Спектральные свойства периодических массивов квантовых точек и колец в магнитном поле

Задача описания поведения электрона под действием двумерного периодического потенциала (такой электрон называется блоховским) и внешнего магнитного поля в течение многих лет неизменно привлекает внимание как физиков (знание структуры спектра блоховского электрона необходимо для объяснения ряда важных эффектов в физике твердого тела, в частности, знаменитого квантового эффекта Холла [26]), так и математиков. Спектральный анализ возникающих при исследовании таких систем периодических возмущений операторов Шредингера с магнитным полем (операторов Ландау) является очень сложной математической задачей, которая полностью не решена до сих пор, хотя в этой области имеются фундаментальные результаты, среди которых упомянем работы С. П. Новикова [35], [36], Ж. Беллисарда [60], Б. Эльфера и Ж. Шостранда [91]—[93]. Для нетривиальных периодических потенциалов спектр оператора Ландау аналитически найти не удается, поэтому большой интерес представляют исследования явнорешаемых моделей периодических систем в магнитных полях. Изучение таких систем потребовало привлечения ряда современных математических теорий, включая методы алгебраической топологии, некоммутативной геометрии, геометрии фракталов, и, в свою очередь, привело к развитию этих методов [35], [53], [62], [67], [74], [95], [101]. Представляет интерес также аналитическое и численное исследование различных приближенных дискретных моделей периодических систем в магнитных полях (см. обзор [106] и ссылки в нем).

Основные черты сложной зависимости энергетического спектра заря-женнной частицы от потока магнитного поля были предсказаны М.Я.Аз-белем [3] и Я. Заком [112] в рамках квазиклассического приближения. В приближении сильной связи эта зависимость была численно получена Д. Р. Хофштадтером в [94] в виде знаменитой «бабочки Хофштадте-ра» — диаграммы «поток-энергия» для разностного оператора Харпе-ра, который является частным случаем «почти Матье» оператора [54]. Строгие математические результаты [58], [60], [62], [64], [91]—[93], [100],.

108], доказывающие, при некоторых ограничениях, «канторовость» этой диаграммы, частично подтверждают гипотезу, что диаграммы поток-энергия для гамильтонианов периодических систем в магнитном поле имеют фрактальную структуру. Тем не менее, до настоящего времени не найдено доказательства этой гипотезы в общем случае. Поэтому для спектрального анализа как приближенных ([20], [57], [59], [63], [72], [88], [89], [90], [97], [102], [105], [111]), так и реалистических ([86], [99], [104]) гамильтонианов таких систем постоянно используются численные методы. Отметим, что при исследовании возмущения двумерного оператора Ландау периодическими потенциалами, использование даже таких простых потенциалов как Vo (cos (7nc/a) -f cos (iry/b)) или Vq cosu (ttx/a) cosn (тсу/Ь) ([99], [104]) не дает возможности контролировать точность приближения расчетных параметров к их истинным значениям.

Таким образом, весьма актуальной представляется задача построения математических моделей периодических квантовых систем, учитывающих как можно больше параметров, связанных с характером магнитного поля и с геометрией самой системы, с одной стороны, и допускающих строгое аналитическое описание структуры энергетического спектра и численный анализ с контролируемой точностью этого спектра с другой стороны.

Для экспериментального обнаружения фрактальной структуры спектра в обычном кристалле с линейными размерами элементарной ячейки решетки периодов порядка 0.1 нм необходимо создать магнитное поле около 105 Т, что технически недостижимо. Успехи микрои нано-технологий последних десятилетий привели к созданию искусственных суперрешеток, в которых группой под руководством К. фон Клицинга впервые были получены экспериментальные подтверждения гипотезы о фрактальности спектра периодических систем в магнитном поле [109] (см. также [75], [87], [98]). Отметим, что подобную структуру спектра в настоящее время принято рассматривать как проявление квантового хаоса в электронных наноструктурах [110].

Целью настоящей работы является построение и спектральный анализ моделей двух типов таких искусственных суперрешеток: периодических массивов квантовых точек и одномерных квантовых колец с вихрями Ааронова-Бома, которые находятся во внешнем однородном магнитном поле. В предлагаемых нами моделях таких систем, в отличие от моделей в [20], [57], [72], [89], [97], [102], уравнение для спектра исследуемого гамильтониана при фиксированном значении квазиимпульса получено в аналитическом виде (другими словами, получены аналитические законы дисперсии), что позволяет строго математически описать качественную структуру спектра периодической системы и произвести с контролируемой точностью численный расчет зависимости спектра построенного оператора энергии от потока магнитного поля. Кроме этого, достоинством наших моделей является то, что с помощью теоретико-группового анализа получаемых гамильтонианов можно четко разделить влияние на структуру диаграммы поток-энергия характера магнитного поля и геометрии кристаллической решетки. Так как мы учитываем не только однородную компонента магнитного поля, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома, то предлагаемые модели можно рассматривать, как обобщение моделей массивов квантовых точек и антиточек, исследованных в [76], [78], [79].

