Равновесные распределения в некоторых задачах символической динамики со счётным числом состояний

Символическая динамика занимается изучением динамических систем, у которых в качестве точек фазового пространства фигурируют бесконечные наборы символов, принадлежащих данному не более чем счётному алфавиту или, как ещё говорят, множеству состояний. При этом наиболее распространённым и во многих случаях естественным преобразованием, задающим динамику, является сдвигвместе с тем, помимо сдвига, в некоторых разделах символической динамики, например в теории клеточных автоматов, рассматриваются и другие преобразования. Символические динамические системы исследуются в достаточно широком контексте, который включает в себя теорию вероятностей, статистическую физику, функциональный анализ, эргодическую теорию и другие направления. Методы символической динамики играют важную роль при изучении классических динамических систем гиперболического типа, в частности, геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны и гиперболических диффеоморфизмов гладких многообразий (см. [2], [5], [21], [6], [36]). Следует также подчеркнуть тесную связь между символическими системами и решётчатыми моделями статистической физики (см. [24], [25], [14], [22]).

Необходимо отметить то обстоятельство, что наличие у символической динамической системы счётного (а не конечного) числа состояний существенным образом усложняет её изучение, а иногда приводит к возникновению целого ряда новых задач, которые неактуальны или даже не имеют смысла в случае конечного числа состояний. Такое положение вещей обусловлено, как правило, тем, что счётный алфавит зачастую порождает некомпактность фазового пространства относительно некоторой естественной топологии. Активное исследование символических систем со счётным множеством состояний началось сравнительно недавно, в конце 70-х — первой половине 80-х гг. Такие системы (более точно, специальные потоки над счётными топологическими цепями Маркова) появляются, например, при рассмотрении рассеивающих биллиардов (см. [7]). Источником значительного числа задач символической динамики со счётным множеством состояний служит термодинамический формализм — совокупность идей и понятий, близко соприкасающихся со статистической физикой (выделим здесь работы [17], [18], [26], [37]).

В рамках термодинамического формализма одним из основных является понятие равновесного распределения. Пусть имеется динамическая система (не обязательно символическая) (У, Т) с фазовым пространством У, наделённым борелевской ст-алгеброй по отношению к заданной топологии или метрике, и с непрерывным преобразованием Т: У —>¦ У, а также непрерывная функция (потенциал) /: У К. Тогда на Т-инвариантных борелевских вероятностных мерах ц на У можно рассмотреть функционал давления = /г/4(Т)+// (1ц, где Л,(Т) — энтропия преобразования Т относительно меры /г, причём мы берём только те меры, для которых сумма энтропии и интеграла имеет смыслв случае некомпактного пространства У, когда как раз и могут возникнуть «плохие» меры /I, например, с Ьц (Т) = оо, //с?/х = — оо, иногда удаётся построить продолжение функционала что позволяет принять во внимание меры, порождающие ситуацию неопределённости вида 'Р (ц) = оо — оо (см. [18], [35], [26]). Меры, на которых достигается верхняя грань функционала давления, называются равновесными распределениями на У относительно потенциала /. Если / = 0, то в этом частном случае равновесные распределения носят название мер с максимальной энтропией. Среди наиболее важных вопросов, возникающих в связи с изучением вариационной задачи для функционала давления, выделим следующие: о существовании единственного равновесного распределения для данной системы или, говоря в терминах статистической физики, вопрос о фазовых переходахо возможности охарактеризовать равновесные распределения как гиббсовские меры, или вопрос о справедливости вариационного принципа Гиббсаа также вопрос о предельном поведении последовательностей равновесных распределений, отвечающих исчерпывающим последовательностям «конечных подсистем» исходной системы.

