О взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования

Пусть Г2 — некоторый метод суммирования числовых рядов, то есть правило, по которому ряду ^ ап мы сопоставляем (или пет) некоторое число. Суммируемость ряда к числу 5 методом О обозначается кратко: = 5(П). В дальнейшем мы всегда будем рассматривать методы удовлетворяющие свойству линейности (см. &bdquo-Список методов суммирования" п.9).

Иными словами, пусть V — линейное пространство всех последовательностей. Тогда линейным методом суммирования О называется линейная функция /: IV —" К, где IV — линейное подпространство пространства V.

Таким образом множество V/ — есть множество последовательностей, суммируемых методом П и У IV — множество последовательностей, не суммируемых методом В дальнейшем множество IV для метода 12 будем обозначать И^п.

Пусть и Л два метода суммирования.

Рассмотрим две основные задачи в теории методов суммирования рядов.

Задача 1 (Абель).

Для двух данных методов ?2 и Л выяснить имеет место включение П С Л или нет.

Задача 2 (Таубер).

Пусть известно, что О, с А. Требуется найти условие (К) определенной формы такое, что на классе последовательностей, удовлетворяющих (IX), справедливо обратное включение, то есть Жд П IX С И7^.

Такие условия мы будем называть условиями тауберова типа или.

Т ($ 2)(Л)-усло1зиями. Таким образом условие (IX) будем называть Т^(А)-условием, если из того, что ]Рап = 5(А) и того, что последовательность {а&bdquo-} удовлетворяет условию (IX), будет следовать, что ап = 5(П).

В 1890 году итальянский математик Эрнесто Чезаро [3] обобщил понятие сходимости числовых рядов, в результате чего появился целый класс методов суммирования (определение см. &bdquo-Список методов суммирования" п.1), названный в его честь. В литературе методы Чезаро обычно обозначаются (С, а), где, а — порядок метода. В силу простоты определения и удобства свойств методы Чезаро получили широкое применение. Впоследствии их стали сравнивать с другими появляющимися методами суммирования.

В 1909 году венгерский математик Марсель Рисс [18] несколько видоизменил определение метода суммирования Чезаро для целого порядка к. Классическое С* он рассмотрел в следующем виде к 1 А (п — V + к «*.

Далее заменой всех знаменателей п + 1, п + 2, ., п + к на п было получено повое среднее и=0.

Соответственно новое определение суммируемости приняло вид.

Е ап = к) -Л 5 при п —> +оо.

Очевидно, что здесь параметр к может принимать и любые действительные неотрицательные значения.

Рисс обнаружил, что свойства новых полученных средних Вкп для больших значений к не совпадают со свойствами соответствующих чезаровских средних. Отсюда естественным образом встает вопрос о взаимосвязи данного нового метода суммирования не только с соответствующим методом Че-заро, но и с другими известными методами суммирования. Новые средние Вкп получили название дискретных средних Рисса, а соответствующий метод суммирования — метод суммирования дискретными средними Рисса.

Несмотря на то, что с момента определения методов (7М, а) пронтло более 100 лет. многие свойства методов Рисса остаются малоизученными.

Целью данной работы является изучение связей между методами суммирования дискретными средними Рисса (Вс1, а) и другими классическими методами суммирования. В работе будут рассмотрены как абелевы вопросы включения методов суммирования, так и тауберовы условия эквивалентности методов.

Определения и основные свойства методов суммирования дискретными средними Рисса можно найти в [1, 18, 19]. В работе [1] метод суммирования дискретными средними Рисса порядка а, который мы обозначили (Вс1, а), обозначается Ап.

В качестве классических методов суммирования, с которыми сравниваются методы Рисса, будем рассматривать методы суммирования Чезаро (С, /3) с различными /3, /3 > 0- метод суммирования Абеля (Л) — методы суммирования Эйлера (Е, д) с различными д, д > 0- экспоненциальный и интегральный методы суммирования Бореля (В) и (В'), соответственнои методы суммирования Вороного с последовательностью рп специального интересного для нас вида. Определения и основные свойства методов Чезаро, Абеля, Эйлера, Бореля и Вороного подробно рассмотрены в монографии по теории расходящихся рядов [36].