Перейдем теперь к систематическому обзору диссертации по главам.

Первая глава диссертации является вспомогательной, в ней описывается используемый нами в дальнейшем метод построения и спектрального исследования явнорешаемых решеточных моделей «с внутренней структурой», который был предложен Б. С. Павловым в [37], [38] и развит в [80]. Гамильтониан периодической системы, находящейся в однородном магнитном поле, строится с помощью формулы М. Г. Крейна для резольвент теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Для анализа спектра построенного гамильтониана используется гармонический анализ на так называемой дискретной группе магнитных трансляций, которая является группой инвариантности этого оператора.

Во второй главе рассматривается симметрический оператор Н^ — iffl, где iffl — тождественный оператор в одномерном проmeZ странстве, натянутом на функцию егт (р, а действующий в L2(R+, pdp) оператор Нт с областью определения Со°(М+) имеет следующий вид: 1 д д (т + Ф)2 + Д) 2 шс,.

Нт =—7ГР1Г+ -9-— + m + Ф, pop др р2 2 где параметры Ф, а и а-с могут быть любыми действительными неотрицательными числами. В теореме 2.6 в терминах пространств граничных значений описаны все нетривиальные расширения парциальных операторов Нт, среди них выделено расширение по Фридрихсу. Теорема 2.8 определяет в пространстве Ь2(Ш2) самосопряженное расширение Hd оператора которое можно считать гамильтонианом находящегося в однородном магнитном поле одиночного квантового кольца с вихрем Ааронова-Бома Ф. Структуру спектра оператора Hj описывают теоремы 2.9 и 2.10. Отметим, что на физическом уровне строгости гамильтониан Hd рассматривался в [65], где найден его спектрв частном случае ($ 0 = а = шс = 0) строгое математическое исследование оператора Hd проводилось в [68], [96] (см. также [71]). Основными новыми результаты второй главы являются теоремы 2.6, 2.8 и 2.10.

Главы 3 и 4 являются центральными в диссертации и содержат ее основные результаты. Здесь рассматриваются математические модели периодических систем, состоящих из объектов, представляющих собой два различных предельных случая описанного во второй главе двумерного квантового кольца: квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома (внутренний радиус двумерного кольца равен нулю) и одномерных квантовых колец Ааронова-Бома (внутренний радиус двумерного кольца равен его внешнему радиусу).

В третьей главе мы строим и исследуем гамильтониан периодического массива квантовых точек, который находится во внешнем однородном магнитном поле В, причем внутри каждой квантовой точки сосредоточено дополнительное магнитное поле, являющееся суперпозицией однородной составляющей Во и поля, создаваемого проходящим через центр этой точки соленоидом Ааронова-Бома. В первом параграфе мы получаем решеточно-инвариантный самосопряженный оператор Яагг, который можно считать оператором энергии нашей модели. Во втором параграфе исследуется спектр построенного гамильтониана. В случае рационального потока г/ внешнего однородного магнитного поля через элементарную ячейку решетки Браве кристаллической решетки оператор Нагг разлагается в прямой интеграл операторов по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций. Теорема 3.2 описывает структуру спектра слоя Я" агг (р) этого разложения над произвольной точкой р тора квазиимпульсов. Теоремы 3.4 и 3.5 описывают спектр рассматриваемого гамильтониана при, соответственно, рациональном и иррациональном потоках г]. Нами показано, что в случае рационального г) спектр оператора является зонным (состоит из зон, разделенных на магнитные и атомные подзоны), а для почти всех иррациональных г] - имеет фрактальную структуру (содержит объединение канторовских множеств). В теореме 3.6 доказано существование у оператора Нагг собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр. Также во втором параграфе представлены результаты численного анализа спектра оператора Нагг для случаев квадратной и гексагональных кристаллических решеток. Итак, основными новыми результатами третьей главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 3.2, 3.4, 3.5 и 3.6.

