Задача математического моделирования высокочастотных электромагнитных полей (от 150МГц и выше) внутри помещений имеет важное значение в решении проблем электромагнитной (ЭМС) и био-электромагнитной (био-ЭМС) совместимости технических и биологических систем. Высокочастотные излучаемые помехи мешают нормальному функционированию оборудования и машин, оказывают влияние на биологические системы, а их подавление приводит к дополнительному потреблению первичных энергоресурсов.
В настоящее время большой интерес проявляется к исследованию биологического влияния электромагнитных полей. В последние несколько лет горячее публичное обсуждение этого вопроса было вызвано интенсивным развертыванием мобильных радиосетей в Европе, США, а теперь и в России. Объем знаний, достигнутых в этой области уже привел к определению максимальных значений параметров, характеризующих подверженность людей влиянию электромагнитных полей.
Работы в этом направлении координировались на международном уровне Международным Комитетом по Неионизирующим Излучениям (ЕМШС), входящим в структуру Международного Агентства по Защите от Излучений (ГОРА). В результате были опубликованы рекомендации, которые использовались в качестве основы для национальных директив в области электромагнитной безопасности [1].
При численном решении уравнений электромагнитного поля возникают трудности, связанные с постановкой краевых условий за внешней границей стен помещения, в открытой области, где напряженность поля, вообще говоря, неизвестна. Большинство из существующих методик не обеспечивают высокой точности решения, если граница расчетной области находится близко к исследуемому объекту [2]. Их использование затрудняется явлениями неустойчивости, обусловленными высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих граничные условия. Существующие методики не обеспечивают полного отсутствия отражения от границы, а присутствие многослойных поглощающих материалов, формирующих границу, увеличивает размеры расчетной области [3].
Таким образом, актуальна задача создания методик построения граничных условий для уравнений электромагнитного поля на бесконечности, позволяющих свести к минимуму указанные недостатки.
Целью работы является разработка математической модели, программного комплекса и проведение расчетов для решения задач численного моделирования монохроматических высокочастотных электромагнитных полей внутри помещений и их биологического воздействия.
В соответствии с целью исследования в настоящей работе предложен новый итерационный алгоритм постановки краевых условий, который не требует специальных уравнений и обеспечивает высокую точность решения, даже если граничные условия ставятся на расстоянии от исследуемого объекта, значительно меньшем, чем при применении других известных методик. Разработанная итерационная методика построения граничных условий применена совместно с идеально согласованными поглощающими слоями, что позволило повысить точность расчетов. Предложенные математическая модель и вычислительные алгоритмы реализованы в программном комплексе. С их помощью проведено исследование воздействия электромагнитных полей на биологические объекты и получены новые результаты для ряда задач о распределении монохроматических высокочастотных электромагнитных полей внутри замкнутых объемов.
Результаты расчетов, полученные в настоящей работе, характеризующие биологическое воздействие электромагнитных полей, сравнивались с нормами безопасности ЖРА и использовались для получения оценок электромагнитной безопасности излучающей дипольной антенны.
Методом исследования является вычислительный эксперимент, основанный на применении конечно-разностных методов.
Компьютерное моделирование ЭМС и био-ЭМС внутри жилых комнат и промышленных помещений может заменить непосредственные измерения, требующие больших временных и материальных затрат. Поскольку такие измерения не всегда возможны в связи с недоступностью исследуемого объекта, вычислительный эксперимент [4] во многих случаях является единственно возможным методом решения задач моделирования ЭМС и био-ЭМС.
В настоящей работе системы уравнений, описывающие монохроматические электромагнитные поля решаются конечно-разностным методом. Важным преимуществом конечно-разностных методов при моделировании электромагнитных полей является их гибкость. С их помощью можно решать задачи о распространении электромагнитных волн в структурах сложной конфигурации, содержащих проводники, диэлектрики, а также нелинейные и анизотропные материалы. Еще одно преимущество конечно-разностных методик состоит в возможности их реализации на параллельных вычислительных машинах.
Обзор предметной области. Развитие компьютерных технологий коренным образом изменило подходы к решению задач электромагнетизма. Хотя большинство задач электромагнетизма включают решение лишь одного или двух уравнений в частных производных с граничными условиями, лишь очень небольшое число практических задач может быть решено без помощи компьютера [5].