В настоящей работе рассматриваются три задачи символической динамики (их темы можно обнаружить в названиях соответствующих им глав), в которых главным предметом исследования является понятие равновесного распределения с точки зрения сформулированных выше вопросов. Мы объединяем здесь эти задачи вместе, поскольку у них можно отметить несколько общих характерных особенностей, что делает их близкими по своему духу и содержанию. Во-первых, в основном контексте каждой из задач фигурирует символическая динамика со счётным числом состояний. Во-вторых, на протяжении данной работы мы будем постоянно иметь дело с такими объектами, как топологические цепи Маркова — это символические динамические системы, порождённые сдвигом на множестве последовательностей, которые отождествляются с бесконечными путями конечного или счётного ориентированного графа. Так, топологические цепи Маркова фактически присутствуют уже в начальной постановке двух задач (см. главы 1 и 3), а в одной задаче (глава 2) они возникают непосредственно по ходу исследования. Наконец, при решении задач, представленных в этой работе, мы придерживаемся общего подхода, который носит главным образом комбинаторный характер и основывается на анализе различных совокупностей конечных путей в ориентированном графе, которые задаются определённым набором условий, и локальных статистических сумм (возможно, зависящих от параметра), отвечающих этим совокупностям.

Структура настоящей работы подчиняется следующему порядку. Каждой задаче посвящена отдельная глава. Каждая глава разбита на разделы, занумерованные двумя цифрами, первая из которых обозначает номер соответствующей главы, а вторая — порядковый номер данного раздела внутри этой главы. Все выделяемые формулировки (теоремы, леммы, определения и т. д.) снабжены номерами вида п. ш, где п — номер главы, a in — порядковый номер данной формулировки внутри своего класса.

Перейдём теперь к краткому описанию каждой из задач и обзору основных результатов, содержащихся в данной работе.

В главе 1 рассматриваются специальные потоки над некоторым классом топологических цепей Маркова, а именно, над локальными возмущениями топологической схемы Бернулли со счётным числом состояний, и меры с максимальной энтропией для таких потоков. Под локальным возмущением понимается удаление конечного множества рёбер в соответствующем графе. Основная задача этой главы — найти достаточные, а если возможно, то и необходимые, условия (в терминах функции /, определяющей поток) того, что существует (единственная) мера с максимальной энтропией одновременно для специального потока 5/, построенного по / и счётной топологической схеме Бернулли, и для специального потока 5/, определённого над произвольным локальным возмущением этой схемы Бернулли. Таким образом, будет изучаться устойчивость свойства потока 5/ иметь (единственную) меру с максимальной энтропией при локальных возмущениях базы потока.

Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова и положительным локально-постоянным функциям, исследовались C.B. Савченко в работе [29]. В частности, там показано, что для соответствующих потоков не может существовать более одной меры с максимальной энтропией, и приводится критерий существования такой меры. Эти утверждения играют существенную роль в наших рассуждениях.

Основные результаты главы 1 заключаются в следующем. Мы рассматриваем несколько типов функции /. В случае, когда функция / зависит только от нулевой координаты уо последовательности у = (у,-) в базе потока, будут получены необходимые и достаточные условия, при которых имеет место устойчивость в указанном выше смысле (см. теорему 1.2). Одним из главных инструментов доказательства этого результата служит выведенная в разделе 1.2 формула (см. теорему 1.1), которая показывает, что производящая функция, связанная с «локальным» классом замкнутых орбит потока 5/, построенного над локальным возмущением схемы Бернулли по функции / = /(уо), рациональным образом выражается через аналогичную функцию, отвечающую невозмущённому потоку, и производящие функции конечного графа, порождённого возмущёнными вершинами. Упомянутая формула также может эффективно применяться для точного или приближённого вычисления топологической энтропии соответствующих потоков. В случае, когда / зависит от конечного числа координат последовательности у = (у,-), т. е. имеет вид /(у) = /(уа, у1, •. •¦¡-Ут), т будут приведены достаточные условия устойчивости (теорема 1.3). Что же касается функций / с «бесконечной памятью», то мы ограничимся рассмотрением функций с суммируемыми вариациями и для этого класса приведём достаточные условия устойчивости (теорема 1.4). Полученные результаты сопровождаются примерами специальных потоков, которые возникают при исследовании замкнутых геодезических на модулярных поверхностях.

