Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений

Актуальность темы

Работа посвящена одному из применений теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах — исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений. Начала этой теории были заложены В. П. Громовым в работе [27] и получили дальнейшее обобщение в работах С. Н. Мишина [71]-[73]. Чуть позже порядки и типы некоторых операторов, действующих в различных пространствах аналитических функций, были найдены C.B. Панюшкипым [78]-[80]. Основные результаты, относящиеся к общей теории порядка и типа оператора, приведены в монографии [35].

Ранее теория порядка и типа оператора была положена в основу решения ряда задач современного функционального анализа. К их числу, в частности, относятся: задача о представлении функций комплексных переменных рядами по собственным функциям линейного оператора [27]- задача о разложении векторов локально выпуклого пространства в обобщённый ряд Тейлора [28]- задача о полноте систем значений голоморфных вектор-функций [29], [89]- изучение характеристик роста целых векторнозначных функций [30], [31]- исследование подпространств локально выпуклого пространства, инвариантных относительно оператора конечных порядка и типа [90]- исследование решений операторных уравнений [31], [35] и др.

В настоящей диссертации разработаны методы исследования решений широкого круга аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, поставленных в произвольном локально выпуклом пространстве, опирающиеся на теорию порядка и типа оператора. Необходимость таких методов обусловлена следующими соображениями.

Во-первых, ввиду специфики своей постановки, задачи для дифференциально-операторных уравнений традиционно исследуются методами функционального анализа. Так, на первом этапе своего становления (в банаховых пространствах) теория дифференциально-операторных уравнений оказалась неразрывно связанной с теорией полугрупп, первое применение которой к дифференциально-операторным уравнениям восходит к фундаментальным работам К. Иосиды [115] и Э. Хилле [111]. В настоящее время наряду с теорией полугрупп существуют также методы спектральной теории операторов и теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов, в совокупности позволившие придать теории дифференциально-операторных уравнений в нормированных пространствах глубокое и всестороннее развитие.

Во-вторых, теория дифференциально-операторных уравнений в ненормированных (локально выпуклых) пространствах является значительно менее развитой. Отчасти этому способствует отсутствие в таких пространствах единых (как, например, теория полугрупп) приёмов исследования уравнений или их систем достаточно сложной конструкции. Это, в свою очередь, объясняется проблематичностью, а порой и невозможностью прямого перенесения уже существующих методов с нормированных пространств на ненормированные. Известные сейчас результаты относятся, преимущественно, к уравнениям первого порядка в классе вектор-функций действительного аргумента и освещены в трудах В. М. Миллионщикова [69], [70], К. Иосиды [116], А. Н. Годунова [24], Я. В. Радыно [85], [86], С. Г. Лобанова [62], С. А. Шкарина [108]- для дифференциально-операторных уравнений соболевского типа — в работах В. Е. Фёдорова [98]-[101]. В комплексном же случае такие задачи стали рассматриваться лишь в последнее десятилетие.

Наиболее близкими в этом смысле являются работы В. П. Громова [31]-[34], С. Н. Мишина [74], [75], В. П. Громова, С. Н. Мишина, С. В. Панюшкина [35]. Ими разработаны методы исследования комплексной задачи Коши в локально выпуклых пространствах для одного дифференциально-операторного уравнения, опирающиеся на понятия порядка и типа линейного оператора, а также порядка и типа фиксированного вектора относительно линейного оператора.

Однако методы исследования аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений, краевых задач для дифференциально-операторных уравнений с комплексными аргументами, а также аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах разработаны не были, что и обусловливает актуальность настоящей работы.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка основанных на применении теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах методов исследования полученных в явном виде решений различных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, включающая:

1) описание посредством операторных характеристик вектора классов элементов локально выпуклого пространства, для которых поставленные задачи однозначно разрешимы в классе аналитических вектор-позначных функций;

2) выявление взаимосвязи между определяющими указанные классы элементов пространства условиями и видом области аналитичности решения рассматриваемой задачи;

3) описание посредством внутренних характеристик оператора (порядка и типа) классов операторов, для которых имеет место непрерывная зависимость решений от элементов локально выпуклого пространства.

