Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Закон больших чисел для отрицательно ассоциированных случайных величин

Диссертация: Закон больших чисел для отрицательно ассоциированных случайных величин
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Такие случайные величины, как было сказано выше, наследуют ряд свойств независимых случайных величин. Это обстоятельство позволяет предположить, что основные вероятностные, закономерности, справедливые для сумм независимых случайных величин, имеют свои аналоги для отрицательно ассоциированных случайных величин. Естественно, что эта аналогия не может быть полной. Например, центральная предельная… Читать ещё >

Содержание

  • Обозначения
  • 1. Отрицательно ассоциированные случайные величины
  • 2. Построение отрицательно ассоциированных случайных величин
  • 3. Неравенства для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин
  • 4. Закон больших чисел
  • 5. Усиленный закон больших чисел
  • 6. О связи между полной сходимостью и центральной предельной теоремой для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин

Закон больших чисел для отрицательно ассоциированных случайных величин (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность темы

В диссертации исследуются условия применимости закона больших чисел в слабой и усиленной формах к отрицательно ассоциированным случайным величинам. Понятие отрицательной ассоциированности представляет собой одну из разновидностей зависимости случайных величин, наследующих некоторые черты понятия независимости случайных величин. Оно является частным случаем общего понятия ассоциированности случайных величин. С основными свойствами ассоциированных случайных величин можно познакомиться по монографии A.B. Бу-линского и А. П. Шашкина [1]. Там же приведены основные вероятностные закономерности для ассоциированных случайных величин.

Понятие ассоциированных случайных величин появилось в связи с тем, что в ряде задач теоретического и прикладного характера случайные величины обладают определенными специфическими свойствами. Понятие ассоциированности случайных величин играет объединяющую роль в том смысле, что известные трудно доказуемые утверждения могут быть доказаны универсальным методом меньшими усилиями.

Понятия положительной и отрицательной ассоциированности введены в статьях [2], [3], [4]. Число публикаций об ассоциированных случайных величинах огромно. Например, в упомянутой монографии A.B. Булинского и А. П. Шашкина перечислено свыше четырех сотен публикаций. Пристальное внимание специалистов многих стран к ассоциированным случайным величинам делает актуальными систематические исследования на эту тему. Мы сосредоточим наше внимание на отрицательно ассоциированных случайных величинах.

Такие случайные величины, как было сказано выше, наследуют ряд свойств независимых случайных величин. Это обстоятельство позволяет предположить, что основные вероятностные, закономерности, справедливые для сумм независимых случайных величин, имеют свои аналоги для отрицательно ассоциированных случайных величин. Естественно, что эта аналогия не может быть полной. Например, центральная предельная теорема для отрицательно ассоциированных одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями может не выполняться. Напомним, что для независимых случайных величин она справедлива и известна под названием центральной предельной теоремы Леви. В диссертации доказано, что закон больших чисел в слабой и усиленной формах применим к отрицательно ассоциированным случайным величинам, если он применим к независимым случайным величинам с одинаковыми маргинальными распределениями, более точно, если выполнены классические условия применимости усиленных законов больших чисел. В ряде случаев классические условия являются необходимыми и достаточными условиями применимости законов больших чисел к отрицательно ассоциированным случайным величинам.

Цель работы. Исследовать условия применимости закона больших чисел в слабой и усиленной формах к отрицательно ассоциированным случайным величинам.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказаны экспоненциальные неравенства для максимальных сумм ограниченных отрицательно ассоциированных случайных величин.

2. Доказано, что слабый закон больших чисел применим к отрицательно ассоциированным случайным величинам, если он выполняется для независимых случайных величин с одинаковыми маргинальными распределениями. Найден критерий применимости слабого закона больших чисел к максимальным суммам отрицательно ассоциированных случайных величин.

3. Доказано, что многие критерии применимости усиленного закона больших чисел для независимых случайных величин применимы к отрицательно ассоциированным случайным величинам.

Методы исследования. В работе использованы аналитические методы математического и функционального анализа, неравенства и предельные теоремы теории вероятностей, а так лее оценки вероятностей больших уклонений для максимальных сумм отрицательно ассоциированных случайных величин.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Основная значимость работы состоит в распространении законов больших чисел для независимых случайных величин на отрицательно ассоциированные случайные величины.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести разделов и списка цитируемой литературы, насчитывающего 54 наименования. Общий объем диссертации составляет 124 страницы.

Заключение

.