Глава 2 посвящена вопросам, побудительным мотивом к изучению которых явилась| работа Фихтнера [10], где он в контексте квантовой статистической механики для построения случайных разложений на конечные кластеры случайных точечных конфигураций на К.'' использовал специальный класс случайных перестановок счётного множества. Отметим схематически ряд элементов модели Фихтнера (подробности см. в разделе 2.1). Пусть 2 — счётное множество и пусть задана матрица, а = {ах, у) х, уег, удовлетворяющая условиям (а) ах<�у > О, (Ь) ах<�х = 1. Для каждого конечного подмножества Z С 2 определяется вероятностная мера Рг на множестве отображений: 2 2 по правилу: Г -1.

Рг{{д}) = П ах, д (х) X) П «если д — перестановка множества Z (т.е. д — биекх^г ' к хег ция), где Н пробегает множество всех перестановок Z, и Рг ({д}) = 0 в противном случае. В [10] показано, что если матрица, а удовлетворяет дополнительному условию «компактности», то для всякой исчерпывающей последовательности конечных подмножеств 2 существуют подпоследовательность и вероятностная мера Р на множестве 22 = {/: 2 —> 2} такие, что Р = Игп^оо РгПк) в смысле сходимости всех конечномерных распределений. Заметим, что предельная мера Р зависит от матрицы, а и от, вообще говоря, подпоследовательности Далее, всякая предельная мера Р обладает следующими свойствами: во-первых, она является распределением вероятностей случайной перестановки множества 2, которая разлагается на конечные циклыво-вторых, её можно считать в определённом смысле гиббсовской мерой, спецификация которой определяется только матрицей а. Наконец, если на матрицу, а наложить некоторое усиленное условие «компактности», то существует ровно одна гиббсовская случайная перестановка с соответствующей спецификацией, что одновременно гарантирует и единственность предельной меры Р.

В настоящей работе будем рассматривать одномерную целочисленную решётку Z и множество перестановок Z, разлагающихся на конечные циклы. Основная задача главы 2 заключается в том, чтобы, отталкиваясь от модели Фихтнера, получить на множестве Ех класс вероятностных мер, которые в известном смысле можно считать равновесными распределениями, и исследовать эти меры с точки зрения термодинамического формализма. В связи с этим важны два аспекта. Во-первых, на множестве Ех необходимо ввести подходящее преобразование. Дело в том, что преобразование сдвига для наших целей не годится, поскольку множество относительно сдвига не является инвариантным. В качестве преобразования, задающего динамику на множестве возьмём преобразование Т, действующее на перестановку д: Ъ —" Ъ по правилу (Тд)(х) = д (х + 1) — 1, ж € тогда ТЕх = Во-вторых, необходимо подобрать такой класс матриц а, которые в некой роде «инвариантны» относительно Т. Поэтому в этой работе будет рассматриваться класс тпеплицевых матриц, а = {(Хх, у) х, у?.г, т. е. таких, что ах<�у = ах’уУ>, когда?/ —ж = у' — х'. Итак, на роль Т-инвариантных равновесных мер будут претендовать предельные точки последовательностей {Рг,}, Zl^ Z, где меры Рг построены по теплицевам матрицам а.