Компьютерные методы анализа задач электромагнетизма попадают в одну из трех категорий — аналитические методики, численные методики и экспертные системы.
Ответ на вопрос какой метод решения уравнений поля лучше других подходит для анализа электромагнитных излучений в большой степени зависит от конкретной задачи.
Аналитические методы хороши при решении задач с высокой степенью симметрии, и они позволяют глубоко анализировать поведение систем определенных электромагнитных конфигураций. Аналитические методики связаны с предположениями, упрощающими геометрию задачи, что позволяет получить точное решение задачи. Аналитические методики могут стать полезным инструментом в тех случаях, когда характер электромагнитных взаимодействий в изучаемой конфигурации предсказуем. Однако, поведение решений большинства задач в области ЭМС и био-ЭМС слишком непредсказуемо, чтобы применить для их моделирования аналитический подход.
Экспертные системы не предназначены для непосредственного расчета поля, и позволяют произвести оценку значений интересующих пользователя параметров, основываясь на определенных правилах и имеющейся базе знаний.
Подход на основе экспертных систем позволяет решать задачу способом, которым ее решает опытный инженер, имеющий калькулятор. Поскольку процедуры проектирования систем и плат становятся все более автоматизированными, экспертные системы в области электромагнетизма несомненно будут играть все возрастающую роль. Тем не менее экспертные системы не могут превзойти свои собственные ограничения, обусловленные имеющейся базой знаний, основанной на правилах, и маловероятно, что когда-нибудь они будут использоваться для моделирования сложных электромагнитных взаимодействий.
Численные методики нацелены на непосредственное решение фундаментальных уравнений поля с граничными условиями, обусловленными геометрией задачи. Хотя они требуют большего объема вычислений, чем аналитические методы или экспертные системы, численные методики являются крайне мощным инструментом анализа задач электромагнетизма. Не делая заранее никаких предположений о том, какие полевые взаимодействия наиболее значимы, численные методики осуществляют анализ всей геометрии исследуемой конфигурации полностью. При этом геометрия задачи задается в виде входных данных.
Существует несколько различных численных методик для решения задач электромагнетизма. Каждая из них подходит для анализа задач определенного типа.
Численная методика, встроенная в конкретную компьютерную программу анализа электромагнитных взаимодействий, играет ключевую роль в определении типа задач, которые данная программа в состоянии решать. При численном решении задач электромагнитных взаимодействий используются следующие основные методики: метод моментов [6], метод конечных разностей во временной области [7], метод ТЪМ [8],[9],[10], метод конечных элементов[11].
Ни одна из перечисленных методик не подходит для решения всех (или даже большинства) задач моделирования электромагнитных взаимодействий. Большинство компьютерных кодов, реализующих метод моментов, не могут моделировать неоднородные, нелинейные диэлектрики. Коды, реализующие метод конечных элементов, не могут эффективно решать задачи об электромагнитных взаимодействиях в областях больших размеров. Одним из решений этой проблемы стало создание гибридных методик, комбинирующих два или более подхода в одном компьютерном коде. Каждая методика применяется в той части расчетной области задачи, для которой она лучше всего подходит. На границе между этими областями ставятся соответствующие граничные условия. Некоторые гибридные методики описаны в работах [12]-[14]. Однако, следует отметить, что в настоящее время ни одна из гибридных методик надежно не моделирует излучений от печатных плат и другие задачи, связанные с расчетом полей в ближней зоне, поскольку большинство их этих методик разрабатывались для определения значений эффективной площади отражения цели у радаров или для других задач рассеивания волн, где источник излучения находится на значительном удалении от исследуемого объекта.
Наиболее часто используемые компьютерные коды, реализующие перечисленные методики, включают MSC/EMAS™[15], MAXWELL™[16] (метод конечных элементов), Numerical Electromagnetic Code (NEC) — Method of Moments [17], MiniNEC [18] (метод моментов), XFDTD™[19] (метод конечных разностей во временной области), The Electromagnetic Wave Simulator[20] (метод TLM).
В настоящей работе для моделирования монохроматических электромагнитных полей внутри помещений, а также биологического влияния поля дипольной антенны, используется метод конечных разностей.
С практической точки зрения конечно-разностный метод решения уравнений, описывающих монохроматические поля, имеет сходство с методом конечных элементов, хотя концептуально является более простым. Однако, до последнего времени крайне малое число работ было посвящено разработке этой методики для решения задач вычислительной электродинамики. При этом в литературе поглощающие граничные условия (как локальные так и материальные) были описаны, главным образом, в случае метода конечных разностей во временной области или для метода конечных элементов.
