Моделирование основ теории поверхностей их дискретными аналогами

Объектом исследования предлагаемой работы являются введенные дискретные аналоги поверхности и его элементов, а также деформации дискретного аналога. В геометрии поверхностей исследуют два вида проблем — локальные, когда поверхность изучается в малой окрестности точки, и «в целом», когда поверхность изучается на всем ее протяжении. При этом различают внутренне геометрические задачи, связанные с измерениями на самой поверхности, и внешне геометрические, связанные с изучением пространственной формы поверхности и ее частей.

Задачи той области геометрии, которую традиционно называют «геометрией в целом», а в последнее время стали также называть «метрической теорией многообразий и поверхностей», желая тем самым подчеркнуть, что речь идет, прежде всего, о свойствах многообразий и поверхностей, связанных с их метрикой. Как и любой раздел математики, геометрия в целом имеет четко очерченные границы собственных задач и методов. Тематика исследований в этой области непрерывно расширяется, охватывая новый круг задач с привлечением новых методов.

Становление и развитие геометрии «в целом» определили своими работами такие выдающиеся математики, как Дарбу, Коши, Гильберт, Минковский, Вейл, Кон-Фоссен, И. Н. Векуа, А. Д. Александров, Н. В. Ефимов, A.B. Погорелов и др.

Наиболее впечатляющие достижения получены в теории общих выпуклых поверхностей. Первый результат здесь был получен в 1813 г. Коши, доказавшим теорему об однозначной определенности выпуклых многогранников. Другая теорема единственности была доказана в 1897 Минковским. Но только с работ Кон-Фоссена (19 271 937г.) [14] начались глубокие исследования — изгибание поверхностей «в целом», геодезические линии и полная кривизна поверхностей, топологическое строение абстрактных метрик. Но чтобы материализовать замыслы С.Ф. Кон-Фоссена, требовались новые методы, так как дифференциально-геометрические подходы были недостаточными. Такие методы были найдены А. Д. Александровым, и с 1941 г. началось последовательное изучение общих выпуклых поверхностей. Один из них — метод приближения общей выпуклой поверхности выпуклыми многогранниками. А. Д. Александров в своих исследованиях ввел и использовал новое понятие — развертка и разработал внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей [1]. В 1948;1969 г. г. A.B. Погорелов построил их внешнюю геометрию и решил ряд принципиальных геометрических проблемв 1948 он доказывает одну из центральных теорем теории — об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей [34].

Далее значительное число результатов были получены по вопросам изгибаний поверхностей. Весьма полное изложение основных проблем этой области и освещения состояния их изученности можно найти в работе Н. В. Ефимова [11]. Его работа выпущена в 1957 г. отдельным изданием в немецком переводе [57] и снабжена рядом дополнений, написанных Е. Рембсом и К. П. Гротемейером. В этих дополнениях содержится довольно полный обзор результатов до1957 г. Далее значительные результаты получены в вопросах изучения изгибаний поверхностей некоторых классов — Э. Г. Позняк [38], И. Х. Сабитов [42], Глюк Н. [60−62], Коннели Р. [53−56], Кейпер Н. [15], З.Д. Усма-нов[47], A.B.Погорелов [36−37] и др. Задачи рассматриваемые в теории изгибаний поверхностей начали изучаться и для других объектов, например для графов [51,52,65]. Результаты и методика исследований теории изгибаний использовались в теории оболочек [36,58,59].

С появлением современной компьютерной техники во многих организациях, решения различных прикладных задач теории поверхностей должны представляться таким образом, чтобы на их основе можно было составлять достаточно эффективные алгоритмы для использования на ЭВМ [3,31,32,39].

Предметом диссертации является дискретный поверхностный набор точек (ДПНТ), моделирующий поверхность и получаемые на его основе дискретные аналоги элементов теории поверхностей.

1. Рассмотрим элементы теории поверхностей, для которых введены их дискретные аналоги [1,5,12,35]. Пусть дана поверхность r = r (u, v), (1) точнее, некоторый ее кусок, покрытый правильной ортогональной сетью линий v = const ии = const. На ней даны две точки Mi и М2 и соединяющая их кривая u = u (t), v = v (t), (2) причем для первой точки t = th, а для второй t = t2. Длина L этой кривой определяется как ti.