Мы ограничимся подробным изучением случая теплицевых матриц, а = {ах<�у)хл². с конечным числом ненулевых диагоналей: :у — х = ]=$> ах>у > 0} < оо. Оказывается, в этом случае предельную меру можно вычислить, что составляет центральный результат главы 2 (см. теорему 2.1). А именно, пусть, а — теплицева матрица с конечным числом ненулевых диагоналей, удовлетворяющая условиям (а)-(Ь) и условию «компактности», а Ег{а) — множество всех перестановок д € Ех, для которых осх, д (х) > 0, ж € 2. Тогда существует Г-инвариантная вероятностная мера Ра на Zz такая, что Ра (Е%(а)) = 1 и для всякой последовательности Т 2, конечных подмножеств Z справедливо равенство 1ипгюо Рг, = Ра в смысле сходимости всех конечномерных распределенийдинамическая система (Е%(а), Т, Ра) изоморфна (по модулю множеств меры нуль) некоторой марковской системе, причём будут выписаны её начальные и переходные вероятности, а сам изоморфизм предъявлен в явном виде. Далее будет показано, что предельная мера Ра является единственным равновесным распределением на множестве перестановок Ez{o^) относительно функции г-&bdquo-(<7) = 1п а0, э (о), одновременно в данной ситуации будет вычислено топологическое давление (теорема 2.2). Наконец, мы докажем, что на множестве Ez (a) существует ровно одна вероятностная Т-инвариантная гиббсовская мера с фихтнеровской спецификацией, построенной по матрице «, причём эта мера совпадает с равновесным распределением Ра (см. теорему 2.3). Отметим, что для теплицевых матриц, а = (сих, у) х, уег? за исключением тривиальных, усиленное условие «компактности» никогда не выполняется, а потому соответствующий результат Фихтнера о единственности предельной меры и единственности случайной гиббсовской перестановки к нашему случаю просто не применим. Содержащиеся в главе 2 результаты будут проиллюстрированы на примере трёх-диагональных теплицевых матриц.

Глава 3 посвящена задаче обобщения понятия устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы на случай функций общего вида, заданных на пространстве путей счётного графа. Исходя из классификации неразложимых цепей Маркова со счётным числом состояний по ассимптотическому поведению их переходных вероятностей, Вир-Джонс [33], [34] дал определения возвратной, нуль-возвратной и положительно-возвратной бесконечной неотрицательной матрицы и занимался подробным изучением свойств таких матриц. Более сильное понятие устойчиво-возвратной неотрицательной матрицы было введено Б. М. Гуревичем в [15]. Выяснилось, что устойчивая возвратность играет важную роль в вопросах исследования сходимости равновесных распределений, отвечающих конечным подматрицам бесконечной неотрицательной матрицы (см. [16], [17]). В работах [26], [27] Сариг распространил понятия возвратности, нуль-возвратности и положительной возвратности на случай действительнозначных функций, определённых на пространстве последовательностей, отождествляемых с односторонне-бесконечными путями счётного графапри этом оказалось, что функции и матрицы из аналогичных классов обладают во многом схожими свойствами. В настоящей работе мы сосредоточимся на обобщении понятия устойчивой возвратности. Наш подход в своей технической части отличается от подхода, используемого в [26], [27], и основывается на комбинаторном анализе степенных производящих функций.

Определение устойчиво-возвратной функции даётся в разделе 3.1 (см. определение 3.4). Остановимся на некоторых важных составляющих этого определения. Пусть С? — ориентированный связный граф с конечным или счётным множеством вершин, (У+©, 5) — соответствующая ему топологическая цепь Маркова и задана функция /: У+(?т) —> К. Предполагается, что / имеет суммируемые вариации. Для / и каждой вершины V при и > 1 рассматриваются два вида локальных статистических сумм («локальность» связана с фиксацией г-): д"(С, /, г/) и д*((2, /, у), в которых суммируются величины ехр[££=1 /{Бку)] по множеству периодических точек у = (у-)">о периода п для сдвига Я (5″ у = у), у которых в первом случае у0 = V, а во втором случае уо = V, но у, — ф V при г = 1, .,?& — 1. Далее оо оо вводятся производящие функции ¿-?/,&bdquo-(ж) = X) <7п ( Л Ока.