Существует совсем немного компьютерных кодов, реализующих метод конечных разностей для монохроматических полей. Среди них отметим лишь один модуль, входящий в программу GEMACS [21].
Методики постановки граничных условий для задач в открытых областях. При численном решении задач моделирования электромагнитных полей возникают трудности, связанные с постановкой краевых условий в открытой области, где напряженность поля неизвестна. Моделирование электромагнитного поля на бесконечности, в том числе, связано с поиском таких методик постановки граничных условий, которые будут обеспечивать высокую точность решения уравнений поля даже если граничные условия ставятся на достаточно близком расстоянии от исследуемого объекта.
Существует три принципиально разных подхода к выводу краевых условий на границе объема: интегральный, локальный (дифференциальный) — подход на основе материального поглотителя.
Интегральный подход предполагает сведение краевых задач к интегральным уравнениям [22], причем на границе выполняются строгие интегральные соотношения между полями. Подобные нелокальные методики изложены также в работах [23]-[26].
Локальный подход был описан, в частности, в работе [27] в предположении резкого изменения диэлектрической проницаемости на границе раздела сред.
На дифференциальном подходе основана и методика постановки поглощающих граничных условий, до последнего времени широко применявшихся зарубежными авторами для моделирования электромагнитного поля на бесконечности. Поглощающие граничные условия этого типа локальны в том смысле, что поле в любой граничной точке зависит лишь от полей в соседних точках. Они могут быть получены путем факторизации волнового уравнения, допуская лишь существование решения, описывающего исключительно уходящую волну. Другой подход к построению локальных поглощающих граничных условий использует дискретную форму одного или произведения нескольких симплексных граничных операторов. Локальные поглощающие граничные условия впервые были изложены в работах [28]-[31], а затем в середине 1980;х в работах [2], [32]-[34] были представлены их улучшенные формулировки.
Поглощающие граничные условия на основе материального поглотителя реализуются путем окружения расчетной области материалом с электромагнитными потерями, который ослабляет проходящее через него электромагнитное поле. Идея использования материальных поглощающих граничных условий была изложена достаточно давно [35]. Однако, первые поглощающие граничные условия не обеспечивали достаточно малого коэффициента отражения от границы, поскольку характеристический импеданс материальной границы был согласован с импедансом вакуума только при нормальном падении волны.
Использование материальных поглощающих граничных условий получило новый толчок в 1994 году, когда был создан идеально согласованный слой (ИСС — в латинском сокращении PML — Perfectly Matched Layer), изначально описанный в работе [3]. Во многих работах, таких как [36]-[38], было показано, что подход, использующий ИСС, дает значительно более высокую точность, чем другие поглощающие граничные условия, поэтому этот подход со временем стал считаться своеобразным «золотым стандартом», с которым принято сравнивать все другие подходы. Метод разбиения компонент поля, изначально используемый для построения идеально согласованной среды (ИСС), можно рассматривать как имеющий исключительно математический смысл, и не имеющий никакого соответствия физическому миру. Однако, в работе [36] ИСС была получена с помощью продолжения функций, описывающих поле, в комплексную плоскость. В работе [39] ИСС вводится как анизотропный активный материал, что привело к разработке методов работы с ИСС, не требующих разбиения компонент поля. Хотя идеально согласованная среда считается физически не реализуемой, в работах [40], [41] была физически реализована среда, имеющая характеристики, аналогичные ИСС. В оригинальной работе Беренджера для взятия производных по пространственным переменным использовалась операция экспоненциального дифференцирования. В работах [42], [43] поставлена под сомнение целесообразность использования этого вида дифференцирования. В работе [44] проведено строгое сравнение экспоненциального и обыкновенного дифференцирования. Устойчивость методики ИСС исследовалась, в частности, в работах [45]-[47]. Методика ИСС совершенствовалась рядом способов, так что ее применение стало возможным на сетках различной структуры. Например, в работах [48]-[50] методика ИСС применяется на неортогональных сетках, в работе [51] методика ИСС реализована для цилиндрической геометрии, а в работе [52] была предложена схема в цилиндрических и сферических координатах. Изначальная реализация идеально согласованного слоя допускала лишь поглощение распространяющихся волн. Модифицированные варианты методики ИСС допускают также поглощение энергии [53]-[56].