Методы исследования. В работе широко используются методы современного функционального анализа — теория порядка и типа линейного оператора, теория локально выпуклых пространств, теория аналитических векторнозначных функций, а также методы комплексного анализа.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретический характер. В работе впервые (в том числе на основе теории порядка и типа оператора) в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений аналитической задачи Коши для систем дифференциально-операторных уравнений и аналитических краевых задач для дифференциально-операторных уравненийполучили дальнейшее обобщение и развитие методы исследования решений аналитической задачи Коши для некоторых разновидностей дифференциально-операторных уравнений.

Теоретическая значимость. Предложенные в диссертации методы позволяют исследовать решения разнообразных аналитических задач для дифференциально-операторных уравнений и их систем, изучаемых в произвольном локально выпуклом пространстве. Используемый в работе подход является универсальным, так как может быть применим к исследованию ряда других задач функционального анализа, решения которых представляются аналитическими векторнозначными функциями, порождёнными оператором конечного порядка.

Результаты работы дополняют теорию дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах, теорию аналитической задачи Коши (теорию Коши-Ковалевской) в различных пространствах достаточно общей природы, а также теорию аналитических векторнозначных функций, порождённых оператором конечного порядка.

Практическая значимость. Результаты выполненного исследования могут применяться в решении как в нормированных, так и в ненормированных пространствах различных аналитических задач, поставленных для уравнений в частных производных, интегро-дифференциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом, уравнений смешанного типа, уравнений свёртки, уравнений бесконечного порядка и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (2009 г.), посвягцённой 70-летию ректора МГУ, академика В.А. Са-довничего, г. Москвана Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (2010 г.), г. Воронежна Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (2010 г.), г. Нальчикна научном семинаре лаборатории теории функций и функционального анализа в 2007;2010 гг., г. Орёл, ОГУ (руководители — к.ф.-м.н., доцент C.B. Панюшкин, к.ф.-м.н., доцент С.Н. Мишин) — на научном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.п., профессор A.B. Арутюнов) — на научном семинаре по теории операторов в МГУ им. М. В. Ломоносова в 2010 г., г. Москва (руководитель — д.ф.-м.н., профессор A.A. Шкаликов) — на научном семинаре МЭИ в 2010 г., г. Москва (руководители — д.ф.-м.н., профессор Ю. А. Дубинский, д.ф.-м.н., профессор A.A. Амосов).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[16], второму автору работ [14], [15] принадлежат только постановки задач. Работы [3]-[5], [12], [13], [15], [16] соответствуют перечню ведущих научных журналов и изданий ВАК РФ.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах разработаны методы исследования решений поставленных для дифференциально-операторных уравнений и их систем аналитических задач. Показано, что такие решения суть аналитические век-торпозначиые функции, порождённые оператором конечного порядка, и представимые функциональными векторнозначными рядами, содержащими степени этого оператора.

2. В терминах характеристик фиксированного вектора относительно действующего в локально выпуклом пространстве линейного оператора определены классы элементов пространства, для которых рассмотренные задачи однозначно разрешимы, а сами решения сильно сходятся к аналитическим векторнозначным функциям.

3. Установлена взаимосвязь условий, описывающих указанные классы элементов пространства, с видом области аналитичности вектор-нозначной функции, определяющей решение задачи.

4. В терминах порядка и типа линейного оператора выделены классы тех операторов, действующих в локально выпуклом пространстве, для которых решения задач определены на всём пространстве и непрерывно зависят от его элементов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и библиографического списка, содержащего 116 наименований. Объём работы составляет 153 страницы. Всего в работе рассмотрено 10 модельных задач (4 в первой главе, 4 во второй главе и 2 в третьей главе), на примере которых продемонстрировано применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к изучаемой в диссертации проблеме.

1. Аксёнов H.A. Задача Коши для систем дифференциально-операторных уравнений первого порядка со смешанными операторами // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2009. № 4 (44). С. 176−178.

2. Аксёнов H.A. Двухточечная задача Дирихле для дифференциально-операторного уравнения второго порядка в локально выпуклом пространстве // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2010. № 1. С. 46−58.

3. Аксёнов H.A. Аналитическая краевая задача со смешанным оператором // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 94−113.

4. Аксёнов H.A. О некоторых задачах Коши в локально выпуклых пространствах //, Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 114−142.

5. Аксёнов H.A. Третья краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка с регулярным оператором // Вестник науки. Орёл: ОГУ,'2010. Выпуск 9. С. 19−23.