L = ids, t2 где.

65 = = г иби + rvdv = V (г иби + г у dv)(г и6и + rvdv). Вдоль линии (2) би = и’сП, = (3) и = -I а2и'2 + Ь2У'2 dt, (4) где а2 = г и г и, Ь2 = г, г,.

Гаусс обратил внимание на то, что функции, а и Ь не инвариантны, но подинтегральное выражение формулы (4) инвариантно, представляя собой дифференциал этой длины, который можно записать так ds2 = a2du2 + b2dv2. (5).

— 7 В произвольной координатизации бв2 выражается через с1и и сЛ/ таким образом.

I = с1в2 = Е би2 + 2Fdudv + вс/у2 (6).

Гаусс назвал это выражение первой основной дифференциальной квадратичной формой1 поверхности (первая квадратичная форма) и сформулировал такой вывод: для проведения всех измерений на поверхности достаточно знать ее первую квадратичную форму.

Все, что можно сказать о поверхности, основываясь только на (6), составляет содержание внутренней геометрии поверхности.

Второй квадратичной формой поверхности называется форма.

II = (62г, п) = (гш{и}у), п{иу))6и2 + 2{гиу (и, у), п (и, у))с1и 6у + {г^(и, у), п (и, у))с1/, где п = [г^г2] / (| [г1,г2]), «[,]» — векторное, а «(,)» -скалярное произведение векторов.

Поскольку (с/г, п) = 0, то, дифференцируя это равенство, получаем (с/ 2 г, п) + [бг, бп) = 0. Отсюда.

II = - (с/г, с//7) и.

Ци, v) = (гии, п) = - {ги, пи), М (и, v) = (гиу, п) = - (гu>гlv) = - (г"пи),.

Ы (и^) = (гт, п) = - {ГпПу). Гауссовой (полной) кривизной поверхности в точке (и, у) называется величина.

1Ы-М2.

К =-.

Ев-Е2.

По знаку гауссовой кривизны К точки на поверхности делятся на эллиптические (К>0), гиперболические (К<0), параболические (К=0 и к12+к22>0) и точки уплощения (К=0, к1=к2=0). кь к2 — главные кривизны поверхности и К = к1к2.

1) Формой называют однородный многочлен, т. е. многочлен, все члены которого имеют одну и ту же степень. ии.

Л^Ги+Гц rv + Ln, ruv = r121 ru + r122rv + Mn, rw = Г221 ru + Г222 rv + Nn, nu = a1ru+ fa rv + Г1п, nv = a2ru+ fa rv + y2n, где уьy2 =0. Гц называются коэффициентами Кристоффеля. Для их определения, а также коэффициентов щ, а2, fab fa2, служат уравнения r111E + r112 °F = Eu /2,.

I r111 °F + r112G = Fu-Ev /2,.

Г121Е + Г122 F = EV /2, i r121 °F + r122G = Gu /2,.

22 Е + Г22 F = Fv — G и /2,.

Г22Е + Г22 G = G, /2- ГоцЕ + Д Р = -I, а2Е + = -М, I а? Р + Дв = -М, [а2 Р + = -А/. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Соотношение, которое определяется теоремой Гаусса, выражает гауссову кривизну через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первых двух порядков: 1.

K (u, v)-А.

•22.

EG-F).

— Guu /2+Fuv-Evv/2 Еи /2 Fu — Ev Fv-Gu/2 E F.

Gv/2 F G.

0 Ev/2 GJ2.

Ev/2 E F Gu/2 F G.

2(ЕО-Е2)(Ц-Ми) — (ЕЛ/ - 2ЕМ + вЩЕ^и) +.

Е Еи1 Е М в ви N 0,.

Е Еу / Р Еу М =0. 6.

Из теоремы Гаусса следует, что первая квадратичная форма явля.

2(Ев-Е2)(М,-Лд — (ЕЫ — 2ЕЬА + а)(Егви) + ется объектом внутренней геометрии.