Рассмотрим недостатки перечисленных подходов к построению краевых условий на границе расчетной области в контексте их использования в численном моделировании.
Поскольку интегральный подход по определению не является локальным, с вычислительной точки зрения он является не экономичным.
Теоретически на основе локального подхода можно построить поглощающие граничные условия любого порядка, чтобы добиться произвольно высокой точности. Однако, на практике, построение локальных поглощающих граничных условий затрудняется явлениями неустойчивости. Кроме этого, следует отметить сложность самих моделей, реализующих эти граничные условия. В работе [57] был предложен метод стабилизации поглощающих граничных условий Лиао, хотя его реализация оказалась машинно-зависимой. В 1987 г. в работе Хигдона [34] был введен диссипативный член, управляющий устойчивостью поглощающих условий. Граничные условия Хигдона затем исследовались в работах [58], [59]. Добившись устойчивых поглощающих условий Хигдона пятого порядка, Ву и Фанг [60] использовали их в качестве нагрузки волновода и показали, что этот тип граничных условий действовал аналогично 16-слойному идеально согласованному слою (хотя они заключили, что методика ИСС в общем случае ведет себя более надежно).
Не раз отмечалось, что на практике действие поглощающих граничных условий высокого порядка не согласуется с теорией. В работе [61] такое отклонение было приписано тому факту, что в теоретическом анализе граничных условий использовалось волновое число в континуальном случае, а не дискретное его выражение на сетке. В этой же работе был проведен анализ граничных условий с сеточным аналогом волнового числа. В тех случаях, когда скорость распространения волн является функцией частоты, например в случае установки в волноводе или микрополосковой линии согласованной нагрузки, традиционные поглощающие граничные условия, предполагающие постоянную скорость распространения, работают плохо. Чтобы преодолеть этот недостаток, в некоторых работах были предложены рассеивающие граничные условия [62]-[67]. В работах [66], [67] проведено сравнение результатов, полученных с применением рассеивающих граничных условий, и результатов, полученных с использованием ИСС. В 1992 г. Мэй и Фанг [68] предложили методику сверхпоглощения, которая может быть применена ко многим поглощающим граничным условиям для улучшения их поглощающих свойств. В этой методике поглощающие граничные условия используются как в узлах, расположенных вдоль границы расчетной области, так и во внутренних узлах сетки, примыкающих к границе. В работе [69] была представлена схема завершения сетки, использующая два комплементарных граничных оператора, коэффициенты отражения которых были тождественно противоположными. Таким образом, ошибки, связанные с отражением от поглощающих граничных условий, могут быть сглажены либо посредством проведения двух отдельных модельных расчетов, как предлагалось изначально, либо путем использования этих двух комплементарных операторов одновременно в одном и том же расчете по модели [70]. В работе [71] показано, что качество этой схемы сравнимо или превосходит качество ИСС. Несколько исследований посвящены сравнению точности различных поглощающих граничных условий. В недавних работах [72], [73] проведено сравнение традиционных поглощающих граничных условий с методикой ИСС.
Идеально согласованный слой на самом деле является «идеальным» только в непрерывном случае. Реализованный в дискретной форме он не является идеальным, в том числе и по причине отнесения электрических и магнитных компонент поля к различным элементам сетки при написании разностных схем, — соответственно к ребрам и центрам ячеек. Это означает, что на передней и задней границах ИСС коэффициент отражения не равен нулю, что влечет за собой потерю точности. Отражение от задней границы также зависит от граничных условий, завершающих ИСС. Вычислительные ошибки при расчетах с ИСС были исследованы в работах [74]-[79]. Кроме этого, ИСС имеет толщину несколько ячеек, что увеличивает размеры расчетной области, и в больших задачах такое увеличение может оказаться существенным. Поскольку применение сеточных шаблонов в идеально согласованной среде требует большего числа арифметических операций, чем использование обычных сеточных шаблонов, временные затраты на вычисления с ИСС также увеличиваются. Следует также отметить, что разбиение компонент полей ведет к увеличению объема используемой оперативной памяти.
И, наконец, общий недостаток локальных и материальных поглощающих граничных условий (в большей или меньшей степени) состоит в том, что они должны находиться на некотором (болыпем — в случае локальных условий, и меньшем — в случае.