П=1 П=1 зывается, радиус сходимости Я/ ряда (?/, г,(ж) не зависит от вершины V (см. предложение 3.2), чего нельзя сказать о радиусе сходимости ряда ф/<�ь (х), причём 72/ — г/." ПРИ всех V. Назовём функцию / устойчиво-возвратной, если для некоторой вершины v имеет место строгое неравенство Я/ < г?<�у. На самом деле, будет доказано, что данное определение устойчивой возвратности обладает свойством солидарности относительно v, т. е. соотношение Я/ < т^" либо выполняется для всех v, либо не выполняется ни для одного v (теорема 3.4).

Полученные в главе 3 результаты направлены на обоснование того, что приведён-] ное определение устойчиво-возвратной функции является правильным в том смысле, что устойчиво-возвратные функции обладают рядом свойств, которые аналогичны основным свойствам устойчиво-возвратных матриц. Сначала понятие устойчивой возвратности изучается в классе локально-постоянных функций, т. е. функций вида /(у) = /(уо, у%,., ут), ттг > 2. Каждой такой функции можно поставить в соответствие некоторую неотрицательную матрицу, и будет показано, что устойчивая возвратность локально-постоянной функции равносильна устойчивой возвратности соответствующей ей матрицы (теорема 3.1). Последнее утверждение играет существенную роль в дальнейшем исследовании функций общего вида, поскольку оно позволяет прибегнуть к методу аппроксимаций локально-постоянными функциями. При помощи этого метода, в первую очередь, будет доказано, что всякая устойчиво-возвратная функция является возвратной (теорема 3.3), а затем установлено, что устойчивая возвратность влечёт и положительную возвратность (теорема 3.5). Кроме того, мы покажем, что в случае, когда граф конечен, всякая функция с суммируемыми вариациями устойчиво-возвратна (см. теорему 3.2). В заключение обосновывается использование самого термина «устойчивая возвратность» в определении 3.4: будет установлено, что устойчиво-возвратные функции — это такие возвратные функции, которые сохраняют свойство возвратности при равномерно малых возмущениях (теорема З. б).

Предварительная информация: ориентированные графы.

Прежде чем перейти к основному изложению, приведём здесь некоторые понятия и терминологию, касающиеся ориентированных графов. Данная терминология будет использоваться на протяжении всей этой работы.

Ориентированный граф С? задаётся конечным или счётным множеством вершин V = К (С?) и множеством рёбер Е© С V х V. Последовательность 7 = (г>о,^ъ., где п > 1, называется путем длины /(7) := п в графе (7, если г-, — 6 V при г = 0,1 ,., п, и (г-,-, г-,-+1) € ?((?) при г = 0,1,., п — 1. При этом будем говорить, что путь 7 начинается (соответственно заканчивается) в вершине у &euro-Е V, если у0 = у (соответственно уп = г-). Путь, начинающийся в вершине у 6 V и заканчивающийся в вершине у' € V, будем называть ведущим из у в у'. В случае, когда V, — = у для некоторого г ф 0, п, мы говорим, что путь 7 проходит через вершину у. Путь проходит через множество IV, где 1V С V, если он проходит через какую-либо вершину го 6 IV. Если у0 = уп = у, то замкнутый путь 7 будем называть у-цикломи-циклы, у которых V, — ф V при всех г ф 0, п, называются простыми.

Пусть 7 = (г>0,г>1,., г>п)> 7' = (ьо? • • • — ПУТИ в причём у'0 = уп. Тогда последовательность 77' = ., уп, у’ц., у'к) также является путём в (7- путь 77' будем называть произведением путей 7 и 7'- для него, очевидно, имеем /(77') = ?(7) + ^(7')* Ясно, что всякий г>-цикл представим (притом единственным образом) в виде произведения простых и-циклов.

Ориентированный граф С называется подграфом графа (7, если У© С V и Е© С ¦Е©. Будем говорить, что С — полный подграф графа (7, порождённый подмножеством вершин V' С V, если У{С) = V' и Е© = {(г/, у") € Е (в): у', у" в V'}.

