Метод последовательного изменения кривизны в теории пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах

Тонкостенные ребристые оболочки являются составной частью многих конструкций, сооружений и аппаратов в различных областях техники. Расчеты на прочность и устойчивость таких конструкций должны вестись одновременно с оптимизационными расчетами. Если учитывать нелинейные факторы, то такие расчеты проводить чрезвычайно сложно. Жесткость конструкции можно повысить не только за счёт повышения жесткости рёбер, но и за счёт увеличения кривизны оболочки. Поэтому разработка метода, позволяющего находить напряженно-деформированное состояние (НДС) оболочки при изменении её кривизны и на основе этого метода и метода последовательных нагружений находить рациональную кривизну конструкции, является актуальной задачей.

Основные идеи теории ребристых оболочек высказаны в конце 40-х годов В. З. Власовым [13] и А. И. Лурье [53]. В их работах заложены два основных подхода к исследованию ребристых оболочек. В. З. Власов рассматривал ребристую оболочку как контактную систему, состоящую из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А. И. Лурье рассматривал обшивку и ребра как одно целое. Используя вариационный принцип, получал уравнения равновесия и естественные граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии и что ребристую оболочку можно рассматривать как конструкцию, состоящую из оболочки (обшивки) и подкрепляющих ее одномерных упругих элементов, либо тонкостенных стержней (В.З. Власов), либо стержней Кирхгофа-Клебша (А.И. Лурье). Третий подход к ребристой оболочке основан на сведении ее к конструктивно-ортотропной схеме [66].

В конце 60-х годов П. А. Жилин [24,25] заметил, что при втором подходе (подход А.И. Лурье) привлекаются две различные технические теории (теория оболочек и теория стержней), гипотезы которых не вполне совместимы. В связи с этим он предложил ребристую оболочку рассматривать как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом учитывается, что контакт между оболочкой и ребрами происходит по поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке применяется в работах В. В. Карпова [3537,42]. Им разработана теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая и перекрестную работу ребер, и наличие в одной конструкции ребер, вырезов и накладок, из которой можно получить все известные ранее подходы и уравнения равновесия и движения.

За последние 50 лет появилось большое число работ, относящихся к исследованию ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами. Однако, подавляющее число публикаций относится к исследованию оболочек в линейной постановке. Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. В работах Амиро И .Я. и Заруцкого В. А. [7,8] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как при статической постановке, так и в динамической. Следует отметить еще обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б .Я. и др. [32]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы ученых Красноярского края: Абовского Н. П., Еджиевского JI.B. и др. [13,23,78,79], а также работы Карпова В. В. [34−36,42−47], кроме того работы Тимашева С. А. [68,75] и Климанова В. И. [49,50].

Современное состояние теории ребристых оболочек характеризуется работами Абовского Н. П., Алфутова H.A., Амиро И .Я., Андреева JI.B., Вайнберга Д. В., Белосточного Г. Н., Бурмистрова Е. Ф., Власова В. З., Грачева O.A., Гребня Е. С., Гречанинова И. П., Григолюка Э. И., Гузя А. Н., Диаманта Г. Н., Енджиевского JI.B., Жигалко Ю. П., Жилина П. А., Заруцкого В. А., Кабанова В. В., Кантора Б. Я., Карпова В. В., Климанова В. И., Корнеева B.C.,.

Кохманюка С.С., Лесничей В. А., Лурье А. И., Малинина A.A., i.

Малютина И.С., Маневича А. И., Масленникова A.M., Милейковс-кого И.Е., Михайлова Б. К., Моссаковского В. И., Назарова H.A., Немировского Ю. В., Ободан Н. И., Пальчевского A.C., Постнова В. А.,.

Почтмана Ю.М., Преображенского И. Н., Пшеничного Г. И., Рассудова В. М., Семенюка Н. П., Теребушко О. И., Тимашева С. А., Чернышева В. Н., Бискова и Хагисона, Ву Р. и Уатмера Е., Зингера Д., Фишера С. и Берта С. и др. #.