ИСС) удалении от исследуемого объекта в задачах моделирования электромагнитных полей.
Биологическое воздействие электромагнитных полей. Описанные выше методики построения граничных условий используются для решения задач моделирования электромагнитных полей в открытом пространстве. В этот широкий круг задач входят, в частности, задачи, связанные с моделированием биологического воздействия электромагнитных полей, которые рассматриваются в настоящей работе. Тепловой эффект электромагнитных полей, производимый на человеческое тело, описывается, так называемым, уровнем специфического поглощения (УСП), измеряемым в Вт/кг массы человеческого тела. Допустимый ток через тело определяет максимальную напряженность поля, воздействию которой данное лицо может быть подвергнуто. Для установления допустимого максимального значения, при котором исключено вредное действие на здоровье, была введена специфическая энергия, которая имеет своим результатом повышение температуры на 1 градус Цельсия 1 кг ткани человеческого тела. Такой прилив энергии нейтрализуется без проблем здоровым человеком путем циркуляции крови и, таким образом, не имеет действия на весь организм. Эксперименты дали четкое значение УСП, составляющее 4 Вт/кг. Для безопасности допустимый уровень специфического поглощения уменьшается в 10 раз для ограниченного во времени воздействия вплоть до 6 часов и уменьшается в 50 раз в случае продолжительного воздействия на человека [80]. Это значение является также безопасным для физически слабых людей. Основываясь на экспериментах и на опыте, имеющемся в этой области, используя именно эти коэффициенты, было сделано все необходимое для человека, чтобы оставаться в электромагнитном поле без риска для здоровья. Дополнительная определенность в этом вопросе вносится приблизительно 40-летним использованием радиочастотной терапии, которая использует ИР-облучение для лечения болезней циркуляции при различных недомоганиях. Такое лечение всегда финансировалось медицинской страховкой, и любой вид возрастающих затрат был бы немедленно зафиксирован или хотя бы документально оформлен. Несомненно, что любой распознаваемый вред немедленно привел бы к определенным последствиям (завершению или запрещению этого вида терапии). Однако, ничего подобного не случилось.
Значения для УСП и для тока через человеческое тело рассматриваются в качестве, так называемых, «основных ограничений». Их следует придерживаться во всех случаях, но они не поддаются каким-либо простым техническим измерениям. Напряженности полей выводятся, исходя из этих значений, и называются «эквивалентными напряженностями полей». Значения эквивалентной напряженности поля зависят от частоты и от средних размеров тела конкретного человека. Это ведет к минимизации допустимой эквивалентной напряженности поля в широком диапазоне частот от 10МГц до 400 МГц, при котором размер человеческого тела порядка длины волны, и в этом случае человек становится способным к резонансу.
Публичное обсуждение предполагаемой опасности электромагнитной энергии инициировало проведение новых исследований и измерений в этой области [81]-[90]. Не претендуя на полноту, перечислим некоторые научно-исследовательские разработки в области био-электромагнитной совместимости. В компании Schmid & Partner Engineering AG была разработана измерительная система DASY3 [88], используемая для измерения УСП в ближней зоне от излучателя, и оборудованная специальным зондом для измерения напряженности электрического поля [89]. Однако, подобные измерения могут проводиться лишь в условиях микроволновых камер, и являются дорогостоящими. Поэтому в решении задач моделирования биологического воздействия электромагнитных полей, целесообразно использовать численные методы. Причем, как показывают исследования [83], результаты вычислительного эксперимента, полученные с использованием конечно-разностных методик, неплохо согласуются с экспериментальными данными, полученными в лабораторных условиях.
Изложенные выше методики постановки граничных условий, в частности, подход на основе материального поглотителя и дифференциальный подход, реализованы в наиболее широко используемом для электромагнитных расчетов (в том числе и с биологическими объектами) программном комплексе XFDTD компании Remcom, Inc., который позволяет проводить расчеты во временной области[19].
Следует отметить, что исследование теплового воздействия электромагнитных полей полностью не решает проблемы электромагнитной безопасности. Остается актуальной постановка задач, которые внесут свой вклад в решение еще нерешенных проблем [80], например вопроса: имеются ли еще какие-либо воздействия, кроме тепловых, вызванные электромагнитной энергией, уровень которых намного ниже ограничений на тепловую опасность? До сих пор остается без ответа вопрос о действии амплитудной модуляции на биологические системы, хотя это часто было причиной для различных подозрений.