6. Аксёнов H.A. Теорема устойчивости абстрактной задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка // Вестник науки. Орёл: ОГУ, 2010. Выпуск 9. С. 23−25.

7. Аксёнов H.A. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения высокого порядка в частных производных //В мире научных открытий. 2010. № 4 (10). Часть 4. С. 20−22.

8. Аксёнов H.A. Об одной задаче Коши для линейного однородного дифференциально-операторного уравнения первого порядка со смешанным оператором // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2010. № 3 (1). С. 154−159.

9. Аксёнов H.A. Краевая задача для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в локально выпуклом пространстве // Известия вузов. Математика. 2011. № 2. С. 3−15.

10. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике: для инженеров и уч-ся втузов. М.: Наука, 1986. 544 с.

11. Брук В. М., Крысъко В. А. О существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Известия вузов. Математика. 2003. № 10 (497). С. 3−8.

12. Валицкий Ю. Н. О корректности многоточечной задачи для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами // ДАН СССР. 1986. Т. 286. № 5. С. 1041−1043.

13. Валицкий Ю. Н. Корректность многоточечной задачи для уравнения с операторными коэффициентами // Сибирский математический журнал. 1988. Т. 29. № 4. С. 44−53.

14. Валицкий Ю. Н. Корректность задачи для дифференциального уравнения при заданных значениях функции и её производных в нескольких точках // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37. № 2. С. 251−258.

15. Валицкий Ю. Н. Корректность многоточечной задачи в гильбертовом пространстве с заданными разрывами функции и её производных // Сибирский математический журнал. 1997. Т. 38. № 3. С. 504−509.

16. Гелъфонд А. О., Леонтьев А. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Математический сборник. 1951. Т. 29 (71). № 3. С. 477−500.

17. Годунов А. Н. О линейных дифференциальных уравнениях в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1974. № 5. С. 31−39.

18. Горбачук В. И., Горбачу к M.JI. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. Киев: Наукова думка, 1984. 284 с.

19. Горбачук В. И., Князюк A.B. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений // УМН. 1989. Т. 44. Выпуск 3 (267). С. 55−91.

20. Громов В. П. Порядок и тип линейного оператора и разложение в ряд по собственным функциям // ДАН СССР. 1986. Т. 228. № 1. С. 27−31.

21. Громов В. П. Аналоги разложения Тейлора // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 801−808.

22. Громов В. П. О полноте значений голоморфной вектор-функции в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 1999. Выпуск 1. С. 24−37.

23. Громов В. П. Целые векторнозначные функции со значением в локально выпуклом пространстве и их применение // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 4−24.

24. Громов В. П. Операторный метод решения линейных уравнений // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 4−36.

25. Громов В. П. Аналитические решения дифференциально-операторных уравнений в локально выпуклых пространствах // ДАН РФ. 2004. Т. 394. № 3. С. 305−307.

26. Громов В. П. Операторный метод решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 4−18.

27. Громов В. П. Задача Коши для уравнений в свёртках в пространствах аналитических векторнозначных функций // Математические заметки. 2007. Т. 82. Выпуск 2. С. 190−200.

28. Громов В. П., Мишин С. Н., Панюшкин C.B. Операторы конечного порядка и дифференциально-операторные уравнения. Монография. Орёл: ОГУ, 2009. 430 с.

29. Дезин A.A. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия // ИАН СССР. 1967. Т. 31. Выпуск 1. С. 61−86.

30. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. 208 с.

31. Демченко Т. И. Исследование разрешимости уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных Гельфонда-Леонтьева в некотором классе целых функций // Литовский математический сборник. 1967. Т. 7. № 4. С. 611−618.

32. Демченко Т. Н. О разрешимости одного класса дифференциальных уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Известия вузов. Математика. 1973. № 8. С. 35−42.

33. Доюрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

34. Дубинский Ю. А. Об одной абстрактной теореме и её приложениях к краевым задачам для пеклассических уравнений // Математический сборник. 1969. Т. 19 (121). № 1 (5). С. 91−117.

35. Дубинский Ю. А. Краевые задачи для некоторых классов дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // ДАН СССР. 1971. Т. 196. № 1. С. 32−35.

36. Дубинский Ю. А. Задача Коши в комплексной области. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 180 с.