В диссертации доказано, что закон больших чисел применим к отрицательно ассоциированным случайным величинам, если он применим к независимым случайным величинам с одинаковыми маргинальными распределениями. Доказательство основано на применении новых экспоненциальных неравенств для максимальных сумм отрицательно ассоциированных случайных величин.

На защиту выносятся следующие результаты. а) Экспоненциальные неравенства для максимальных сумм отрицательно ассоциированных случайных величин. Теоремы 3.4 и 3.5. б) Условия применимости слабого закона больших чисел. Все теоремы раздела 4, из которых мы выделяем теоремы 4.10 и 4.12. в) Условия применимости усиленного закона больших чисел. Все теоремы раздела 5, из которых мы выделяем теоремы 5.3, 5.5, 5.13 и 5.14.

Перечисленные результаты существенно расширяют область применения законов больших чисел в слабой и усиленной формах. В ряде случаев указанные достаточные условия применимости закона больших чисел оказываются и необходимыми. Результаты диссертации дают основание предполагать, что все законы больших чисел для независимых случайных величин имеют аналоги для отрицательно ассоциированных случайных величин.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008.
  2. Esary J., Proschan F., Walkup D. Association of random variables with applications // Annals of Mathematical Statistics. — 1967. — Vol. 11. — Pp. 1466−1474.
  3. Joag-Dev K., Proschan F. Negative association of random variables with applications // Annals of Mathematical Statistics. — 1983. — Vol. 11, no. 1. Pp. 286−295.
  4. Alam K., Saxena K.M.L. Positive dependence in multivariate distributions // Commun. Stat. Theory Methods A. 1981. — Vol. 10. — Pp. 1183−1196.
  5. М.Ю. Усиленный закон больших чисел для попарно отрицательно зависимых случайных величин // Вестник Московского Университета. 2009. — Т. 2. — С. 7−13.
  6. М.Ю. О полной сходимости сумм отрицательно ассоциированных случайных величин // Вестник Тверского Государственного Университета. 2010. — Т. 9. — С. 29−42.
  7. М.Ю. Неравенства для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин // Вестник Тверского Государственного Университета. 2010. — Т. 14. — С. 5−12.
  8. П.Л. О средних величинах, Поли. собр. соч. — M.-JL, 1947. — Т. 2.
  9. Lehmann E.L. Some concepts of dependence // Annals of Mathematical Statistics. 1966. — Vol. 37. — Pp. 1137−1153.
  10. Shao Q.M. A comparison theorem on moment inequalities betweennegatively associated and independent random variables // Journal of Theoretical Probability. 2000. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 343−356.
  11. Choi K.P., Klass M.J. Some best possible prophet inequalities for convex functions of sums of independent variates and unordered martingale difference sequences // Annals of Probability — 1997. — Vol. 25, no. 2. — Pp. 803−811.
  12. A.H. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1986.
  13. Ю.В. Одна экстремальная задача теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. — 1959. — Т. IV, № 2. — С. 211— 214.
  14. С.В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений // Теория вероятностей и ее применения. — 1965. — Т. X, № 2. — С. 231— 254.
  15. Фук Д.Х., Нагаев С. В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин // Теория вероятностей и ее применения. — 1971. Т. XVI, № 4. — С. 660−675.
  16. Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables // Journal of the American Statistical Association. — 1963. — Vol. 58, no. 301. Pp. 13−30.
  17. Antonov S.N., Kruglov V.M. Sharpened versions of a Kolmogorov’s inequality // Statstics and Probability Letters. — 2010. — Vol. 80. — Pp. 155−160.
  18. Я. О законе больших чисел. — М.: Наука, 1986.
  19. .В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.: Гостехиздат, 1949.
  20. В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987.
  21. Revesz P. The law of large numbers. — Budapest: Akademia Kiado, 1967.
  22. Khinchin A.Ya. Sur la loi forte des grands nombres // Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences, Paris. — 1928. — Vol. 186. — Pp. 285−287.
  23. Ю.В. Об усиленном законе больших чисел // Изв. АН СССР, сер. матем. 1960. — Т. XIV, № 6. — С. 523−536.
  24. Ю.В. Усиленная устойчивость сумм и неограниченно-делимые распределения // Теория вероятностей и ее применения. — 1958. Т. III, № 2. — С. 153−165.
