Формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых самосопряженными расширениями операторов второго порядка

Формулы Фейнмаиа дают представление решения задачи Коши для уравнения типа Шредингера: Ф'(£) = (в частном случае типа теплопроводности) с помощью предела конечпократных интегралов по декартовым степеням фазового (в частном случае конфигурационного) пространства. Полученный предел, задающий явное представление однопараметрической унитарной группы егШ (в частном случае полугруппы еш, в литературе часто называемой полугруппой Шредингера) с помощью интегральных операторов, интерпретируется как интегралы Фейнмана, а полученное выражение, в свою очередь, называют формулой Фейнмаиа.

Один из наиболее обтцих способов получения таких формул состоит в обосновании равенства (Ф (£) =) ехр (ЬНт)фо = Ытп⁰⁰(еш/п)™фо. Вообще говоря, ехр (ШТ) (еш)т ни при каком тэтот факт вынуждает использовать переход к пределу. Стоит отметить, что. в отличие от формул типа Фейнмана-Каца с их функциональным интегралом, в формулах Фейнмана не используется явным образом никакая мера на пространстве траекторий в конфигурационном пространстве. Более того, получив формулы Фейнмана в виде представлений решений уравнений функциональными интегралами, сами эти представления, в свою очередь, стоит трактовать как формулы Фейнмана-Каца, а именно, обосновав равенство еШтгф$ — Нтгг, 00(е?Я/п)"^о или, более общо, вида еШтфо = Итп^сс^^/п))71^ для некоторой легко исследуемой функции .Р неотрицательного вещественного аргумента со значениями в пространстве интегральных операторов, уже можно интерпретировать допредельные конечнократные интегралы, как интегралы, аппроксимирующие интегралы по траекториямесли эта интерпретация возможна, то это приводит к получению формулы Фейнмана-Каца. Таким образом, формула ФейнманаКаца, в отличие от Формулы Фейнмана, определяется как интеграл по траекториям в конфигурационном пространстве некоторой эволюционной системы, а не как некоторый предел конечнократных интеграловто есть доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу 'вероя тностной интерпретацией' формул Фейнмана. Р. Камерон и Ю. Л. Далецкий показали, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетноаддитивной мере на пространстве траекторий. Во многом эти результаты определили направления дальнейших исследований. Альтернативное определение интеграла Фейнмана — с помощью равенства Парсеваля было предложено в работах В.П. Мас-лова, A.M. Чеботарева, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, однако в их работах интеграл Фейнмана был задай всего лишь на множестве функции, являющихся преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер на гильбертовом пространстве, что значительно сужает область действия «формул Фейнмана». Стоит также отметить книгу О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе, которая до настоящего времени остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана (в этой книге содержатся четыре различных определения континуального интеграла). Авторы получают представления решения уравнений типа Шредингера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в более широком классе начальных данных и потенциалов.

Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в рамках его идеи к применению формулы Троттера и тем самым впервые получил строгую интерпретацию формул Фейнмаиа, предсдтавляю-щий решение уранений Шредингера в евклидовом пространстве.

Развитие математической техники, связанной с функциональным интегрированием показало, что с точки зрения приложений наиболее удобным остается фейпмановское определение — точнее, его аксиоматизированный в стиле [8] Нельсона вариант, где роль формулы Троттера играет теорема Чернова, что было впервые отмечено О. Г. Смоляновым.

Таким образом, обоснование вышеупомянутого равенства оказалось актуальным сводить к проверке условий теорем типа Чернова «о произведениях», обобщающей формулу Троттера.

