управляемости в критическом случае для некоторых видов управляемых систем, а в монографиях Т. Б. Копейкиной [15], [16] получены и необходимые условия локальной управляемости в критическом случае.

Глава 3 посвящена исследованию глобальной управляемости системы (0.1). Существенно то, что в отличие от предыдущих параграфов, здесь рассматриваются позиционные управления и: Мп —> Ет, а решения системы х = /(х, и (х)) (0.10) понимаются в смысле А. Ф. Филиппова [46]. г3десь не приводятся результаты работ [16], [32], [35], [54], поскольку для формулировки основных утверждений данных работ требуется построение достаточно громоздких алгебраических структур.

Рассмотрим систему (0.1) в предположении, что а) множество U С Шт — непусто связно компактно и 0 Е int Uб) / Е С (ЕП х U), /(0,0) = 0, а многозначная функция х —> F{x) удовлетворяет локальному условию Липшица по х.

Определение 0.2. Система (0.1) называется глобально устойчиво управляемой, если: а) она устойчиво управляемаб) множество нуль-управляемости D^ системы (0.1) совпадает с IRn.

Определение 0.3 ([3]). Непрерывно дифференцируемая функция V. Мп —у К. называется бесконечно большой, если:

1. v (0) = 0, v (x) > 0 для всех х ф 0;

2. для любого, а > 0, существует такое г > 0, что для всех ж € I", удовлетворяющих условию [ж| > г, следует v (x) > а.

Известны следующие утверждения:

34]77усть для любых х, ж о (х ¦ xq = 0|, х ф хо) найдется такое и? U, что (f (x, u), x — xq) < 0. Тогда система глобально управляема с помощью кусочно-постоянного управления.

ЩПустъ / Е C (Rn х U) и rank (?, AB,. ., An~lB) = п, где, df (x, u). ^ (df{x, u). dx 1 du }m.

Предположим, что существуют бесконечно большая функция v (x) и непрерывно дифференцируемое позиционное управление и: IRn —"¦ U, что dv (x) ж, ц (ж))у ^ 0, для всех х Е.

Тогда множество управляемости системы совпадает с К.п. В § 8 доказаны теоремы:

Теорема 0.7. Пусть система (0.1) устойчиво управляема. Если существуют измеримая по Борелю функция и: Мп —> Мт и бесконечно большая функция у Е С^КГ^М) такие, что у (х) = ?(х, и (х))^ < 0, для всех ж Е 1″, (О-11) причем множество {х Е Мп: и[х) = 0} не содержит целых траекторий системы (0.10), то система (0.1) глобально устойчиво управляема.

Теорема 0.8. Пусть система (0.1) локально управляема. Если существуют измеримая по Борелю функция и: IRn —>¦ U и бесконечно большая функция v (x), удовлетворяющая условию (0.11), причем множество {х G М. п{0}: v (x) = 0} не содержит, целых траекторий системы (0.10), то система (0.1) глобально управляема.

Заметим, что у теоремы 0.8 такое же соотношение с процитированными выше утверждениями о глобальной управляемости, как и соотношение между второй теоремой А. М. Ляпунова [20] и теоремой Барбашина-Красовского [3] о глобальной устойчивости нулевого решения системы i = f{x), жбГ, где /(0) = 0, т. е. существенно ослаблены условия накладываемые на функцию v (x). Приведен пример в котором с помощью теоремы 0.8 сравнительно несложно доказывается глобальная управляемость, а при применении процитированных выше теорем о глобальной управляемости возникают существенные трудности.

Наряду с достаточными условиями локальной и глобальной устойчивой управляемости в диссертации доказаны соответствующие теоремы о локальной управляемости системы (0.8) и глобальной iV-управляемости системы (0.1).

Результаты,' представленные в диссертации, опубликованы в работах [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27].