Исследования в области устойчивости ребристых оболочек, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер — теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия.

Если в ранний период исследования ребристых оболочек лишь в отдельных работах рассматривалось дискретное размещение ребер, то в публикациях последних 15−25 лет, как отмечают, например, И .Я. Амиро и В. А. Заруцкий [7], как правило, учитывается дискретное размещение ребер. Результаты исследований, основанных на схеме, сводящей расчет ребристой оболочки к рассмотрению гладкой оболочки с приведенными жесткостными характеристиками, («размазанными») подробно изложены в работах [54,66,75,88]. Однако метод конструктивной анизотропии широко используется при расчете «вафельных» оболочек и, как показано в работах Карпова В. В. и Игнатьева О. В., взятый в специальном виде очень эффективен [27,48].

С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях4 пренебрегается некоторыми факторами. Зачастую пренебрегается влиянием сдвиговой и крутильной жесткости ребер на НДС конструкции. Сводя задачу устойчивости ребристой оболочки к рассмотрению устойчивости системы панелей, опертых на упругие ребра, Гавриленко Г. Д. [16] решает задачу в более строгой постановке.

В геометрически нелинейной постановке при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривых нагрузка-прогиб оболочки [15,16,35,36,42−44,50,56,72,73,75,78]. В работах Грачева O.A. [18,19] рассматриваются сферические оболочки в линейной постановке с учетом сдвиговых деформаций (модель типа Тимошенко). Исследовано влияние сдвиговых деформаций на критические нагрузки в зависимости от эксцентриситета ребер. В работе Климанова В. И. и Тимашева С. А. [50] дан вывод нелинейных уравнений и условий сопряжения для гибких пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом упругих и не упругих деформаций, линейной и нелинейной ползучести материала, несовершенств формы поверхности. В детерминированной и стохастической постановках решены новые задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закритического поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными ребрами и оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер. Эта работа является естественным продолжением работы Тимашева С. А. [75]. <

Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2,23,24,25,78]. Причем, в работах Абовского Н. П., Енджиевского Л. В. и др. ученых Красноярского края [2,23,78,79] задание дискретной переменности толщины используется как для задач в физически нелинейной постановке, так и геометрически нелинейной. Это работы Чернышева В. Н. [78,79] и др. При этом могут рассчитываться как оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленные вырезами. Уравнения пространственной задачи теории упругости для ребристой оболочки в линейной постановке получены в работе [90].

Рассмотрению задачи расчета ребристой оболочки, как контактной задачи в геометрически нелинейной постановке, посвящены работы Теребушко О. И. [73,74]. Рассматривается часть оболочки между ¡—т и 1+1-т продольным и^т и ]+1-т поперечным ребрами. На выделенный участок оболочки действует поперечная поверхностная нагрузка д, а по краям действуют силы взаимодействия соседних участков оболочки и подкрепляющих ребер. Используя условие совместности деформаций оболочки и ребра в точках контакта, записываются граничные условия для края оболочки, опирающейся на i-e продольное ребро.

В работах Карпова В. В. [35,36,42−44,48] устойчивость ребристых оболочек рассматривается с позиции геометрической нелинейности, ч Для сведения нелинейных уравнений к последовательности решения линейных уравнений, применяется метод последовательных нагружений [59,60]. При этом определяется и местная, и общая потеря устойчивости во взаимосвязи. Нелинейная теория тонких оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая поперечные сдвиги, разработанная Карповым В. В., на наш взгляд, является в настоящее время наиболее точной.

Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое число публикаций [6,10,24,25,30,34,46,59,63]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало важным моментом исследования, что все учебники по строительной механике содержат главы, посвященные методам расчета, например [29].