Содержание работы. В работе основное внимание уделяется разработке локальных итерационных методов постановки граничных условий для уравнений электромагнитного поля, обеспечивающих высокую точность решения даже в том случае, когда граница находится на близком расстоянии от исследуемого объекта. Задача решается для монохроматических полей, в том числе с использованием поглощающих идеально согласованных слоев (ИСС) [3]. Конечно-разностная аппроксимация уравнений электромагнитного поля приводит к системе линейных уравнений с разреженной матрицей, которая решается локально оптимальным методом сопряженных невязок с комплексной матрицей, специально построенным по методу, изложенному в работе [91].
В первой главе приведена постановка задачи о моделировании высокочастотных электромагнитных полей внутри помещений, построены разностные схемы и локально оптимальный метод для решения возникающих сеточных уравнений. Специальное внимание уделено упрощению структуры граничных условий в контексте будущего использования построенных разностных схем в итерационном алгоритме.
В параграфе 1 приведена постановка задачи в дифференциальной форме для трехмерного и двухмерного случаев.
Изложена методика идеально согласованного слоя в двухмерном случае, адаптированная для монохроматических полей, которая до этого применялась, главным образом, во временной области [3].
В параграфе 2 построены разностные схемы для трехмерной задачи и для двухмерной задачи в идеально согласованной среде. В разностных схемах используется простейший вид граничных условий.
В этом же параграфе описаны некоторые особенности конечно-разностной реализации поглощающего идеально согласованного слоя.
Построенные разностные схемы сводятся к решению системы линейных уравнений с разреженной матрицей, содержащей комплексные элементы. В параграфе 3 построен локально оптимальный метод сопряженных невязок с исправлением ошибок округления для решения системы линейных уравнений с комплексной матрицей по аналогии с методикой, изложенной в [91].
Вторая глава посвящена разработке итерационных методик постановки граничных условий на примере решения задачи о распределении монохроматического электромагнитного поля внутри помещений. Построен новый итерационный алгоритм расчета напряженности поля на некотором малом удалении от внешней границы стен помещения, который за малое число итераций позволяет получить установившиеся значения напряженности поля как внутри рассматриваемого помещения, так и на ограничивающих его диэлектрических стенках.
Также в этой главе построен модифицированный алгоритм, использующий поглощающие идеально согласованные слои. В блок-схемах отражены структура и этапы основного и модифицированного алгоритмов.
В параграфе 1 дается физическое обоснование алгоритма. Рассматриваются значения напряженности поля на границе в приближении, что все источники внутри расчетной области являются диполями. Источники могут быть основными (электромагнитные устройства) и вторичными (поляризованные диэлектрики, наведенные токи). Для того, чтобы выполнялось условие дипольного излучения, вторичные источники, такие как стены зданий, диэлектрические конструкции микросхем и плат, биологические объекты, разбиваются на элементы (например, ячейки разностной сетки), обладающие дипольными моментами, в силу наличия внутри этих элементов некоторого поля, являющегося результатом действия основных источников.
В параграфе 2 сформулирована основная идея алгоритма, выраженная в трех основных его этапах, изложенных на примере поставленной в предыдущей главе задачи.
Далее в этом же параграфе дано описание методики формирования граничных условий на каждой итерации алгоритма путем суммирования вклада основных источников и вклада каждого элемента объема диэлектрика в дипольном приближении, согласно изложенной физической концепции.
Использование поглощающих идеально согласованных слоев в построенном алгоритме описано в параграфе 3, где изложен модифицированный алгоритм постановки граничных условий. В заключении главы дано описание методики формирования граничных условий на каждой итерации модифицированного алгоритма путем суммирования вклада основных источников и вклада каждого элемента объема диэлектрика и идеально согласованного слоя в дипольном приближении.
В третьей главе приведены результаты расчетов в двухмерном и в трехмерном случае.
В параграфе 1 на примере численного решения двухмерной модельной задачи проведено исследование процесса установления значений напряженности электромагнитного поля для различных начальных приближений в итерационном процессе при непосредственном применении итерационного алгоритма. Также было исследовано поведение алгоритма при варьировании параметра г, характеризующего расстояние от исследуемого объекта до границы расчетной области. При различных значениях параметра г были получены близкие разностные решения уравнений электромагнитного поля, что может служить критерием правильной работы алгоритма.