Связям между методами Чезаро и Рисса одного порядка посвящено довольно много работ. Для наглядности приведем в хронологическом порядке основные результаты прямого (абелева) включения:

I. 1911 г. М. Рисс [19]: (С, а) С для, а > 0;

II. 1923 г. М. Рисс [20]: (ДЖ а) С {С, а) для 0 < а < 1- (М, 2) сильнее, чем (С, 2) — (Яс1,3) сильнее, чем (С, 3);

III. 1956 г. А. Пейеримхофф [16]: (1М, к) сильнее, чем (С, к), для любого нечетного к > 5;

IV. 1962 г. Б. Куттнер [11]: (Ш, а) С (С, а) для 0 < а < 2- (М, а) сильнее, чем (С, а), для, а > 2.

Из приведенных результатов видно, что с момента получения М. Риссом первого результата о связи новых методов суммирования с методами Чезаро до полного решения вопроса о взаимосвязи методов одного порядка прошло более 50 лет. В расширение данного вопроса, мы можем заметить, что если 0 < а < 2 и, а < /3, то (11(1, а) С (С, /3). Это очевидно следует из результата IV и того факта, что (С, а) С (С, /3) при, а < (3. Однако в ситуации, когда, а > 2 и, а < /3, нет результатов, на которые можно было бы опереться. При данных условиях вопрос о включении методов (Вв, а) и (С, /3) сохраняет свою актуальность.

В главе 1 мы установим важные взаимосвязи, которые полностью решат вопрос о связи методов Чезаро и дискретных средних Рисса различных порядков.

В первом параграфе главы 1 мы рассмотрим метод суммирования дискретными средними Рисса порядка 2 (Пс1, 2). Забегая вперед, отметим, что метод с данным порядком будет являться неким &bdquo-переходным" методом от методов Чезаро к методам Рисса.

В данном параграфе будут доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. Пусть /3 — фиксированное число, такое, что ?3 > 3.

Тогда {М, 2) С (С,(3).

Теорема 1.2. Пусть ?3 — фиксированное число, такое, что 2 < /3 < 3.

Тогда (М, 2)? (С. /3).

При доказательстве данных утверждений будут существенно использоваться матричные методы суммирования и их свойства, в частности, вошедшая во все учебники по суммированию рядов теорема Кожима-Шура [30], известная также как теорема Теплица.

Во втором параграфе главы 1 мы рассмотрим методы суммирования дискретными средними Рисса порядка большего 2.

Для метода (Я (1,а), где, а > 2 и метода Чезаро (С,/3), где (3 > а мы докажем следующее утверждение:

Теорема 1.4. Пусть, а и ?3 — фиксированные числа, такие, что 2 < а < ?3.

Тогда (Лс/, а)? (С, ?3).

При доказательстве данного утверждения для любых фиксированных, а и /3, таких что 2 < а < (3 будет построен пример ряда ап, который суммируется методом дискретных средних Рисса (Яд, а) и не суммируется методом Чезаро (С, /3).

Доказательство суммируемости ряда методом дискретных средних Рисса, оо будет основано на свойствах функции Р (х) = + 1) ахп. Интересный.

71=0 факт, что сам Леопард Эйлер для целых, а исследовал свойства данной функции в своей монографии [5], изданной в Санкт-Петербурге в 1755 году! Л. Эйлер доказал, что при домножении функции Р (х) на (1 — х) а+1 в произведении получаются многочлены порядка, а —1 с симметричными коэффициентами. Коэффициенты при различных степенях х получили название эйлеровых чисел первого порядка, а сами полиномы — эйлеровых многочленов [261.

Более подробно свойства функции Р (х) можно найти, например, в работе [12]. В главе 1 при доказательствах нам понадобится только факт, что внутри единичного круга функция Р (х) при каждом фиксированном, а > 2 имеет по крайней мере один корень [11] и количество корней конечно [15].

Тем самым результаты главы 1 дают окончательный ответ на вопрос абе-лева типа о включении методов (Rd, а) произвольного порядка, а методами (С- ?), где? > а.

Точнее справедливы следующие взаимосвязи:

1) (С. а) С (Rd. а) при, а > 0- Известный ранее факт.

2) (Rd, а) ~ (С. а) С (С. ?) при 0 < а < 2 и, а < ?] Известный ранее факт.

3) (Rd, 2) .

4) (Rd, 2) с (С. ?) при? > 3 Теорема 1.1.