Для решения линейных задач используются как точные и приближенные аналитические методы [6], так и численные: метод конечных разностей [16], метод конечных элементов [61] и метод Бубнова-Галеркина [14,15]. При использовании аналитических методов, решения разыскиваются в форме двойных рядов [6] и др. При решении нелинейных задач, к выбранным членам рядов добавляются слагаемые, отражающие развитие прогибов потерявшей устойчивость оболочки, преимущественно к центру кривизны [6]. Для приближенного решения систем уравнений в этих случаях широко^ используется метод Бубнова-Галеркина [14] и метод конечных элементов (МКЭ) [61,62].

На основе численных методов решены задачи устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек, как с учетом моментности докритического состояния, так и без учета. Основной вывод проведенных исследований сводится к тому, что с увеличением числа ребер влияние моментности докритического состояния оболочек снижается [62].

В работе Постнова В. А., Корнеева B.C. [62] за отдельный элемент принят усеченный конус, что позволяет с успехом решать задачи устойчивости для оболочек вращения.

В работах Карпова В. В. для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных — уравнений равновесия ребристых оболочек используется метод последовательных нагружений (МПН) в сочетании с методом Бубнова-Галер-кина. Карповым В. В. предложен метод последовательного наращивания ребер, являющийся разновидностью метода продолжения решения по параметру, где за параметр взята высота ребер [47]. Таким образом, зная НДС оболочки при некотором значении параметра нагрузки, можно находить поправки к НДС, в зависимости от изменения высоты ребер, т. е. в зависимости от изменения жесткостных характеристик оболочки. Причем, этот метод может быть применим и для расчета оболочек с вырезами.

В нелинейной теории пластин и оболочек, широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И. Григо-люком и В. И. Шалашилиным в их совместной монографии [21]. Так в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку, В. В. Петров получил МПН, имеющий широкое лрименение [59]. Его учениками получены другие методы. Так, В. В. Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки и получен метод пристрелки [52]. В. В. Карповым за параметр взята высота ребер и получен метод последовательного наращивания ребер (МПНР) [47], получивший развитие в работах A.C. Филиппова [39]. Кроме того В. В. Карповым и О. В. Игнатьевым за параметр взята кривизна оболочки и получен метод последовательного изменения кривизны (МПИК) [35].

Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров, подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений — условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы* оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничение описывается достаточно простыми соотношениями, а с другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, а решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.

В работе И .Я. Амиро и В. А. Заруцкого [6] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследований. Видимо, отмечают И .Я. Амиро и В. А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.

Как показал анализ работ, решение задач оптимизации традиционными методами для рассматриваемого класса задач практически невозможно. Наиболее успешный путь решения задач рационального выбора кривизны — это использовать МПИК в сочетании с МПН, аналогично тому как, это делали В. В. Карпов, О. В,.

Игнатьев и A.C. Филиппов для выбора рационального подкрепления оболочки, используя МПНР и МПН [40].

Таким образом, дальнейшая разработка МПИК, исследование на его основе НДС и устойчивости ребристых оболочек и подбора^ рациональной кривизны, является актуальной задачей.

Цель диссертации состоит в разработке метода последовательного изменения кривизны (МПИК), который позволяет находить НДС пологой оболочки при изменении ее кривизны и создании методики выбора рациональной кривизны оболочек на основе разработанного МПИК и метода последовательных нагружений (МПН).

Новыми научными результатами и основными положениями, выносимыми на защиту являются:

— уравнения метода последовательного изменения кривизны (МПИК) для уравнений равновесия пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах как в перемещениях, так и в смешанной форме;

— разработанные модификации МПИК более высокого порядка точностиполученные уравнения МПИК при «размазывании» жесткостных характеристик ребер, как в перемещениях, так и в смешанной форме;

— полученные уравнения МПИК в перемещениях при учете поперечных сдвигов;

— разработанные алгоритмы решения полученных уравнений МПИК и составленный комплекс программ расчета* НДС и устойчивости оболочек ступенчато-переменной толщины;

— разработанная схема метода покоординатного спуска, на основе МПИК и метода последовательных нагружений, позволяющая подбирать рациональную кривизну оболочек;

— полученные результаты исследования НДС и устойчивости конкретных оболочек ступенчато-переменной толщины.

