Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования процессов кристаллизации

Развитие физики твердого тела характеризуется все возрастающим вниманием исследователей к изучению структурных и концентрационных несовершенств реальных кристаллических материалов, имеющих различную физическую природу и различные пространственные масштабы.

За последние годы рост монокристаллов приобрел исключительно важное значение, как в области академических исследований, так и в промышленности. Развитие радиоэлектроники, космонавтики, атомной энергетики, а также других новых областей техники невозможно без использования кристаллов вообще и монокристаллов (как наиболее совершенных объектов неживой природы) в особенности. Это весьма остро поставило вопрос об исследовании процессов кристаллизации и создании методов получения кристаллов со специальными физическими свойствами.

Выращивание кристаллов, до недавнего времени зависевшее в значительной мере от изобретательности и мастерства технолога, за последние годы сделало большой шаг вперед. Современные установки позволяют получать бездислокационные кристаллы значительных размеров. Эти успехи стали возможными благодаря более глубокому пониманию явлений, протекающих при фазовом переходе. Не последнюю роль в этом играет математическое моделирование таких процессов, проясняющее суть сложного механизма кристаллизационного процесса, как совокупности большого числа взаимосвязанных физико-химических явлений.

1. Физические аспекты процесса кристаллизации.

Остановимся более подробно на описании физических аспектов изучаемого явления. Подробный анализ процессов кристаллизации, приведен в работе [22], выдержка из которой послужит кратким обзором возможных механизмов фазовых переходов.

Кристаллизация — процесс образования кристаллов из паров, растворов, расплавов, из вещества в другом кристаллическом или аморфном состоянии. Кристаллизация начинается при достижении некоторого предельного условия, например, переохлаждения жидкости или пересыщения пара, когда практически мгновенно возникает множество мелких кристалликовцентров кристаллизации. Кристаллики растут, присоединяя атомы или молекулы из жидкости или пара. Рост граней кристалла происходит послойно, края незавершенных атомных слоев (ступени) при росте движутся вдоль грани. Зависимость скорости роста от условий кристаллизации приводит к разнообразию форм роста и структуры кристаллов (многогранные, пластинчатые, игольчатые, скелетные, дендритные и другие формы, карандашные структуры и так далее). В процессе кристаллизации неизбежно возникают различные дефекты" .

Следует отметить, что в термодинамическом аспекте могут быть фазовые переходы двух типов:

1) Фазовые переходы первого рода — фазовые превращения, при которых плотность вещества, термодинамические потенциалы, энергия, свободная энергия, энтропия меняются скачком. При реализации таких переходов выделяется или поглощается определенная теплота фазового превращения. В качестве примеров фазовых переходов первого рода можно указать изменение агрегатного состояния вещества (в частности, кристаллизацию) и превращение одной кристаллической модификации в другую.

2) Фазовые переходы второго рода, при которых все термодинамические функции непрерывны, но теплоемкость, сжимаемость и объемный коэффициент термического расширения изменяются скачком. В этом случае теплота фазового перехода равна нулю. Примером подобных фазовых переходов является, например, превращение ферромагнетика в парамагнетик.

Для наших целей важно, что возможность реализации метастабильных состояний (то есть существования фазы в условиях, при которых более устойчива иная фаза) характерна лишь для фазовых переходов первого рода.

Таким образом, движущей силой фазового превращения является разность свободных энергий сосуществующих в метастабильном состоянии фаз.

Одной из важных задач современной теории роста кристаллов является установление устойчивых форм роста кристаллов в различных условиях. При определенных условиях фронт кристаллизации оказывается неустойчивым. Это явление весьма важно, в частности, потому, что многие особенности структуры кристалла определяются именно морфологией границы раздела фаз при его формировании. Нарушение устойчивости фронта кристаллизации вследствие независимого зарождения кристаллов в объеме переохлажденного расплава перед ним или в результате выбрасывания дендритов естественно отражается на конечной структуре кристалла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе «Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования процессов кристаллизации» представлены следующие оригинальные результаты.

1. Исследовано условие Стефана и доказана его эквивалентность условию Гюгонио для уравнений газовой динамики, что позволяет не учитывать это условие при решении задачи Стефана.

2. Обосновано использование метода Галеркина для решения задачи Стефана. Доказана его сходимость к регулярному функциональному решению задачи Стефана.

3. Построено точное решение задачи Стефана для двумерного случая. Точное решение необходимо для тестирования программ, реализующих алгоритмы нахождения численного решения задачи.

4. Построена новая математическая модель для точного восстановления границы фазового перехода и проведено обоснование ее математической корректности. Информация о форме и положении границы фазового перехода является очень важной для управления технологическим процессом выращивания кристаллов в космосе.

5. Обоснован численный метод отыскания границы фазового перехода на основе метода Галеркина. Доказана его сходимость к регулярному функциональному решению задачи.

6. Построена новая математическая модель кристаллизации в объеме переохлажденного расплава, основанная на кинетическом подходе. Доказана математическая корректность предложенной модели.