37. Дубинский Ю. А. Об аналитических «краевых» задачах на плоскости // УМН. 1997. Т. 52. Выпуск 3 (315). С. 53−104.

38. Дудик O.A. Малые колебания плоского маятника с полостью, частично заполненной капиллярной вязкой жидкостью // Труды ИПММ HAH Украины. 2008. Т. 16. С. 67−79.

39. Егоров И. Е. О нелокальной краевой задаче для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2002. С. 69−72.

40. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.

41. Исмаилов З. И. О разрешимости одного класса дифференциальных операторов первого порядка // Труды ИММ АН Азербайджана. Т. 6 (14). 1997. С. 83−89.

42. Кнюх В. И. О представлении и граничных значениях решений однородного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Украинский математический журнал. 1986. Т. 38. № 1. С. 101−104.

43. Князюк A.B. Задача Дирихле для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 2. С. 256−260.

44. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы экспонент и задача Коши для уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами // ИАН РФ. 1997. Т. 61. № 3. С. 91−132.

45. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе уравнений бесконечного порядка в обобщённых производных // Литовский математический сборник. 1964. Т. 4. № 4. С. 497−515.

46. Коробейник Ю. Ф. Об уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Сибирский математический журнал. 1964. Т. 5. № 6. С. 1259−1281.

47. Коробова О. В. Сингулярные системы дифференциальных уравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2007. Т. 1. № 1. С. 132−140.

48. Коробова О. В. Матричные фундаментальные оператор-функции вырожденных операторио-дифференциальных систем. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 2009. 154 с.

49. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

50. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с." .

51. Левчук В. В. Граничные задачи для для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Киев, 1984. 113 с.

52. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981. 320 с.

53. Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т. Задача Коши. М.: Мир, 1967.

54. Ле Хай Хой. Векторнозначные функции и дифференциальные операторы бесконечного порядка. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981. 54 с.

55. Лобанов С. Г. О разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Вестник МГУ. 1980. № 2. С. 3−7.

56. Ломовцев Ф. Е. Абстрактные эволюционные дифференциальные уравнения с разрывными операторными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 7. С. 1132−1141.

57. Ломовцев Ф. Е. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения гладких и разрывных операторных коэффициентов. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Минск, 2003. 162 с.

58. Мельникова И. В., Кудрявцев А. Г. Краевая задача для уравнения первого порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1985. № 3. С. 1−5.

59. Мельникова И. В., Кудрявцев А. Г. О корректности задачи Дирихле для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1986. № 8. С. 46−52.

60. Мельникова И. В., Фрейберг А. Ю. Корректность общих краевых задач для уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Сибирский математический журнал, Новосибирск. 1987. 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 7973−87.

61. Мельникова И. В., Филинков А. И. О классификации по краевым задачам полного уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 1990. № 6. С. 39−45.

62. Миллионщиков В. М. К теории дифференциальных уравнений ^ = /(а-,^) в локально выпуклых пространствах // ДАН СССР. 1960. Т. 131. № 3. С. 510−513.

63. Миллионщиков В. М. К теории дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1962. Т. 57 (99). № 4. С. 385−406.

64. Мишин С. Н. О порядке и типе оператора // ДАН РФ. 2001. Т. 381. № 3. С. 309−312.

65. Мишин С. Н. Операторы конечного порядка в локально выпуклых пространствах и их применение. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Орёл, 2002. 116 с.

66. Мишин С. Н. Порядок и тип оператора и последовательности операторов, действующих в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 47−99.

67. Мишин С. Н. Дифференциально-операторные уравнения в локально выпуклых пространствах // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 46−61.

68. Мишин С. Н. Дифференциально-операторные уравнения вида (Р — AYu{t) — f (t) // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2010. Выпуск 7. С. 55−66.

69. Орлов С. С. Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Се-. рия «Математика». 2009. Т. 1. № 1. С. 328−332.

70. Панюшкин C.B. О норме одного оператора // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 82−84.

71. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его примене-* ние к нахождению порядков и типов операторов // «Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2003. Выпуск 4. С. 47−70.

72. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье пространства, сопряженного к локально выпуклому // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2006. Выпуск 6. С. 67−90.

73. Панюшкин C.B. Обобщённое преобразование Фурье и его применения // Математические заметки. 2006. Т. 79. Выпуск 4. С. 581 596.