Выражаю глубокую признательность Е. Л. Тонкову за постановку задачи, формулировку теоремы 0.7 и сделанные в процессе работы над диссертацией замечания. Выражаю также искреннюю благодарность H. Н. Петрову за обсуждение диссертации и, сделанные им, ценные замечания и советы.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 97−01−413, 99−01−454), Конкурсным центром фундаментального естествознания (грант 97−0-1.9).

Список основных обозначений.

В работе используются следующие обозначения:

Rn — стандартное евклидово пространство размерности щ.

R+ = {а Ё R: а) 0}-)* — операция транспонированиях = X2j., хп)* —вектор-столбец с компонентами х, Ж2, ., хп х* — вектор-строкап х, у) = xiVi — скалярное произведение векторов х = {х, Х2, ., хп)* г= 1 и у = {уЪУ2,-, Уп)*] х = д/(ж, х) — абсолютная величина вектора хОеп (ж0) = {х е Mn, x-xQ< е}- dG — граница множества Gint G — внутренность множества Gdim G — размерность множества Gd (?, с) = sup6G? infceC ь — с|- dist (?, C) = max{d (?, C), d (C,?)};

Hom (Em, M. n) — пространство линейных отображений из Мт в К&trade-, отождествляемое здесь с пространством матриц размером п хт;

Ск (А, В) — пространство fc-раз непрерывно дифференцируемых функций из, А в Бfdf (x).

— 1−1 — тхп матрица, г-я строка которой составлена из частных V ох / производных dfi (x)/dxj, j = 1,., п, если /(ж) = ((/i (^),., fm{x))* — m-мерная функция векторного аргумента х? Ипесли т = 1, то.

Мк — многообразие размерности к;

Сг,/с ——- класс гладких (степени г) к-мерных многообразийтхо (мк) — касательное пространство к многообразию мк в точке xq.

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

2. А р н о л ь д В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1975. 240 с.

3. Б, а р б, а ш и н Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.-240с.

4. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. М.: Наука, 1985. — 136 с.

5. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов.— М.: Наука, 1971. 508 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления.— М.: Наука, 1973. 256 с.

7. Емельянов С. В., Коровин С. К., М, а м е д о в И. Г., Н икитин С. В. Критерии управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях // Докл. АН СССР. 1986. — 290. — № 1. -С.18−22.

8. Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — М.: Наука, 1981. 544 с.

9. Калман РЕ. Об общей теории систем управления. / / Труды I Международного конгресса ИФАК. Изд-во АН СССР. -1961.-2. С. 521−547.

10. К, а р, а с е в И. П. О существовании области достижимости.// Дифференц. уравнения 1967. -3. — № 12.

11. Карасе в И. П. Об эффективности определения «управляемость в малом» для исследования управляемости систем дифференциальных уравнений.// Труды РРТИ 1975. — № 62.

12. Копейкина Т. Б. К необходимым условиям управляемости нелинейных систем в критическом случае // «Ин-т мат. АН БССР, препр.» 1985. — № 27/236. — 44 с.

13. Копейкина Т. Б. О локальной управляемости нелинейных систем в критическом случае // Весщ АН БССР, Сер. ф1з.-мат. наук. 1987. — № 27/236. — С.8−15.

14. К р е й н М. Г., Н у д е л ь м, а н А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., 1973.

15. К у л т ы ш е в С. Ю., Т о н к о в Е. Л. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения. 1975. — 11. -№ 7. — С. 1210−1216.

16. Л и Э. М., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. 576 с.

17. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: ОНТИ, 1950.

18. Мастерков Ю. В. Об устойчивой локальной нуль-управляемости систем с квадратичной нелинейностью // Тезисы докл. междунар. матем. конфер."Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, май 1993 г.).

19. Мастерков Ю. В. Об устойчивой локальной нуль, управляемости систем с квадратичной нелинейностью на плоскостиИзв. отд. мат. и инф. Ижевск. -1993. — № 2. — С. 3−24.

20. Мастерков Ю. В. О глобальной устойчивой управляемости // Изв. отд. мат. и инф. Ижевск. -1997. — № 1(9). — С. 67−76.