В четвертой главе рассматривается модель периодического массива одномерных квантовых колец, помещенных во внешнее однородное магнитное поле В, для случая, когда решетка векторов трансляций системы является квадратной. Как и в третьей главе, мы считаем, что внутри каждого кольца сосредоточено дополнительное магнитное поле, являющееся суперпозицией однородной составляющей Во и поля, создаваемого проходящим через центр этого кольца соленоидом Ааронова-Бома В первом параграфе строится гамильтониан На исследуемой системы, во втором параграфе исследуется его спектр, для чего, как и в третьей главе, оператор На разлагается в прямой интеграл операторов по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций (для этой модели мы рассматриваем только случай рационального потока г]). Спектр слоя оператора На (р) над произвольной точкой тора квазиимпульсов описывается в теореме 4.1. В теореме 4.2 показано, что спектр гамильтониана На имеет зонную структуру (состоит из зон, разделенных на магнитные подзоны). Также в теореме 4.2 показано, что если общий магнитный поток через кольцо является целым числом, то в спектре оператора На сохраняются некоторые энергетические уровни одиночного кольца Ааронова Бома. В случае целого потока ту, согласно теореме 4.3, в спектре гамильтониана На могут присутствовать вырожденные подзоны (локализованные состояния). Заметим, что изученную модель периодической системы одномерных колец можно рассматривать как предельный случай периодического массива квантовых антиточекгамильтониан этого массива был построен и изучен Б. С. Павловым, В. А. Гейлером и И. Ю. Поповым в [79]. В этой работе была предложена интерпретация структуры полученного энергетического спектраэту интерпретацию можно применить и для нашей модели. Уровням одиночного кольца соответствуют состояния, локализованные в отдельном кольце (т.е. классически им соответствуют траектории движения, полностью лежащие в данном кольце). Точкам непрерывного зонного спектра соответствуют пропагаторные состояния, делокализованные в периодическом массиве колец. Наконец, вырожденным зонам соответствуют «блуждающие» замкнутые траектории, охватывающие несколько колец массива. Итак, основными новыми результатами четвертой главы и одними из центральных результатов диссертации являются теоремы 4.1, 4.2 и 4.3.

В заключении кратко повторяются основные полученные результаты, делаются выводы из этих результатов и приводятся сведения об апробации работы.

Таким образом, на защиту выносятся следующие положения.

1. Найдены все самосопряженные расширения одного класса симметрических операторов, из них выделено расширение по Фридрих-су, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома, и исследован спектр этого гамильтониана.

2. Построены операторы энергии двух квантовых систем, находящихся во внешнем однородном магнитном поле: гамильтониан Нагг периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома и гамильтониан Нд периодической системы квантовых колец Ааронова-Бома.

3. Для случая, когда поток однородного поля через элементарную ячейку кристаллической решетки системы рационален, получено разложение гамильтониана Нагг в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазиимпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора НаГ1 построены диаграммы поток-энергия.

4. В случае квадратной решетки доказана фрактальная структура спектра оператора Нагг для почти всех иррациональных значений потока. Доказано существование у оператора Нагг собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр.

5. Для случая рационального потока и квадратной кристаллической решетки получено разложение гамильтониана На в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазиимпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора Я^, получена оценка на количество подзон в каждой зоне.

6. Доказано существование при целом потоке у гамильтониана На вырожденных подзон (локализованных состояний).

Обозначения.

На протяжении всей работы мы придерживаемся следующих обозначений: a?, а2 некоторый (не обязательно ортонормальный) базис в IR2. Для векторов V, V Е 1R2, будем обозначать: vx, vy — координаты в стандартном базисе ех = (1,0), еу = (0,1) — г>], V2 — координаты в базисе ai, а2.

Стандартный базис в полярной системе координат (р,(р) мы будем обозначать через ер, ер = cos (рех + sin (реу, е^ = — sin срех + cos <реу. Если u, v G M2, то u A v обозначает стандартное симплектическое произведение векторов и и v: u A v = uxvy — vxuy.

Произвольная кососимметричная форма /3 в М2 имеет тем самым следующий вид:

3(х, у) = £х, А у, где (G Iесли? ф 0, то (3 — симплектическая форма. В физических приложениях? будет числом квантов магнитного потока через единичную площадку в плоскости М2.

Пусть х и у — векторы из гильбертова пространства И, тогда их скалярное произведение, которое мы считаем линейным по второму аргументу, будем обозначать его через < ху >.

При фиксированном базисе {ai, a2} в R2 символом, А будем обозначать решетку, натянутую на векторы ai, а2:

А = {Aiai + А2а2: АЬА2 6 Z}.

Через F будем обозначать базисную ячейку решетки Л:

Fa = {tiSLi + i2a2: 0 < tut2 < 1}.

Символ N/M всегда будет обозначать некоторую несократимую дробь (IV>0,M>0).