5) (Rd, а) 2 и? > 0 Теорема 1.4.

Таким образом метод суммирования дискретных средних Рисса порядка 2 является неким &bdquo-переходным" методом суммирования между методами Рисса и Чезаро.

А именно:

• При порядке меньшем двух методы суммирования дискретными средними Рисса ведут себя эквивалентно, методам Чезаро такого же порядка.

• Метод суммирования дискретными средними Рисса порядка два не эквивалентен методу Чезаро этого же порядка. И более того, не включается в методы Чезаро большего порядка вплоть до порядка три. То есть метод (Rd, 2) уже не эквивалентен методам Чезаро, однако все же отличается не критично и включается в методы Чезаро большего целого порядка.

• Начиная с порядка большего двух, методы суммирования дискретными средними Рисса не включаются ни в какие методы Чезаро, какого бы большого порядка мы их не брали.

Глава 2 будет посвящена взаимосвязям абелева типа методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования. Как уже отмечалось этими методами будут метод Абеля (Л) — методы Эйлера (Е, д), при д > 0- экспоненциальный и интегральные методы Бореля (В) и (В') — и методы Вороного {1У, рГ1) специального вида.

В параграфе 1 мы рассмотрим методы дискретных средних Рисса в сравнении с методами Абеля, Эйлера и Бореля.

Из взаимосвязей методов Чезаро с методами дискретных средних Рисса и Абеля вытекает:

О ^ а) для любого, а > 0- и) (М, а) С {А) при 0 < а < 2.

Для случая, а > 2 установим следующую теорему:

Теорема 2А. Пусть, а > 2 — фиксированное число.

Тогда {ВЯ, а) .

Далее для методов Эйлера и Бореля известно (см. [9, 36]), что (Е, д) С (В) С (В') при д > 0 и, более того, метод (В) сильнее, чем метод (Е, д), а метод (В') сильнее, чем (В).

В [36, глава 8] мы можем найти примеры рядов, которые для каждого фиксированного, а > 0 суммируются методами Чезаро (С, а), по не суммируются методами Бореля (В) и (В1), а соответственно не суммируемые и методами Эйлера (Е, д) для любого д > 0. А также наоборот существуют ряды, суммируемые методами Эйлера (Е, д) для каждого фиксированного д > 0, которые в свою очередь не суммируются методами Чезаро (С, а) для любого, а > 0.

Отсюда в силу (С, а) С (Яс/. а) сразу же получаем, что существуют ряды, суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса (Яс1, а) для каждого фиксированного, а > 0 и не суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В1), а также методами Эйлера (?, 0.

В главе 2 мы докажем обратный случай. А точнее:

Теорема 2.2. Пусть а, д > 0 — фиксированные числа.

Тогда существуют ряды, суммируемые (Е, д), но не суммируемые {Яд, а).

При доказательстве теоремы 2.2. будет рассмотрен ряд специального вида и показано, что он суммируем методом Эйлера (Е, д) для любого д > 0. При доказательстве суммируемости методом (Е, д), в частности, используются биномиальные коэффициенты и некоторые их свойства, которые можно найти, например, в монографии [26].

Кроме того в части доказательства будут существенно использованы некоторые тауберовы условия взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с методами Чезаро. Эти условия будут получены в главе 3 независимо от доказательства теоремы 2.2.

Таким образом мы получаем, что методы дискретных средних Рисса не соизмеримы с методами Эйлера и экспоненциальным и интегральным методами Вореля. То есть существуют ряды, суммируемые методами Эйлера {Е, д) для каждого порядка д > 0. а соответственно суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В'), но не суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса {Яд, а) ни для какого порядка, а > 0.

Во второй части главы 2 мы будем рассматривать методы суммирования дискретными средними Рисса по отношению к методам Вороного (Нерлунда) специального вида.

Рассмотрим последовательность {рп}, где ро > 0, р&bdquo- > 0.

Пусть Pn = Y, Pi.

7=0.

Положим pmso + pm-lsl +. ¦ • + p ()sm pma, q + pm-di +. .. + p0am.

Im ~ ро + р + • • • + рт Ргп.

Тогда последовательность {рп} определяет некий метод суммирования Вороного (IV, рп).

Если Ьт —> 5 при т —оо, то мы будем писать эс п=0.