Граф является связным, если для любых двух его вершин у, у' найдётся путь, ведущий из у в у'. Граф (7 называется апериодическим, если для любых двух вершин у, у' (Е V существует ЛГ&bdquo-&bdquo-' € N такое, что для всякого п > N""1 в (7 найдётся путь длины п, ведущий из у в у'. Очевидно, апериодический граф всегда связен.

Пусть С? — связный граф. При тп> 2 определим ориентированный граф С7(т) с множеством вершин У ((?(т)), состоящим из всех тех последовательностей й = (и0,щ,., ит1), которые являются путями длины т — 1 в графе (7, и множеством рёбер, состоящим из всех таких пар (й, й'), й, й' 6 У" ((7(т)), что ик = 1 < к < т — 1, и (ит-1""т-х) € Легко видеть, что граф связен. Будем называть редукцией порядка т или, проще говоря, т-редукцией графа (7 [17].

Пусть (7 — ориентированный граф с конечным или счётным множеством вершин V и пусть на V х V задана функция А, принимающая неотрицательные значения. Занумеровав элементы множества V в произвольном порядке (всё дальнейшее от этого порядка зависеть не будет), можно рассматривать, А как неотрицательную матрицу: А = (а""')"." '€V-Предположим, что, А — весовая матрица для графа (7, т. е. а> 0, если {у, у') является ребром в С, и а&bdquo-&bdquo-' = 0 в противном случае. Весом пути 7 = (г-0,г-1,., уп) относительно весовой матрицы, А назовём произведение п-1.

7) = П о.

Обозначим через элемент матрицы Л", стоящий на (г-, г/)-м месте. Тогда при| всех п > 1 и у, у' € V справедлива следующая простая, но одновременно и очень полезная, формула, которая составляет основу комбинаторной части так называемого метода трансфер-матрицы [8]:

5>Л7) = (А")*, 1 где сумма берётся по всем путям 7 длины п в графе (7, ведущим из вершины V в вершину г/. Это равенство практически сразу вытекает из определения матричного умножения и неотрицательности весовой матрицы А. В дальнейшем, ссылаясь на метод трансфер-матрицы, мы будем иметь в виду приведённую только что формулу.

Если V — конечное или счётное множество и, А = — неотрицательна^ матрица, то поставим в соответствие, А ориентированный граф Стд с множеством вершин V и множеством рёбер Е (Са)" состоящем из всех таких пар вершин (г-, г/'), что а> 0. Ясно, что, А является весовой матрицей для С, а и, значит, неразложимость матрицы, А равносильна связности графа С аМатрица, А называется апериодической, если для любых у, у' (Е V найдётся такое Л^', что при всех п > N""1 имеем {Ап)уу! > 0. Несложно понять, что, А апериодична тогда и только тогда, когда апериодичен граф С а.

Г;

1. Абрамов Л. М. Об энтропии потока. ДАН СССР, 128 (1959), № 5, 873−875.

2. Bedford Т., Keane М., Series С. (Edtrs). Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces. — Oxford University Press, Oxford, 1991.

3. Bhatia R., Eisner L., Krause G. Bounds for variation of the roots of polynomial and the eigenvalues of a matrix. Linear Algebra and Appl., 142 (1990), 195−209.

4. Bowen R. Topological entropy for noncompact sets. Trans. Amer. Math. Soc., 184 (1973), 125−136.

5. Bowen R. Symbolic dynamics for hyperbolic flows. Amer. J. Math., 95 (1973), 429−460.

6. Bowen R. Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeornorphisms. Lecture Notes in Mathematics, 470 (1975), Springer, New York.

7. Бунимович JI. А., Синай Я. Г., Чернов Н. И. Марковские разбиения для двумерных гиперболических биллиардов. УМН, 45 (1990), вып. 3, 97−134.