Достоверность полученных результатов подтверждается применением научно-обоснованного аппарата при выводе уравнений МПИК, а также использованием для решения полученных уравнений детально изученных методов. Сравнение с результатами, полученными для одних и тех же задач на основе различных методик, также говорит о достоверности получаемых результатов.

Практическая ценность и внедрение результатов.

Разработанное математическое и программное обеспечение расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах при меняющейся кривизне конструкции на основе МПИК может найти применение в научно-исследовательских, проектных и конструкторских организациях при расчетах на прочность, устойчивость и оптимизацию деталей машин, аппаратов, конструкций и сооружений.

Все, полученные в работе результаты численного эксперимента приведены в безразмерном виде, удобном для их использования в практике проектирования конструкций.

Работа получила внедрение в Институте Проблем Точной механики и управления РАН.

— Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на 53-й и 54-й научной конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (1996, 1997 г.). Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры математической теории упругости и биомеханики СГУ под руководством д.ф.-м. наук профессора Л. Ю. Коссовича (сентябрь 1998 г.), на научном семинаре кафедры строительной механики Волгоградской архитектурно-строительной академии под руководством д.т.н./ профессора В. А. Игнатьева (сентябрь 1998 г.), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д.ф.-м. наук профессора Вагера Б. Г. (октябрь 1998 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в трех научных статьях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований и четырех приложений. Работа изложена на 164 страницах машинописного текста, иллюстрирована 20 рисунками. В приложения вынесены коэффициенты полученных в работе уравнений и программы расчета на ЭВМ.

4.4 Выводы.

Таким образом, для выбора рациональной кривизны оболочки ступенчато-переменной толшины можно использовать вариант метода покоординатного спуска, основанный на МПН и МПИК. Процесс смены параметра не приводит к сложностям решения разрешающих уравнений, так как в МПН И МПИК основная — левая часть уравнений, после сведения методом Бубнова-Галеркина дифференциальных уравнений к алгебраическим, общая и отличие только в правых частях. Выходные данные одного метода (значения перемещений) являются входными данными (11о) для другого.

Заключение

.

Проведённые исследования НДС и устойчивости ребристых оболочек различных кривизн показали, что жесткость конструкции может быть повышена не только за счёт увеличения жесткости рёбер, но и за счёт выбора надлежащей кривизны оболочки. Для определения НДС оболочек при изменении их кривизны оказывается необходимым мпик.

По результатам проведённых исследований, связанных с разработкой и обоснованием МПИК, можно сделать следующие выводы:

1. Разработан метод, позволяющий находить НДС оболочек ступенчато-переменной толщины при изменении их кривизны, который получил название метода последовательного изменения кривизны (МПИК).

2. Получены уравнения МПИК для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины в перемещениях и в смешанной форме.

3. Получены уравнения МПИК при «размазывании» жесткост-ных характеристик рёбер как в смешанной форме, так и в перемещениях.

4. Получены уравнения МПИК в перемещениях с учётом поперечных сдвигов.

5. Разработаны модификации МПИК более высокого порядка точности и проведено обоснование точности и сходимости метода.

6. Составлен программный комплекс для ЭВМ расчетов НДС оболочек ступенчато-переменной толщины при изменении их кривизны и проведён анализ НДС оболЬчек при изменении их кривизны. Проведено обоснование точности и достоверности результатов, полученных МПИК.

7. Разработана схема метода покоординатного спуска на основе МПН и МПИК, удобная для выбора рациональной кривизны оболочек при автоматизированном проектировании лёгких, но высокопрочных конструкций и показана её программная реализация.