Хорошо известно, что условие гл необходимо и достаточно для регулярности метода Вороного (IУ, рп) [36, стр. 89].

Заметим, что последовательности {р,} и {Рп} определяют функции.

Vi?) = х11 и.

P (x) = Y, PnXn.

Функция Р (х) называется производящей функцией метода (W, pri). В случае, когда метод (W, pn) — регулярен, ряды и Рп%п сходятся для |х| < 1 и при этих значениях х имеем р{х) = (1 — х) Р (х).

Нули функции Р (х) при х < 1 заметно влияют на свойства методов суммирования Вороного (см. например, [16, 34]).

Известно [36, стр. 141, стр. 148]. что методы суммирования дискретными средними Рисса (Рс/, а) и методы Чезаро (С, /3) являются методами Вороного и (И7, соответственно, где р («) = (п + 1)» — п" ;

РЫ = (п + 1)" — и.

3) / +? р).

В дальнейшем, когда порядок метода суммирования не будет вызывать со.

ТУ гл («) (Л г (Р) мнения, будем писать просто р&bdquo-, Рп, qv, подразумевая рп РТ1, Цп, чп соответственно.

Очевидно, что методы регулярны. Тогда в круге < 1 для данных методов получаем п—0 п=0.

00 00 / I /3 1 х" ч /3 Г (1 -х)^1'.

7=0 г?—О 4 и 7 4 ;

Заметим, что <5(ж) не имеет нулей в единичном круге и на его границе.

Как уже отмечалось ранее внутри единичного круга функция Р (х) при каждом фиксированном, а > 2 имеет по крайней мере один корень [11] и количество корней конечно [15]. Для натурального, а известно [12].

7≠0 ^ ' где = (х — 71) • • • {х — 7"-1).

При этом для всех і = 1,., а — 1 корпи 7 г расположены па отрицательной части действительной оси. Более того корни попарно симметричны относительно — 1, то есть если 7, — корень, то и также является корнем. Соответственно ~ = 7] Д^я некоторого где і может принимать значения от 1 до, а — 1. А также —1 является корнем тогда и только тогда, когда, а — четное натуральное число.

Далее рассмотрим методом суммирования дискретными средними Рисса {Я (і, а) и метод суммирования Чезаро {С, а) одного натурального порядка, выражая их, как методы суммирования Вороного (Ии (ІУ, дп) соответственно. Получаем.

Р (х) =? = х>+={х-'??-¦ = н=0 п=0 1 > (х — 71) • • • {х — 7а-і)$ї = п—0 ^ ' оо (х ~ 71) • • • (ж — 7а—і) XI ®-пХП = (х-ъ)—-(х~ 1а~і)Я (х).

11=0.

Отсюда следует, что возможно выразить Рп через.

Возникает вопрос, каким образом нули производящих функций влияют па взаимосвязи различных методов Вороного.

В данной работе при решении этого вопроса мы не будем ограничиваться натуральными значениями а, а рассмотрим общий случай.

Пусть, а >2 фиксированное действительное число.

Функция сю.

Р (х) = ^(п+1)ахп.

71=0 может быть рассмотрена как функция комплексного переменного и аналитически продолжена за границы единичного круга на всю комплексную плоскость с разрезом по положительной части действительной оси от 1 до +оо [11]. Везде далее, где необходимо, будем предполагать, что данное аналитическое продолжение проделано.

Представим, а в виде, а = 2 т + г, где т — натуральное, а 0 < г < 2. Тогда.

ОС известно, что функция Р (х) — + 1) ахп в круге |х| < 1 имеет ровно т п=0 корней [15]. Для определенности обозначим корни через 71. .7,. Определим функцию Р (х) следующим образом:

ОС 00.

Р (х) = РПХП = (х — Ъ) ¦ ¦ ¦ (х — Ъп) X] Qfan, п=0 п=О где Qi^ — коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а), то есть.

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd.a), производящей функцией которого будет Р (х).

Сравнивая (Rd, a) и (Rd, a), установим теорему:

Теорема 2.3. Пусть, а > 2 — фиксированное действительное число.

Тогда (Rd, а) ~ (Rd, а).

Пусть теперь су > 2 — четное натуральное число. То есть о- = 2 т, где га ос натуральное. Тогда функция Р (х) = 4″ 1)°ха в круге < 1 имеет п=О ровно т корней и при этом —1 является корнем данной функции [15]. Пусть для определенности 7i,. 7mi — корни внутри единичного круга и = —1. Определим функцию Р (х) следующим образом: ос ОС.