  25. Ю.В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел // Теория вероятностей и ее применения. — 1959. — Т. IV, № 2. — С. 215−220.
  26. С.В. О необходимых и достаточных условиях для усиленного закона больших чисел // Теория вероятностей и ее применения. — 1972. — Т. XVII, № 4. С. 609−618.
  27. М. Теория вероятностей. — М.: И.Л., 1962.
  28. Matula P. A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variable // Statist. Probab. Lett. — 1992. — Vol. 15. — Pp. 209−213.
  29. Brunk H.D. The strong law of large numbers // Duke Math. J. — 1948. — Vol. 15. Pp. 181−195.
  30. Chung K.L. The strong law pf large numbers // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Statistics and Probability (California, 1950). — 1951. Pp. 341−352.
  31. Fazekas L., Klesov O.A. A general approach to the strong laws of largenumbers // Теория вероятностей и ее применения. — 2000. — Т. 45, № 3. С. 568−583.
  32. Chow Y.S., Teicher Н. Probability theory. — Springer-Verlag, 1988. — 2-nd ed.
  33. B.M. Обобщение усиленного закона больших чисел Брунка-Прохорова // Теория вероятностей и ее применения. — 2002. — Т. 47, № 2. С. 347−349.
  34. Taylor R.L., Patterson R.F., Bozorgnia A. A strong law of large numbers for arrays of rowwise negatively dependent random variables // Stochastic Analisis and Applications. — 2002. Vol. 20, no. 3. — Pp. 643−656.
  35. Csorgo S., Tandori K., Totik V. On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables // Acta Math. Hungar. — 1983. — Vol. 42, no. 3−4. Pp. 319−330.
  36. Kruglov V.M. A strong law of large numbers for pairwise independent identically distributed random variables with infinite means // Stat. Probab. Lett. 2008. — Vol. 72. — Pp. 890−895.
  37. B.M. Рост сумм попарно независимых случайных величин с бесконечными средними // Теория вероятностей и ее применения. — 2006. Т. 51, № 2. — С. 382−385.
  38. Feller W. A limit theorem for random variables with infinite moments // Amer. J. Math. 1946. — Vol. 66, no. 2. — Pp. 257−262.
  39. Hsu P.L., Robbins H. Complete convergence and the law of large numbers // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1947. — Vol. 33. — Pp. 25−31.
  40. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins // Annals of Mathematical Statistics. 1949. — Vol. 20. — Pp. 286−291.
  41. Erdos P. Remark on my paper «On a theorem of Hsu and Robbins» // Annals of Mathematical Statistics. — 1950. — Vol. 21. — P. 138.
  42. Spitzer F. A combinatorial lemma and its application to probability theory // Transaction of the American Mathematical Society. — 1956. — Vol. 82. — Pp. 323−339.
  43. Baum L.E., Katz M. Convergence rates in the law of large numbers // Transaction of the American Mathematical Society. — 1965. — Vol. 120. — Pp. 108−23.
  44. V.M., Volodin A.I., Ни T.-C. On complete convergence for arrays // Statistics and Probability Letters. 2006. — Vol. 76. — Pp. 1631−1640.
  45. Kruglov V.M., Volodin A.I. Convergence rates in the law of large numbers for arrays // Probab. and Mathem. Statist. — 2006. — Vol. 1. Pp. 63−76.
  46. Chen P., Yu N.-C., Liu X., Volodin A.I. On complete convergence for arrays of rowwise negatively associated random variables // Theory of Probability and Its Applications. — 2007. Vol. 52. — Pp. 393−397.
  47. Kruglov V.M. Complete convergence for maximal sums of negatively associated random variables // Hindawi Publishing Corporation. Journal of Probability and Statistics. Vol. 2010, Article ID 764 043, 17 pages.
  48. Heyde C.C. A Supplement to the Strong Law of Large Numbers //J. Appl. Prob. 1975. — Vol. 12. — Pp. 173−175.
  49. Su Chun, Qin Yongson. Two limit theorems for NA random variables // Chinese science bulletin. — 1997. — Vol. 42, no. 2. — Pp. 356−359.
  50. Г. Г., Литтлвуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. — М.: И.Л., 1948.
  51. А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2004. — Т. 1.
  52. Matula P. Convergence of weighted averages of associated random variables // Probab. and Math. Statist. 1996. — Vol. 16. — Pp. 337−343.
  53. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonctions independantes // Fund, math. 1937. — Vol. 29. — Pp. 60−90.
  54. Slivka J., Severo N.C. On the strong law of large numbers // Proc. Aimer. Math. Soc. 1970. — Vol. 24. — Pp. 729−734.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?