Пусть x0=β, тогда: x1=b — a x0x2=b — a x1… xk+1=b — axkПрежде чем применять метод, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы.
101−1110−1-1101.
Приведем к виду: x1=1+0.1×2−0.1x3x2=1.1+0.1×1−0.1x3x3=10-x1+10×2Покажем вычисления на примере нескольких итераций. N=1×1=1 — 0 • 0.1 — 0 • (-0.1)=1×2=1.1 — 0 • 0.1 — 0 • (-0.1)=1.1×3=10 — 0 • (-1) — 0 • 10=10N=2×1=1 — 1.1 • 0.1 — 10 • (-0.1)=1.89×2=1.1 — 1 • 0.1 — 10 • (-0.1)=2×3=10 — 1 • (-1) — 1.1 • 10=0N=3×1=1 — 2 • 0.1 — 0 • (-0.1)=0.8×2=1.1 — 1.89 • 0.1 — 0 • (-0.1)=0.911×3=10 — 1.89 • (-1) — 2 • 10=-8.11Остальные расчеты представлены в таблице. Nx1x2x3e1e2e30000111.
11 011.
11 021.
89 200.
890.9−1030.
80.911−8.11−1.09−1.
0898.
1140.
9 790.
2091.69−0.702−0.702−6.
4251.
1481.
2598.
0081.
051.
056.
31 861.
6751.786−1.
4440.
5270.527−6.
56 470.
6770.788−6.185−0.998−0.
9984.
74 180.
3030.
4142.796−0.374−0.374−3.
38 991.
2381.
3496.
1650.
9360.
9363.
369 101.
4821.593−2.
2550.
2430.243−3.
91 110.
6150.726−4.445−0.866−0.
8662.
19 120.
4830.
5943.352−0.132−0.132−1.
93 131.
2761.
3874.
5430.
7930.
7931.
191 141.
3161.427−2.
5930.
3 980.0398−1.
95 150.
5980.709−2.952−0.718−0.
7180.
359 160.
6340.
7453.
5070.
3 590.
3 590.
555 171.
2761.
3873.
1840.
6420.642−0.
323 181.
181.291−2.597−0.0965−0.0965−0.
587 190.
6110.722−1.728−0.568−0.568−0.
869 200.
7550.
8663.
3880.
1440.
1441.
66 211.
2521.
3632.
0940.
4970.
497−1.
294 221.
0731.184−2.38−0.179−0.
1790.
286 230.
6440.
755−0.769−0.43−0.43−1.
612 240.
8480.
9593.
0970.
2040.
2042.
328 251.
2141.
3251.
260.
3660.
366−1.
837 260.
9941.105−2.036−0.22−0.
220.
776 270.
6860.
797−0.0527−0.308−0.308−1.
983 280.
9151.
0262.
7150.
2290.
2292.
662 291.
1691.
280.
6540.
2540.
254−2.
61 300.
9371.048−1.631−0.232−0.
2320.
977 310.
7320.
8430.453−0.205−0.205−1.
179 320.
9611.
0722.
3010.
2290.
2291.
848 331.
1231.
2340.
240.
1620.
162−2.
6 340.
9011.012−1.217−0.222−0.
2220.
976 350.
7770.
8880.783−0.123−0.123−0.
434 360.
9891.
1011.
8950.
2120.
2121.
111 371.
0791.191−0.
1 650.
8 990.0899−1.
878 380.
8790.99−0.826−0.2−0.
20.809Заключение.
Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью любого прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств. В приведенном примерах были исследованы две системы. Одна из них позволила успешно применить явный итерационный метод Чебышёва: итерационный процесс был сходящимся. Для второй системы итерационный метод Чебышёва оказался расходящимся, и для ее решения был использован метод простой итерации. Он показал сходимость. Однако его вычислительная эффективность оказалась ниже в сравнении с методом Чебышёва и потребовала большее количество итераций. Однако итерационный процесс сошелся. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует. Оптимальным же является комплексное применение методов решения СЛАУ, т. е. получение приближенного решения с помощью прямого метода и последующего уточнения решения с помощью итерационных методов.
Литература
.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учебник для вузов/В.М.Вержбицкий.
Мю:Высшая школа, 2002.-840 с. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: Учебное пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 304с. Бояршинов М. Г. Численные методы.
Часть1: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика». — Перм. Гос. Техн. Ун-т. Пермь, 1998. — 176с. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. Для Вузов.
— 5−3 изд. — М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 320с. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб.
Пособие для вузов. — М.:Наука. Гл. ред физ.-мат. Лит-ры, 1989. — 432с. Калиткин Н. Н. Численные методы. -.
М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит-ры, 1978. — 512с. Масловская Л. В., Масловская О. М. Численные методы: Учеб.
пособие — Одесса, Укрполиграф, 2006. — 146с. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1часть.
— 5 изд. — М: Айрис-пресс, 2005.
— 288с. Канатников А. Н., Крищенко А. П. Линейная алгебра. 3-е изд., стер. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002— 336 с. (.
Сер. Математика в техническом университете. Вып. IV).