Исследование функциональных интегралов давно стало одним из центральных направлений функционального анализа, начало которому и было положено работой уже упомянутого Р. Фейнмана [42]. в которой была предложена конструкция, получившая название интеграла Фейнмана по траекториям в конфигурационном пространстве. Как отметил сам Фейнман, эта конструкция восходит к П.А. М. Дираку. Дирак предположил, что интегральное ядро эволюционного оператора, преобразующего волновую функцию за малый промежуток времени аналогичен комплексной экспоненте от классического действия. Фейнман усилил гипотезу Дирака, предположив, что эти экспоненциальные ядра должны быть просто пропорциональны таким экспонентамименно это предположение и позволило ему найти представление решения уравнения Шредингера помощью интеграла Фейнмана по бесконечномерному афинному многообразию, состоящему из функций времени, принимающих значения в конфигурационном пространстве исходной классической Лагранжевой системы. Фейнман определил свой интеграл как предел последовательности вычислимых интегралов, но конечным произведениям конфигурационного пространства. Теперь это полученное представление решения называют формулой Фейнмана, а сам интеграл — интегралом Фейнмана (по траекториям в конфигурационном пространстве). Поскольку в этом интеграле присутствует функционал действия в лагранжевой форме, его можно называть лагранжевым интегралом Фейнмана. Написанная на физическом уровне строгости работа Фейнмана отличается элегантностью и ясностью изложения. Но самое главное, благодаря тому, что рассуждениям Фейнмана удалось придать точный математический смысл, предложенный в его работе подход к исследованию эволюционных уравнений оказался исключительно эффективным.

Метод функционального интегрирования исследуется и развивается в работах С. Альбеверио, Ф. А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И. М. Гельфапда, Р. Камерона, В. П. Маслова, М. Б. Менского, Э. Нельсона, Б. Саймона, О. Г. Смолянова, A.B. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, А. Ю. Хренникова, A.M. Чеботарева, Е. Т. Шавгулидзе, П. Экснера, A.M. Яг-лома и др. В настоящее время метод функционального интегрирования стал важнейшим методом квантовой теории, прежде всего, квантовой теории поля. В то же время исследование математической структуры, связанной с такого рода интегралами, только начинается. Все сказанное и определяет актуальность диссертации.

Результат, полученный в данной работе распространяет результат, изложенный в работах [1]-[3] на более общий случай, — показывается взаимооднозначное соответствие между самосопряженными расширениями, порождаемыми Гамильтонианом, описывающем одномерную динамику частицы с потенциалом, и формулами Фсйнмана. Кроме того, доказывается формула Фей-нмана для решения задачи Коши в случае эволюции описываемой Гамильтонианом для частицы с переменной массой. В доказательстве существенно используется теорема Чернова, которая играет здесь ту же роль, что и формула Троттсра в доказательстве Э. Нельсона представления решения уравнения Шредингера в евклидовом пространстве с помощью интеграла Фейнмана.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:

1) для полугрупп Шредингера, порождаемых Гамильтонианом получены аппроксимирующие их формулы Фейнмана для одномерной динамики частицы на полупрямой в потенциальном поле. Решение этой задачи можно интерпретировать как решение одной из возможных формализации проблемы, поставленной Ф. Б. Березиным более 30 лет назад, то есть результат позволяет для разных самосопряженных расширений Гамильтониана получать взаим-ноодназначно соответствующие им формулы Фейнмана. А именно, каждая из таких формул параметризуется соответственно некоторым параметром, задающим самосопряженное расширение Гамильтониана.

2) получены формулы Фейнмана для полугрупп Шредингера, порождаемых Гамильтонианом, описывающим одномерную динамику квазичастицы, со скачкообразно меняющейся массой, то есть принимающей два значения. Стоит отметить также, что в случае, если число скачков (значений, которые может принимать масса квазичастицы) больше одного, то самосопряженные расширение Гамильтониана параметризуются большим числом параметров, однако все рассуждения, приведенные в работе, а, следовательно, и результаты, сохраняются и в этом случае.

Методы исследования.

В диссертации используются традиционные методы бесконечномерного анализа, теории операторов в Гильбертовом пространстве и ряд специальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. В то же время результаты могут быть использованы в математической физике при представлении решений эволюционных уравнений, описывающих одномернуюдинамику частицы с потенциалом, с помощью пределов конечнократных интегралов. Кроме того, описание эволюции частицы с переменной массой имеет широкое применение в теоретической физике. Исследования в этой области в последнее время привлекают все больший интерес специалистов, поскольку изучение динамики частицы со скачкообразно меняющейся (эффективной) массой имеет ряд возможных приложений в теории твердого тела (при изучении полупроводниковых приборов и жидких кристаллов).