8. Cvetcovic D. М., Doob М., Sachs Н. Spectra of graphs. — New York: Academic Press, 1980.

9. Добру шин P. Л. Гиббсовские случайные поля — общий случай. Функционал, анализ и его прил., 3 (1969), № 1, 27−35.

10. Fichtner К.-Н. Random permutations of countable sets. Prob. Theory and Rel. Fields, 89 (1991), 35−60.

11. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. — M.: Наука, 1967.

12. Георги Х.-О. Гиббсовские меры и фазовые переходы. — М.: Мир, 1992.

13. Гуревич Б. М. Топологическая энтропия счётной цепи Маркова. ДАН СССР, 187 (1969), № 4, 715−718.

14. Гуревич Б. М. О стационарных случайных последовательностях с заданным пространством реализаций и максимальным значением энтропии. — В сб.: Многокомпонентные случайные системы. — М.: Наука, 1978.

15. Гуревич Б. М. Устойчиво-возвратные неотрицательные матрицы. Успехи мат. наук, 51 (1996), вып. 3, 195−196.

16. Гуревич Б. М. Конечные аппроксимации бесконечных неотрицательных матриц и сходимость равновесных распределений. ДАН, 347 (1996), № 6, 732−735.

17. Гуревич Б. М., Савченко С. В. Термодинамический формализм для символических цепей Маркова со счётным числом состояний. УМН, 53 (1998), вып. 2, 3−106.БИБЛИОГРАФИЯ 139.

18. Gurevich В. M. A variational characterization of one-dimensional countable state Gibbs random fields. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 68 (1984), 205−242.

19. Gurevich B.M., Katok S. Arithmetic coding and entropy for the positive geodesic flow on the modular surface. Mose. Math. J., 1 (2001), no. 4, 569−582.

20. Katok S. Coding of closed geodesies after Gauss and Morse. Geometriae dedicata, 63 (1996), 123−145.

21. Lalley S. Renewal theorems in symbolic dynamics with applications to geodesic flows, non-Euclidean tcsselations and their fractal limit sets. Acta Mathematica, 163 (1990), 1−55.

22. Ledrappier F. Principe Variationnel et systemes dynamiques symboliques. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 30(1974), 185−202.

23. Parry W., Pollicott M. Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. Asterisque, 187−188 (1990).

24. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971.

25. Ruelle D. Thermodynamic formalism. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1978.

26. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. Ergod. Th. and Dynam. Syst., 19 (1999), 1565−1593.

27. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for null reccurent potentials. Israel J. Math., 121 (2001), 285−311.

28. Sarig О. M. Thermodynamic formalism for countable Markov shifts. — Ph.D. thesis, Tel-Aviv University, 2000.

29. Савченко С. В. Специальные потоки, построенные по счётным топологическим цепям Маркова. Функц. анализ и его прил., 32 (1998), № 1, 40−53.

30. Seneta Е. Non-negative Matrices. — L.: George Allen &: Unwin Ltd, 1981.

31. Ширяев A. H. Вероятность. — M.: Наука, 1980.

32. Spitzer F. A variational characterization of finite Markov chains. Ann. Math. Statist., 43 (1972), 303−307.

33. Vere-Jones D. Geometric ergodicity in denumerable Markov chains. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 13 (1962), 7−28.

34. Vere-Jones D. Ergodic properties of nonnegative matrices 1. Pacific J. Math., 22 (1967), 361−386.

35. Walters P. Invariant measures and equilibrium states for some mappings which expand distances. Trans. Amer. Math. Soc., 236 (1978), 121−153.

36. Якобсон M. В. Марковские разбиения для рациональных эндоморфизмов сферы Ри-мана. — В сб.: Многокомпонентные случайные системы. — М.: Наука, 1978.

37. Yuri M. Multi-dimensional maps with infinite invariant measures and countable state sofic shifts. Indag. Math., 6 (1995), 355−383.