Р (х) =^Рпхп = (х-Ъ)—-(х- 7,"-i) ?g (u+1)in,.

71=0 77=0 где — коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а + 1), то есть.

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd, a), производящей функцией которого будет Р (х).

Этот метод (Rd, а) будет включать в себя метод суммирования дискретными средними Рисса (Rd, а).

Иными словами, будет доказана теорема:

Теорема 2.4. Пусть, а >2 — фиксированное четное натуральное число.

Тогда (Rd. а) С (Rd, а).

Таким образом, из теорем 2.3 и 2.4 мы получаем, что существенную роль в свойствах методов суммирования играют нули, расположенные внутри единичного круга и на его границе.

По итогам главы 2 получаем следующую таблицу взаимосвязей:

6) (Rd, а) С (А) при о < а < 2;

7) (Rd, а)? (Л) при, а > 2;

8) {Rd, а) 0;

9) (Rd, а) 0;

10) (Rd. а)? (E, q) при а. q > 0;

Н) (E, q) ct (Rd, a) при q, a> 0:

12) (В) 0;

13) (В')? (Rd, а) при, а > 0;

14) (Rd, а) — (Rd, a) при, а > 2:

15) (Rd, a) С (Rd, а) при, а — четное натуральное число.

В главе 3 мы рассмотрим задачи тауберова типа для методов Чезаро и методов суммирования дискретными средними Рисса.

Изучение тауберовых условий, появившихся в конце позапрошлого века в работах Таубера (см., например, [22]), занимает значительное место в теории суммирования рядов и ее приложениях. Различные важные виды тауберовых условий, подходы к их исследованию и применению содержатся, например,.

13 таких известных работах, как [7, 8, 21, 27, 35], каждая из которых в свою очередь повлекла за собой серию работ, посвященных соответствующему виду условий. Отметим, что мы не будем касаться того &bdquo-алгебраического направления, ставящего своей целью получение наиболее общих результатов,. восходящего к Винеру и связанного с работами Гельфанда, Райкова, Го-демана, Сегала и Бейрлинга" (цитата из [10]), называемого в англоязычной литературе «general tauberian theorems». А напротив, рассмотрим вопрос в классической постановке, идущей от Таубера и Харди, ибо изучаться будут не абстрактные классы методов суммирования, удовлетворяющие некоторым довольно общим условиям, но конкретные1 широко распространенные методы одного класса.

Будем говорить, ЧТО (U) является T (i2)(A)-yCJ10BneM, если любой ряд YLani суммируемый методом Л и такой, что {""} удовлетворяет условию (U), будет суммируем и методом Q. Метод, А при этом будем называть &bdquo-верхним" методом, а Г2 — &bdquo-нижним" методом.

Если нижний метод fl — обычная сходимость, то Т (п)(А)-условие есть просто тауберово условие для метода А.

Пусть — последовательность неотрицательных чисел. Обозначения а&bdquo- = 0(сп) и ап = о (сп) будем понимать в обычном смысле, то есть ап = 0(сп) тогда и только тогда, когда существует действительное положительное число М такое, что |а&bdquo-| < Мсп для всех дап = о (сп) тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует N такое, что для любого п > N верно неравенство ап < есп.

Мы сейчас приведем некоторые результаты, которые будут сформулированы в единой форме с использованием введенных обозначений. Заметим еще, что для краткости вместо слов &bdquo-последовательность {сп} удовлетворяет условию И" будем писать ,{cn} е IX" .

В 1897 году в цитировавшейся уже работе [22] Таубером было доказано, что условие ап = является Т (с, о)((Л))-условием, где (Л) — метод Абеля. Отсюда в силу включения (С, а) С (А) при любом, а > 0 следует, что ап = является Т (с, о)((С, а))-условием при любом, а > 0.

Следующий результат был получен Харди, который в 1910 году (см. [6]) показал, что ап = является Т (с.о)((С, а))-условием при любом, а > 0 (в случае, когда &bdquo-верхний" метод есть метод (Rd, a) или (Л)), этот результат тоже верен [13]).