Продолжая рассматривать задачи внутренней геометрии поверхностей, поставим естественный вопрос: могут ли существовать две различные поверхности с одинаковой внутренней геометрией? Иначе говоря, можно ли на двух различных поверхностях Э и Б* так построить координатные сети, что для тех точек, имеющих одинаковые координаты и принадлежащих линиям, имеющим одинаковые уравнения, окажутся равными и расстояния между точками, измеренные по этим линиям?

В этом случае, при указанном выборе координатных сетей коэффициенты первых квадратичных форм должны быть равны при любых значениях и и V, хотя поверхности и различны, т. е. задаются разными уравнениями. Если удастся на двух разных поверхностях выбрать координатные сети так, что выполняются равенства первых квадратичных форм, то говорят, что одна поверхность изгибается в другую или одна поверхность является изгибанием другой.

Если равенства коэффициентов первых квадратичных форм выполняются приближенно с точностью до бесконечно малых величин высшего порядка сравнительно с г 11, то говорят о бесконечно малом изгибании порядка п (в случае п = 1 просто говорят бесконечно малое изгибание).

Изгибание является тривиальным, если оно является движением всей поверхности как твердого тела в пространстве.

Поверхность считается неизгибаемой, если всякое ее изгибание тривиальное.

Поверхность обладает жесткостью, если всякое ее бесконечно малое изгибание тривиальное.

Важную роль в теории поверхностей играет теорема Гаусса — Бонне. Она связывает кривизну с эйлеровой характеристикой поверхности. Для многосвязной области О сФ (Ф — регулярная поверхность), граница которой 90 состоит из конечного числа кусочно-регулярных циклов, теорема Гаусса — Бонне формулируется следующим образом:

К с/сг + т (дО) = 2ях{0), О где К — гауссова кривизна, даэлемент площади, т (дО) — сумма поворотов всех циклов? ЯЭД (цикл — замкнутая линия), %{0) — эйлерова характеристика области О.

Величина п п = 2 кдйз + аь),.

1 у, ?=1 поворот кривой /, / - кусочно-регулярная кривая, состоящая из регулярных дугк, к дгеодезическая кривизна в регулярной точке дуги, ац — ориентированный угол между направляющими векторами дуг у и у1+1 в точке их соединения.

2. Упомянутым в предыдущем пункте элементам теории поверхностей в диссертации сопоставляются соответствующие им дискретные аналоги. Такое сопоставление осуществляется на основе приближения исходного куска поверхности дискретным поверхностным набором точек (ДПНТ).

При неограниченном увеличении числа его точек с одновременным уменьшением расстояний между ними, ДПНТ сходится к своему прообразу.

Изучение нового геометрического объекта представляет самостоятельный интерес. Оно позволяет также выявить, очевидно, такие закономерности теории поверхностей, которые оказываются справедливыми и для дискретных поверхностных наборов точек. С другой стороны способ определения набора облегчает проводить исследования с помощью ЭВМ.

В работе рассмотрены следующие задачи:

— В теореме Гаусса — Бонне устанавливается связь между кривизнами через эйлеровую характеристику. Доказать аналогичную теорему и для дискретного поверхностного набора точек.

— В теореме Бонне из теории поверхностей говорится о том, что вторая квадратичная форма поверхности вместе с первой определяет поверхность в пространстве до движения. Найти для дискретного поверхностного набора точек некоторые его параметры, задание которых, определяют ДПНТ в пространстве с точностью до движения.

— По аналогии с теорией изгибаний поверхностей получить уравнения точных, аналитических и бесконечно малых изгибаний (деформаций). Выявить критерии, при которых ДПНТ остается жестким при различных начальных условиях, а также условия однозначной определенности ДПНТ.

— Рассмотреть вопрос, существует ли ДПНТ, для которого заданное множество чисел могут служить кривизнами и внешними, углами, т. е. доказать обратную теорему Гаусса — Бонне для ДПНТ.

— Рассмотреть жесткость ДПНТ определенных типов.

— Построить модель обувной колодки как ДПНТ, рассмотреть вопросы наложения частей такого ДПНТ на плоскость.

— Построить алгоритмы, с помощью которых можно было бы исследовать заданный ДПНТ на ЭВМ.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

1. Александров А. Д. Внутренняя геометрия поверхности. — М.: Гостех-издат, 1948.

2. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. М.: ГиТТЛ, 1950.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1981.

4. Бакельман И. Я. и др.

Введение

в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973 — 440 с.

5. Берже М. Геометрия. Т.1 2. — М.: Мир, 1984.

6. Берже М., Берри Ж.-П. Задачи по геометрии с комментариями и решениями. М.: Мир, 1989 — 304 с.

7. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

8. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

9. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

10. Гилой В. Интерактивная машинная графика: Структуры данных, алгоритмы, языки. М.: Мир, 1981 — 384 с.

11. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей «в малом». УМН, 3, вып. 2 (24), 1948 — с. 47−158.

12. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. Ч. 1 М.: Гостехиздат, 1947.

13. Коннели Р. Об одном подходе к проблеме неизгибаемости. В кн. Исследования по метрической теории поверхностей. Сб. статей. М.: Мир, 1980,-с. 164 -210.

14. Кон Фоссен С. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — М.: Физматгиз, 1959.

15. Кёйпер Н. X. Изгибание полиэдральной сферы в Е3, по Роберту Ко-нелли. В кн. Исследования по метрической теории поверхностей.

16. Максудов Х. Т. Аналог теоремы Бонне для дискретного поверхностного набора точек. Известия АН Тадж.ССР. Отделение физ.-мат., хим. и геол. наук. № 1 (99), 1986.

17. Максудов Х. Т. О деформируемости дискретного поверхностного (тородиального) набора точек. В кн.: Материалы республиканской научно — практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикской ССР (Тезисы докладов). — Душанбе, 1987.

18. Максудов Х. Т. О матричной форме уравнений деформаций дискретного поверхностного набора точек. В кн.: Республиканская научнопрактическая конференция молодых ученых и специалистов. -Душанбе, 1989.

19. Максудов Х. Т. Специальная бесконечно-малая деформация дискретного поверхностного набора точек./ Институт математики АН РТДушанбе, 1995 8 с. — Депонировано в НПИЦентре РТ, № 15(992) -Та95, вып. 1.

20. Максудов Х. Т. Теорема Гаусса Бонне для дискретного поверхностного набора точек. / Институт математики АН РТ — Душанбе, 1995; 10 с. Депонировано в НПИЦентре РТ, № 16(993)-Та95, вып. 1.

21. Максудов Х. Т. Обратная теорема Гаусса Бонне для дискретных поверхностных наборов точек некоторых классов./ Институт мате.

22. Максудов Х. Т. Кривизна дискретного поверхностного набора точек и иммерсия основного объекта. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе — 2000 — 11 с. — Депонировано в НПИЦентре РТ, № 18(1326) — вып. 1.

23. Максудов Х. Т. Жесткость и однозначная определенность дискретных поверхностных наборов точек некоторых классов. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе — 2000 — 11 с. -Депонировано в НПИЦентре РТ, № 19(1327) — вып. 1.

24. Максудов Х. Т. Дискретная модель обувной колодки. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе — 2000 — 17 с.-Депонировано в НПИЦентре РТ, № 20(1328) — вып. 1.

25. Максудов Х. Т. Система проектирования верха обуви «Колодка». / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе -2000;5 с. — Депонировано в НПИЦентре РТ, № 21(1329) — вып. 1.

26. Максудов Х. Т. Дискретные поверхностные наборы точек типа «поверхности вращения» и их деформации. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе — 2000 — 13 с. — Депонировано в НПИЦентре РТ, № 22(1330) — вып. 1.

27. Максудов Х. Т. Структура данных и алгоритмы исследования дискретных поверхностных наборов точек. / Институт математики АН Республики Таджикистан Душанбе — 2000 — 11 с. — Депонировано в НПИЦентре РТ, № 23(1331) — вып. 1.

28. Маллер Д., Препарата Ф. Нахождение пересечения двух выпуклых многогранников. В кн.: «Кибернетика». Сборник. № 20 — М., 1983, с. 5−29.

29. Матвеев C.B., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные ме.

30. Математика и САПР. Кн. 2. Вычислительные методы. Геометрические методы М.: Мир, 1988.