Всем вышесказанным и определяется ценность диссертации.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на.

1) семинаре отдела математической физики МИАН им. В. А. Стеклова РАН под рук. акад. B.C. Владимирова, член-корр. РАН И. В. Воловича.

2) научном семинаре «Проблемы необратимости «в МИАН им. В.А. Стек-лова РАН под рук. член-корр. РАН Воловича И. В., акад. Козлова В. В., проф. Козырева C.B., проф. Смолянова О.Г.

3) Семинаре «Бесконечномерный анализ» под рук. проф. Смоляпова О. Г. и проф. Шавгулидзе Е.Т.

4) XXXI Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва.

2009 год.

5) XXXII Конференции Молодых Ученых МГУ им. Ломоносова, Москва,.

2010 год.

Работа автора поддержана грантами РФФИ.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, [44−48], в том числе две статьи в журналах из перечня ВАК.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, насчитывающего [48] наименований. Общий объем диссертации составляет [76] страниц.

1. X. фон Вайцзеккер, О. Г. Смолянов," Доклады Академии наук", 2009, Том 426, № 2, стр. 162−165.

2. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, том 5, 1959 г.

3. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, Том 2, Гармонический анализ и самосопряженность.

4. Chernoff R.P.// J.Funct. Anal, 1968. 1968, V.2, p. 238−242.

5. Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Смолянов О.Г.// ДАН, 2000, Т. 371, № 4, с.442−447.

6. Smolyanov O.G., Weizsakker H. von, Wittich 0.,//Proc. Canad. Math. Soc.2000, V.29, p. 589−602.

7. Sidorova N.A., Smolyanov O.G., Weizsakker H. von, Wittich O. // J. Funct. Anal. 2004. V206, № 2, p391−413.

8. Gadella M., Kuru S., Negro J. // Phys. Let. A. 2007. V. 362, p.265−268.

9. Ito К., McKean H.D. Diffusion Processes and Their trajectories. В. Springer, 1974.

10. Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Смолянов О.Г.// ДАН, 2007, Т. 415, № 6, с.737−741.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Т2. Спектральная теория. Самосопряженные операоры в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966.

12. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин C.B., Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. I. Труды Моск. Мат. Общества, V 1971. V 24, 133 -174.

13. Альбеверио С., Смолянов О. Г. Представления функциональными интегралами решений некоторых стохастических уравнений типа Шэддингера-Белавкина. Доклады Академии Наук. 1999. 364 № 6, 747−751.

14. Богачев В. И. Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи математических наук, 1990. 45, № 3 р 3−83.

15. Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовых простанствах. Наука, Москва, 1974.

16. Сидорова H.A. Броуновское движение во вложенном многообразии как предел броуновских движений с отражением в его трубчатых окрестностях. Математические Заметки. 2003. 73, № 6 Р 947−950.

17. Сидорова H.A., Предельное поведение поверхностных мер иа пространствах траекторий, Матем. заметки 2004. 76 № 2 р 258−263.

18. Смолянов О. Г. Гладкие меры на группах петель. ДАН. 1995. 345, № 4 р 455−458.

19. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О. Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры. ДАН. 2000. 371, № 4 р 442−447.

20. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова H.A. Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемых диффузиями. ДАН. 2001. 377, № 4 441−446.

21. Смолянов О. Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О., Сидорова H.A. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях. ДАН. 2002. 383, m р 458−463.

22. Смолянов О. Г., Трумен А., Формулы Фейнмана для решений уравнений Шредингера на компактным римановых многообразиях, Математические заметки, 2000 68, № 5 р 789−793.

23. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Wittich О., Chernoff’s Theorem and the Construction of Semigroups, Evolution Equations: Applications to Physics, Industry, Life sciences and Eqonomics EVEQ 2000, M. Ianelli, G. Lurner, Birkhauser (2003), 355−364.

24. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, W’ittich O., Construction of Diffusions on Sets of Mappings from an Interval to Compact Riemannian Manifolds, Doklady Acad. Nauk, 71 (2005), 391−396.

25. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Wittich О., The Feynman Formula for the Cauchy Problem in Domains with Boundary, Doklady Acad. Nauk, 69 N 2 (2004), 257−262.

26. Smolyanov O.G., Weizsacker H. v., Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations, C.R.Acad.Sei.Paris, 1995, 321, Serie I, 103−108.

27. Smolyanov O.G., Weizsacker H. von, Smooth Probability Measures and Associated Differential Operators, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 2, (1999), 51−78.

28. Sidorova N. A., Smolyanov O.G., Weizsaecker H. v., Wittich О., The surface limit of Brownian motion in tubular neighborhoods of an embedded Riemannian manifold, Journal of Functional Analysis, 206 (2004), 391−413.

29. Бутко Я. А. Функциональные интегралы для уравнения Шредипгерав компактном римановом многообразии. Математические Заметки. 2006. 79, № 2 р 194−200.

30. S. Albeverio, R. Hinegli-Krohn, The energy representation of Sobolev-Lie groups, Compositio Mathematica. 36 (1978) 37 52. 72.

31. Albeverio S., Hniegh-Krohn R., Mathematical Theory of Feynma. n Path Integrals, Lecture Notes in Math., 523 Berlin: Springer, 1976.

32. Albeverio S., Khrennikov A., Smolyanov 0., The Probabilistic Feynman-Kac Formula for an Infinite-Dimensional Schroedinger Equation with Exponential and Singular Potentials, Potential Analysis 1999 11, p 157−181.

33. Butko Ya. A. Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals. Russian Journal of Mathematical Physics 2004 11 № 2, 1−9.

34. Kac M., On a distribution of certain Wiener functionals, Trans. Amer. Math. Soc., 65, (1949), 1−13. 31] Chernoff R., A Note on Product Formulas for Operator Semigroups, Journal of Functional Analysis, 1968 2, 238−242.

35. Chernoff R., Product Formulas, Nonlinear Semigroups and Addition of Unbounded Operators, Mem. Amer. Math. Soc., 1974 140.

36. Doss H., Sur une Resolution Stochastique de l’Equation de Schroedinger a Coecients Analytiques, Communications in Math. Phys, V.73, № 3, 1980, 247−264.

37. Sidorova N.A. The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold. Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. 2004. 7, № 3 461−471.

38. Угланов А. В. Поверхностные интегралы в банаховых пространствах. Матем. сборник. 1979. 110, № 2 189−217.

39. Airault, H., Malliavin P. Integration geometrique sur l’espace de Wiener. Bull.Sci.Math. 1998. 2, № 112 p 3−52. 73.

40. L. Andersson, B.K. Driver, Finite dimensional approximations to Wiener measure and path integral formulas on manifolds. J. Funct. Anal. 1999 165 430 498.

41. Bass R.F., Uniqueness for the Skorokhod equation with normal regection in Lipschitz domains, Electron. J. Probab., 1996 1 Ж11, Paper 11.

42. Bogachev V.I., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in infinite-dimensional spaces, Acta Univ. Carolin.Math. Phys., 1990 31, №, 9−23.Список работ автора по теме диссертации.

43. Feynman Formulas Generated by Self-Adjoint Extensions of the Laplace Operator, Russian Journal of Mathematical Physics, 2010, 17:3, 251−261.

44. Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа, Труды XXXII Конференции молодых ученых мехмата МГУ, 2010.

45. Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа на полупрямой, Труды XXXI Конференции молодых ученых мехмата, 2009.

46. Feynman Formulas for Diffusion of Variable-mass Particles on R, Infinite Dimensional Analysis, 2011, 14:1.