Вопрос о том, насколько можно улучшить результат Харди, оставался открытым до 1948 года, когда Лоренц в работе [14] наложил некоторое условие на последовательность {сп} и установил, что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(сп) было T (c, o)(ty-условием, где Q — один из методов (С, а) с, а > 0 или метод (А) (замечательно. что для каждого из этих методов условие оказалось одним и тем же). Лоренц отмечал, что в плане достаточности его результат не является новымего можно получить, используя некоторые тауберовы условия работы Питта [17]. В дальнейшем результаты Лоренца обобщал на случай Т (с1Се)(П)-условий при, а > 0 Степанянц (см. [31, 32, 33]).

В частности в работе [33] доказано, что никакое условие вида ап = О (^), где lim ш&bdquo- = +оо, не является Tic а){С, /3)-условием ни для каких, а и? п—юо '.

0 < а < ?). Утверждение будет только ослаблено, если в качестве верхнего метода мы возьмем методы дискретных средних Рисса (Rd. ?) или (Л).

Таким образом условие Харди ап = является наилучшим с точки зрения порядка условием тауберова типа, связывающим методы (С, а) и (C.?), а также {С, а) и (Rd, ?) при, а < ?. Открытым остается вопрос, возможно ли усилить условие Харди, если порядок верхнего метода Рисса (Rd, ?) будет такой же, как порядок нижнего метода (С, а), то есть, а = ?. Данному вопросу будет посвящена третья глава.

В первой части главы 3 мы докажем утверждение, которое позволит обратить известное включение методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро (С, et) С (Rd, а) для случая, когда, а > 2 — действительное число, не являющееся четным натуральным числом.

Теорема 3.2. Пусть i) а > 2 — фиксированное число, не являющееся четным натуральным числомм) 7(а) ~ минимальный корень функции Р (х) — + 1)" жп, такой, что -1 < 7(а) < 0- ni) q{o) = / iiii)? — фиксированное число, такое, что 1 <? < q^;

Тогда условие ап = 0(£п) является T (c, a)(Rd, а)-условием.

В частности для любого фиксированного неотрицательного значения а, такого, что, а ф 21, где I — натуральное, мы получаем, что условие ап — 0{гьг) при любом действительном г является T (c, a){Rd, а)-условием.

Интересно, что при четных натуральных, а результат теоремы 3.2 становится неверным. Это связано с тем, что производящая функция Р (х) содержит пуль па границе единичного круга, а именно —1 является корнем функции Р (х).

Положим г = а + 1-е, где 0 <? < 1. Во второй части главы 3 мы рассмотрим ряд и покажем, что данный ряд не суммируем методом (С, г) и в тоже время суммируем методом (Яд, а).

Таким образом будет установлена теорема. Теорема 3.3. Пусть г) а — фиксированное четное натуральное число;

И) г — фиксированное действительное число, такое, что, а < г < а + 1. Тогда существует ряд члены которого удовлетворяют условию 0(пг), суммируемый методом (Rd, a) и не суммируемый методом, {С, г).

Отметим, что в условиях теоремы 3.2 при четных, а можно утверждать суммируемость ряда методом (С, а + 1). В главе 3 мы докажем соответствующую теорему:

Теорема 3.4. Пусть г) а > 2 — фиксированное число и, а = 21 (I — натуральное число) — ы) 7(n) — минимальный корень функции Р (х) = 52(п + 1) аж" ', такой, что — 1 < 7(а) < 0- ш) q (n) = - iiii)? — фиксированное число, такое, что 1 <? < q^;

Тогда условие ап = 0(£п) является T^Ca+i){Rd. а)-условием.

Объединяя результаты второй части главы 3, мы получаем, что существуют последовательности со степенным ростом, суммируемые методом дискретных средних Рисса четного порядка, а и не суммируемые методами Чезаро порядка /3, где, а < (3 < а + 1. При значениях ?3, таких, что /3 > а + 1 становится верным включение (Rd, a) С (С. 6).

В условии теоремы 3.4 заменить условие ап = 0(£п) на условие ап = О нельзя. В качестве примера мы можем взять ряд, рассматриваемый при доказательстве теоремы 3.1.

Теорема 3.1. Пусть, а > 2 — фиксированное число.

Тогда существует ряд 52 суммируемый методом (Rd, а), такой, что.