74. Привалов И. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

75. Прудников А. П., Врычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 1. Элементарные функции. М.: Физматлит, 2003. 632 с.

76. Прудников А. П., Врычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. М.: Физматлит, 2003. 664 с.

77. Радыно Я. В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах I. Регулярные операторы и их свойства // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1402−1410.

78. Радыно Я. В. Линейные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах II. Свойства решений // Дифференциальные уравнения. 1977., Т. 13. № 9. С. 1615−1624.

79. Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология. Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1982. 200 с.

80. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. 357 с.

81. Самко С. Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

82. Соломатин О. Д. О полноте систем обобщённых экспонент в пространстве Фреше // Учёные записки лаборатории теории функций и функционального анализа ОГУ. 2002. Выпуск 3. С. 37−46.

83. Соломатин О. Д. К вопросу об инвариантных подпространствах локально выпуклых пространств // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. № 3. С. 937−946.

84. Треногин В. А. Краевые задачи для абстрактных эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1966. Т. 170. № 5. С. 1026−1031.

85. Фаге М. К. Операторно-аналитические функции одной действительной переменной // Труды Московского математического общества. 1958. Т. 7. С. 227−268.

86. Фалалеев М. В. Задача Коши для вырожденных интегро-диф-ференциальных уравнений в банаховых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 1999. № 2 (1). С. 126−136.

87. Фалалеев М. В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференцпальных операторов в банаховых пространствах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Иркутск, 2008. 238 с.

88. Фалалеев М. В. Обобщённые решения нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2007. Т. 1. № 1. С. 322−329.

89. Фалалеев М. В., Коробова О. В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Сибирскийматематический журнал. 2008. Т. 49. № 4. С. 916−927.

90. Фалалеев М. В., Коробова О. В. Обобщённое решение системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах // Вестник Иркутского регионального отделения Академии наук Высшей школы России. Иркутск, 2008. С. 180−186.

91. Фёдоров В. Е. Теорема Иосиды и разрешающие группы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Вестник Челябинского университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2003. № 3. С. 197−214.

92. Фёдоров В. Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 2004. Т. 195. № 8. С. 131−160.

93. Фёдоров В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 5. С. 702−712.

94. Фёдоров В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах // Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46. № 2. С. 426−448.

95. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Том II. СПб.: Изд-во «Лань», 1997. 800 с.

96. Фишман И. П. О граничных значениях решений дифференциально-операторных уравнений // Украинский математический журнал. 1985. Т. 37. № 3. С. 388−393.

97. Фролов Ю. Н. О неоднородных уравнениях бесконечного порядка в обобщённых производных // Вестник МГУ. 1960. № 4. С. 3−13.

98. Фролов Ю. Н. О решениях уравнения бесконечного порядка в обобщённых производных // Труды МИАН СССР. 1961. Т. 64. С. 294 315.

99. Фукс Б. А.

Введение

в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962. 420 с.

100. Цветков Д. О. Малые движения вязкой стратифицированной жидкости // Динамические системы. 2007. Выпуск 22. С. 73−82.

101. Шкарин С. А. Несколько результатов о разрешимости обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 9. С. 1183−1195.

102. Якубов С. Я. Кратная полнота для системы операторных пучков и эллиптических краевых задач // Математический сборник. 1990. Т. 181. № 1. С. 95−113.

103. Favini A., Yakubov Ya. A system of differential-operator equations of different orders in Hilbert, spaces // Mediterranean journal of mathematics. 2007. V. 4. P. 163−177.

104. Hille E. On the differentiability of semi-group operators // Acta Scient. Math. Szeged. 1950. V. 12. P. 19−24.

105. Kato T. Integration of the equation of evolution in a Banach space // J. Math. Soc. Japan. 1953. V. 5. P. 208−234.

106. Kato T., Tanabe H. On the abstract evolution equation // Osaka Math. J. 1962. V. 14. P. 107−133.

107. Lions J.-L. Equations differentielles operationnelles et problemes aux limites. Springer. 1961. 292 p.

108. Yosida K. On the differentiability and the representation of one-parameter semi-group of operators //J. Math. Soc. Japan. 1948. V. 1. № 1. P. 15−21.

109. Yosida K. Time dependent evolution equations in locally convex space 11 Math. Ann. 1965. V. 162. № 1. P. 83−86.