31. Павлидис Т. Алгоритмы машинной графики и обработки изображений. М.: Радио и связь, 1986 — 400 с.

32. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.

33. Погорелов A.B. Геометрия. М.: Наука, 1983. — 287 с.

34. Погорелов A.B. Геометрическая теория устойчивости оболочек. -М.: Наука, 1986.

35. Погорелов A.B. Специальные бесконечно-малые изгибания выпуклых поверхностей. «Труды Математического института АН СССР», 1984, 166. -с.210−217.

36. Позняк Э. Г. Нежесткие замкнутые многогранники. Вестник МГУ, сер. Математики и Механики. № 3 (1960), с. 14−18.

37. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989.-478 с.

38. Роджерс Д. Ф. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989.

39. Роджерс Д. Ф., Адам Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 1991.

40. Сабитов И. Х. О жесткости «гофрированных» поверхностей вращения. Математические заметки, т. 14 № 4(1975). с. 517−522.

41. Сабоннадгер Ж. Методы конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989.

42. Синченко Л. Д. Вопросы «геометрии торовых поверхностей». В кн.: Геометрические модели и алгоритмы. — П.: 1983, с. 128−137.

43. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977.

44. Усманов З. Д., Максудов Х. Т. О деформациях дискретного поверхностного набора точек. Доклады АН ТаджССР, т. 26, № 12Б, 1983.

45. Усманов З. Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. / АН Респ. Таджикистан. Мат. ин-т с ВЦ. Душанбе, 1993 -244 с.

46. Фоли Дж., Ван Дем А. Основы интерактивной машиной графики. М.: Мир, 1985.

47. Холева Э. И др. Основы рационального конструирования колодок и обуви. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. — 248 с.

48. Энджел Й. Практическое введение в машинную графику. М.: Радио и связь, 1988 — с. 195.

49. Asimov L., Roth В. Rigidity of graphs II. J. Math. Anal, and Appl. V. 68, № 1 (1979), 171−190.

50. Asimov L" Roth B. Rigidity of graphs. Trans, of AMS. V. 245 (1978), 279 -289.

51. Connelly R. A flexible sphere. Mathemat. Intelligence, v.1, № 3 (1978), 130−131.

52. Connelly R. An immersial polyhedral surface which flexes. Indiana University Math. J., 25(1976).- 965−972.

53. Connelly R. Conjectures and open questions in rigidity. Proc. Int. Congr. Math., Helsinki, 15−29, Aug., 1979, vol. 1.-407−414.

54. Connelly R. The rigidity of certain cabled frameworks and the second order rigidity of arbitrary triangulated convex surfaces. Adv. Math., 1980, 37, № 3.-272−299.

55. Efimof N.B. Flachen Verbiegung in grossen. Miteinem Nachtrag von E. Rembs and K.P.Grotemeyer Berlin, Akademie Verlag, 1957.

56. Frackiewicz H. Mechanika osrodkow siatkowych.- Warszawa, PWN, 1970.

57. Frackiewicz H., Legat A. Geometryezna zmiennose powtok siatkowych. -Warszawa, PWN, 1982.

58. Gluck H. Almost all simply connected closed surfaces are rigid. Lec-100tures Notes in Mathematics, v. 438(1975), 225 240.

59. Gluck H. Manifolds with preassigned curvature. A survey. Bull, of AMS, v. 81 (1975), № 2, — 313−329.

60. Gluck H., Krigelman K., Singer D. The converse to the Gauss Bonnet Theorem in PL. -J. Differential Geometry, v. 9(1974), — 601−606.

61. Gruber P.M. Aspects of convexity and its applications. Expos, math., v.2. 1984, № 1.-47−83.

62. Hopf H. Differential geometry in large. Lect. Notes Math., 1983, 1000, VIII. — 184.

63. Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Engineering Math. 9(1970), 337−340.

64. Patruno G.N. The Lattice polytope problem. Elem. Math., 1983, 38, № 3,69−71.

65. Singer D. Preassigning curvature of polihedra homeomorphic to the two-sphere. J. of Diff. Geometry, v.9, № 4 (1974) — 683−688.

66. Svec A. Global differential geometry of surfaces. Berlin, Dtsch. Verl. Wiss., 1981, — 154.