21. Мастерков Ю. В. К вопросу об управляемости нелинейных систем // Тезисы докл. III Рос. унив.-акад. науч.-практ. конф. (Ижевск, УдГУ, апрель 1997).

22. Мастерков Ю. В. К вопросу о локальной управляемости нелинейных систем // Тезисы докл. междунар. матем. конфер. «Е-ругинские чтения»" (Витебск, май 1997).

23. Masterkov Ju. V. Controllability of Nonlinear Systems in Critical Case // Nonsmooth and Discontin. Probl. of Contr. and Optimiz. / Proceed, vol. from the IFAC Workshop (Chelyabinsk, Russia, 17−20 June 1998).

24. Мастерков Ю. В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. -1999. № 2(441).- С. 68−74.

25. Митрохин Ю. С., Степанов А. Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань. — 1985. — С.61−70.

26. И и к о л, а е в С. Ф. Т о н к о в Е. J1. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической. — Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск. — 1998. — № 2 (13). — С. 3−26.

27. Николаев С. Ф. Тонков Е. Jl. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. — 35. — № 1. — С. 107−115.

28. Н и к о л ь с к и й М. С. Об условиях второго порядка в задаче о нуль управляемости // Дифф. уравнения. 1998. — 33. — № 1. -С.137.

29. О л в е р П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. — М.: Мир, 1989. 639 с.

30. Петров Н. Н. Локальная управляемость автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. — 4. — № 4. — С.1218−1232.

31. П е т р о в Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифф. уравнения. 1968. — 4. — № 7. — С.606−617.

32. П е т р о в Н. Н. Решение одной задачи теории управляемости Дифф. уравнения. 1969. — 5. — № 5. — С.962−963.

33. П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

34. П о н т р я г и н Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1982.

35. Родионова А. Г., Тонков Е. Л. О непрерывности функции быстродействия линейной системы в критическом случае // Изв. ВУЗ-ов. Математика. -1993. № 5(372). — С. 101−111.

36. С у б б о т и н А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. — М.: Наука, 1991. 216 с.

37. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1. — М.: Изд-во Литература, 1953. 346 с.

38. Т, а м у р, а И. Топология слоений. — М.: Изд-во «Мир», 1979. -320с.

39. Т о н к о в Е. Л. Неосцилляция линейных систем. Связь с управляемостью и числом переключений // Тр. Московск. ин-та химич. машиностр. 1972. — Вып. 39. — С. 32−37.

40. Т о н к о в Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференц. уравнения. 1973. — 9. — № 12. — С. 2180−2185.

41. Тонков Е. Л. Управляемость нелинейной системы по линейному приближению // Прикл. матем и мех. 1974. — Вып. 4. — С. 599−606.

42. Ф и л и п п о в А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. 224 с.

43. Jurdjevic V., Kupka I. Polynomial control systems / / Math. Ann. 1985. — 272. — № 3. — P.361−368.

44. Aeyels Dirk. Global controllability for smooth о nonlinear systems: a geometrical approach // SIAM J. Contr. and Optim. 1985. — 23. -№ 3. — P.462−465.

45. Crasse Kevin A. Structure of the boundary of the attainable in certain nonlinear systems // Math. Syst. Theory. 1985. — 18. — № 1. P.57−77.

46. Stefani Gianna. Lokal properties of nonlinear c&Qtrol systems // Sci. Pap. Inst. Techn. Cybern. Techn. Univ. Wrocl. 1985. — № 29 -P.219−226.

47. Kawski Matthias. A necessary condition for local controllability // Contemp. Math. 1987. — 68. — P.143−155.

48. Concalves J. Basto. Geometric conditions for local controllability // J. Differ. Equat. 1991. — 89. — № 2. — P.388−395.

49. Remakischna Viswanath. Controlled invariance for singular distributions // SIAM J. Contr. and Optim. 1994. — 32. -№ 3. — P.790−807.

50. Zhao Jun, Zhang Siying. A sulficient condition for local strong controllability of affine systems // Math. appl. 1993. — 6. № 2. P.207−211.