Символом TT2 будем обозначать двумерный тор:

Т2 = S1 х § где S1 — единичная окружность. Чаще всего мы будем рассматривать Т2 как развертку квадрата Т2 = [0,1) х [0,1).

Если Tj = N/M, то символом Т2 будем обозначать двумерный тор, полученный склеиванием прямоугольника [О, М-1) х [0,1) — таким образом, точки р тора Т2 — это пары чисел (pi, p2), где 0 ^ р < М¹, 0 ^ р2 < 1.

Если X — некоторое множество, то Х будет означать мощность этого множества.

Через Lin {/i,., /"} будем обозначать линейное пространство, натянутое на функции /ь ., fn.

Если ж — действительное число, то через [ж] будем обозначать целую часть числа ж, а через {ж} - дробную часть числа ж, {ж} = ж — [ж]. Символом diag, А мы будем обозначать диагональную матрицу А. Мы также будем придерживаться следующих стандартных в теории линейных операторов обозначений [5].

Для некоторого симметрического оператора, А символ р (А) обозначает множество регулярных точек этого операторатогда сг (А) = С р (А) — спектр, А и для всякого 2 G р (А) Ra (z) = (А — z)~l — резольвента оператора А. В случаях, когда из контекста будет ясно о каком операторе идет речь, мы будем писать просто R (z).

V (A) — область определения оператора А. jVz (A) — дефектное пространство оператора А: если z G р{А)1 то NZ{A) = Ker (A* -z). n+(A), n (A) — дефектные числа оператора А: если z G р (А), Im г > О, то п+(А) = aimMz (A), n (A) = dimAC (A). В случае, когда верхний и нижний индексы совпадают, п+(А) = п (А), будем обозначать их через п (А). В случаях, когда из контекста будет ясно о каком операторе идет речь, мы будем писать просто n+, n, n.

Если, А = (aij)fj=1 — некоторая комплексная матрица, то А* будет.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13]-[15], [43]—[50], [69], [81]—[85], а также докладывались на четвертой международной конференции по разностным уравнениям и их приложениям (Познань, 1998 г.), на международной конференции «Физика на пороге 21 века» (Санкт-Петербург, 1998 г.), на восьмой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998 г.), на третьей международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1998 г.), на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции «Проблемы физико-математического образования в ВУЗах России» (Уфа, 1997 г.), на второй международной научно-технической конференции «Проблемы и прикладные вопросы физики» (Саранск, 1999 г.), на региональной научно-практической конференции «Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов» (Саранск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых Мордовского госуниверситета (Саранск, 1996;1998 гг.), на Огаревских чтениях (Саранск, 1998,1999 гг.).

Заключение

.

В работе построены и исследованы самосопряженные операторы, которые можно считать модельными гамильтонианами двумерных массивов квантовых точек и квантовых колец, находящихся во внешнем магнитном поле. В этих моделях впервые учитывается не только однородная компонента магнитного поля, в котором находится система, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома (это поле рассматривается как «внутренний» параметр системы квантовых объектов).

Операторы энергии рассматриваемых периодических систем строились как гамильтонианы решеточных моделей «с внутренней структурой» с использованием методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Для анализа спектра гамильтонианов моделей применялся гармонический анализ на дискретной группе магнитных трансляций.

Основными результатами диссертации являются теоремы 3.4 и 4.2, качественно описывающие зонную структуру спектра рассматриваемых операторов энергии при рациональном потоке однородного магнитного поля через элементарную ячейку векторов трансляций, и теорема 3.5, доказывающая канторовскую структуру спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома для почти всех иррациональных значениях потока в случае квадратной решетки.

Также в работе доказано наличие у гамильтониана массива квантовых точек собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр, а у гамильтониана системы квантовых колец — существование вырожденных подзон (локализованных состояний).

Дополнительное численное исследование, проведенное для случаев квадратной и гексагональной решеток, позволяет сделать следующие выводы относительно структуры спектра массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома:

1) зоны спектра имеют наклон по направлению роста поля;

2) в случае гексагональной решетки и при ненулевом потоке Ааронова-Бома происходит сгущение магнитных подзон;

3) для гексагональной решетки соответствующие атомные подзоны внутри одной зоны не перекрываются.

Все полученные в диссертационной работе результаты хорошо согласуются с принятыми в теоретической физике представлениями о формировании зон спектра периодической системы как результата расплыва-ния уровней атомов, лежащих в ячейке Вигнера-Зейца [28] и с недавними экспериментальными данными, касающимися исследования периодических систем в магнитных полях [75], [87], [98], [109].