В параграфе 2 на примере численного решения двухмерной модельной задачи проведено исследование процесса установления значений напряженности электромагнитного поля для различных начальных приближений в итерационном процессе при использовании модифицированного алгоритма. На основе вычислительного эксперимента проведено исследование точности решения, полученного по модифицированному алгоритму в сравнении с аналитическим решением и решением, полученным в результате непосредственного использования поглощающего идеально согласованного слоя при дипольном излучении в свободном пространстве. Также было исследовано поведение модифицированного алгоритма при варьировании параметра г, который в данном случае характеризует расстояние от источника излучения до границы расчетной области. Вычислительные эксперименты показали, что для различных размеров расчетной области получаются близкие разностные решения уравнений электромагнитного поля в идеально согласованной среде по модифицированному алгоритму, что может служить критерием правильной работы модифицированного алгоритма.
В параграфе 3 описаны некоторые вынужденные методики, используемые при решении двухмерных задач.
В параграфе 4 на примере численного решения модельной задачи проведено исследование процесса установления значений напряженности электромагнитного поля для различных начальных приближений в итерационном процессе при непосредственном применении итерационного алгоритма в трехмерном случае.
В параграфе 5 построена методика представления дипольной антенны в виде комбинации излучающих диполей, что позволило применить разработанный итерационный алгоритм постановки граничных условий в том случае, когда в расчетной области находятся не только диэлектрические структуры, но и проводники с поверхностными токами.
Далее на основе вычислительного эксперимента было проведено исследование воздействия электромагнитного поля, создаваемого реальной дипольной антенной, на биологические ткани. Для этого была использована каноническая модель слоистого шара с потерями. Шар представляет собой грубую аппроксимацию человеческой головы. Материал внешней оболочки шара имеет электромагнитные и физические свойства костной ткани. Внутренняя часть шара заполнена веществом с электромагнитными и физическими свойствами головного мозга.
Электромагнитное поле, действующее на шар, создается дипольной антенной, возбуждаемой от источника напряжения и служащей грубым приближением антенны мобильного радиотелефона. Расчеты проводились по итерационной методике, построенной в Главе 2.
Проведено сравнение полученных показателей уровня специфического поглощения, характеризующего тепловое воздействие электромагнитных полей на живые ткани, с соответствующими европейскими нормами в области биоэлектромагнитной совместимости [80].
В параграфе 6 дано краткое описание и проведена демонстрация возможностей программного комплекса, реализующего построенные модели.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту, а также сделаны итоговые выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В диссертации решена задача математического моделирования высокочастотного электромагнитного поля в физически замкнутых объемах (в помещениях, биологических структурах и т. д.).
Получены следующие результаты:
1. Разработаны математическая модель, вычислительный алгоритм и программный комплекс для определения напряженности высокочастотного электромагнитного поля в помещениях.
2. Разработан новый итерационный алгоритм постановки краевых условий. Он не требует специальных уравнений, описывающих краевые условия, и обеспечивает высокую точность решения, даже если граничные условия ставятся на расстоянии от исследуемого объекта, значительно меньшем, чем при применении других известных методик.
3. Построен модифицированный итерационный алгоритм, использующий поглощающие идеально согласованные слои и обладающий повышенной точностью.
4. Проведена серия вычислительных экспериментов, на основе которых было исследовано биологическое воздействие электромагнитных полей, обоснована надежность результатов вычислительных экспериментов, показана эффективность построенных алгоритмов и выявлены их преимущества по сравнению с общепринятыми методиками.
Проведенные методом вычислительного эксперимента исследования позволяют сделать следующие выводы.
Разработанные вычислительные алгоритмы и созданный на их основе программный комплекс можно использовать для компьютерного моделирования ЭМС и био-ЭМС внутри жилых комнат и промышленных помещений, а также для исследования электромагнитной безопасности приборов и устройств (например, излучающие антенны), создающих электромагнитные поля, заменяя непосредственные измерения высокочастотных электромагнитных полей в условиях недоступности исследуемых объектов (как например, в случае исследования теплового воздействия электромагнитного поля на головной мозг и другие человеческие органы).
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику A.A. Самарскому за постоянный интерес, проявляемый к работе, а также научному руководителю профессору В. Ф. Тишкину за постановку задачи, организацию работы и помощь в проводимых исследованиях.