Очевидно, ЧТО ряд 52 °'П из теоремы 3.1 не суммируем ни для какого (3 в силу лимитирующей теоремы для методов Чезаро.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы (каждый параграф имеет самостоятельную нумерацию формул). Перед введением приведен список методов суммирования, используемых в работе.

1. Agnew R. On Riesz and Cesaro methods of summability // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. 35. 532−548.

2. Agnew R. Equiconvergence of Cesaro and Riesz transforms of series // Duke Math. J. 1955. 22, N 3. 451−460.

3. Cesaro E. Sur la multiplication des series // Bull. Sci. Math. 1890. 14. № 2. 114−120.4| Cooke R. On mutual consistency and regular T-limits // Proc. London Math. Soc. 1936. 41, N 2. 113−125.

4. Euler L. Institutiones calculi differentialis. Petrograd. 1755.

5. Hardy G.H. Theorems relating to the summability and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, № 2. 301−320.

6. Hardy G.H., Littlewood J.E. Tauberian theorems concerning power series and Dirichlct’s series whose coefficinct arc positive // Proc. London Math. Soc. 1914. 13. № 2. 174−191.

7. Ingham A.E. Some tauberian theorems connected with the prime number theorem // J. London Math. Soc. 1945. 20. 171−180.

8. Knopp K. Uber das Eulersche Summierungsverfahren // Math. Z. 1923. 18, № 1. 125−156.

9. Korevaar J. Tauberian theorems ,// Simon Stevin. 1954. 30. № 3. 129−139.1.l Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354−364.

10. Lawden D.F. The function YlnLn’z" and associated polynomials. // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1951. 47. № 2. 309−314.

11. Littlewood J.E. The converse of Abel’s theorem on power series // Proc. London Math. Soc. 1910. 9. JV" 2. 434−448.

12. Lorentz G.G. Tauberian theorems and tauberian conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63. № 2. 226−234.

13. Miesner W., Wirsing E. On zeros of + 1) kz11 // J. London Math. Soc. 1965. 40. 421−424.

14. Peyerimhoff A. On convergence fields of Norlund means // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. 7. 335−347.

15. Pitt H.R. General Tauberian theorems // Proc. London Math. Soc. 1938. 44. 243−288.

16. Riesz M. Sur la sommation des series de Dirichlet // C. r. Acad. sei. A. 1909. 149. 18−21.

17. Riesz M. Une methode de sommation equivalente a la methode des moyennes arithmetiques // C. r. Acad. sei. A. 1911. 152. 1651−1654.

18. Riesz M. Sur l’equivalence de certaines methodes de sommation // Proc. London Math. Soc. 1924. 22, N 2. 412−419.

19. Szasz O. Verallgemeinerung und neuer Beweis einiger Satze Tauberscher Art // Munchner Sitzungsberichte. 1929. 325−340.

20. Tauber A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273−277.

21. Toeplitz 0. Uber allgemeine lineare Mittelbildungen // Pr. mat. i fiz. 1911. 22. 113−119.

22. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

23. Вороной Г. Ф. Дневник одиннадцатого съезда русских естествоиспытателей и врачей. Петербург, 1902.

24. Грэхем Р., Кнут Д., Паташпик О. Конкретная математика. М.: Мир. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

25. Давыдов H.A. (с)-свойство методов Чезаро и Абеля-Пуассона и теоремы тауберова типа // Матем. сб. 1963. 60. № 2. 185−206.

26. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие. — 13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.

27. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Изд-во Мир, 1965.

28. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М., 1960.

29. Степанянц С. А. Теоремы тауберова типа для методов суммирования Чезаро /'/ Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. .V 2. 40−44.

30. Степанянц С. А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 4. 41−45.

31. Степанянц С. А. Необходимые условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро //' Изв. Высш. Учебн. Завед. Мат. 2005. № 10. 61−71.

32. Степанянц С. А. К вопросу включения методов дискретных средних Рисса // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. 4. 12−17.

33. Ульянов П. Л. Сходимость и суммируемость // Труды Московского Мат. Общества. 1960. 9. 373−399.

34. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

35. Хахинов И. В. О взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 51−55.

36. Хахинов И. В. Об эквивалентности методов Вороного. // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. зимней школы. Саратов: ООО &bdquo-Издательство &bdquo-Научная книга «. 2012. 186.

37. Хахинов И. В. Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 50−55.