Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем

Последовательный анализ является основным методом сокращения объема наблюдений при проведении статистического эксперимента. В рамках различения двух гипотез проблема оптимизации объема наблюдений обычно ставится следующим образом. Проверяемые гипотезы разделяются областью безразличия, и рассматривается класс последовательных критериев, гарантирующий заданные ограничения на вероятности ошибок I и II рода. В этом классе ищется критерий, минимизирующий среднее значение объема наблюдений при ряде фиксированных значений тестируемого параметра или минимизирующий наибольшее значение среднего объема наблюдений по всему параметрическому пространству (проблема Кифера-Вейса).

С точки зрения практики существующие последовательные гарантийные критерии обладают двумя недостатками: среднее значение объема выборки при значении параметра в области безразличия может принимать бесконечное значение, выбор области безразличия всегда составляет тяжелую проблему в практических применениях. Естественно было бы убрать область безразличия и ограничить сверху среднее число наблюдений. В связи с этим в диссертации рассматривается следующая постановка проблемы последовательной проверки гипотез. Рассматривается простая нулевая гипотеза в = ПРИ сложной альтернативе, не обязательно отграниченной от во, а также класс последовательных критериев заданного уровня а, средний объем наблюдений которых ограничен сверху заданным числом 1Ж. В этом классе ищется локально наиболее мощный критерий — критерий, максимизирующий производную функции мощности в точке во. Естественно, при наличии некоторого монотонного относительно некоторой статистики отношения правдоподобия такой критерий является равномерно наиболее мощным среди всех критериев уровня, а с ограниченным средним объемом выборки. Актуальность такого рода постановки для задач последовательного различения гипотез впервые, по-видимому, рассматривалась Дж. Эй-брехемом в его диссертации (1969) [13] и получила дальнейшее развитие в работе Р. Берка (1975) [15]- распространение этих результатов на последовательно планируемый метод содержится в монографии Н. Шмитца (1993) [33]. Во всех цитируемых работах рассматривался только случай наблюдений последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин (простой случайной выборки). В диссертации рассматривается более общий случай проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем и локально наиболее мощные последовательные критерии строятся при более слабых ограничениях на вероятностную модель. В качестве примеров рассматриваются локально наиболее мощные последовательные критерии для процессов Маркова, процесса авторегрессии А11(1), периодических и конечно-нестационарных процессов с дискретным временем.

Другая проблема, которая рассматривается в диссертации, — это построение локально наиболее мощного критерии проверки той же простой гипотезы, но для многомерного параметра в, когда класс альтернатив определяется некоторым конусом в параметрическом пространстве с вершиной в точке во. Строятся локально наиболее мощные критерии в особой максиминной постановке: максимизируется производная мощности по направлению наименьшего роста мощности.

Цели диссертационной работы следующие:

1. Характеризация структуры локально наиболее мощного последовательного критерия для случайного процесса с дискретным временем в общем случае. Разработка алгоритма построения такого критерия.

2. Построение локально наиболее мощного последовательного критерия для случайного процесса с дискретным временем в случае независимых наблюдений.

3. Разработка методов построения локально наиболее мощного критерия в случае многомерного параметра.

Основным методом, используемым в диссертации, является метод, впервые примененный Ан. А. Новиковым [26] для характеризации структуры последовательного критерия проверки простой гипотезы при простой альтернативе, идея которого заключается в рассмотрении задачи построения оптимального в том или ином смысле критерия как задачи оптимизации. В диссертации задача построения локально наиболее мощного последовательного критерия (ф, ф) представляет из себя задачу оптимизации с производной функции мощности критерия в точке 9 = 9о в качестве целевой функции и ограничениями на средний объем выборки и вероятность ошибки первого рода в качестве ограничений типа неравенств. Для такой задачи составляется «функция Лагранжа» и показывается, что пара (/0, ф), доставляющая минимум «функции Лагранжа», является оптимальной в смысле максимизации производной функции мощности в 9 = 9о среди всех пар (ф', ф'), удовлетворяющих указанным ограничениям на средний объем наблюдений и вероятность ошибки первого рода. При этом нахождение пары функций (¦*/>, ф), доставляющей минимум «функции Лагранжа», оказывается возможным без привлечения вариационных методов. Основные результаты работы следующие:

1. Получена структура локально наиболее мощного последовательного критерия в общем случае (в случае зависимых наблюдений). Разработан алгоритм построения такого критерия.

2. Построен локально наиболее мощный последовательный критерий для независимых наблюдений.

3. Построен локально наиболее мощный последовательный критерий для марковских процессов с дискретным временем.

4. Приводятся неравенства, связывающие производную функции мощности критерия с другими характеристиками критерия: средним объемом наблюдений и вероятностью ошибки первого рода.

5. Введено понятие критерия, локально максиминного по направлениям, обобщения понятия локально наиболее мощного критерия на случай многомерного параметра — и получен его вид.

6. Построен асимптотический критерий, локально максимнный по направлениям, и доказано свойство асимптотической оптимальности такого критерия.

В совместной работе [27] соавтору принадлежит постановка задачи. Все остальные результаты работы [27] получены автором самостоятельно.

Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при построении локально наиболее мощных последовательных критериев. Такие критерии, в свою очередь, могут находить приложения в таких областях, как обработка радиосигналов, обработка изображений, клинических исследованиях фармацевтических препаратов и других областях науки и практики.

Результаты настоящей диссертации докладывались на международной конференции «Prague Stochastics» (2006 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики МГУ под руководством В. Ю. Королева (2009 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики КФУ под руководством И. Н. Володина (2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10] и [27].

Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих семнадцать параграфов, и изложена на ста четырех страницах.

Список литературы

содержит тридцать девять наименований, включая работы автора.

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука. — 1977.. — 352 с.

2. Боровков А. А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, издательство института математики. — 1997. — 772 с.

3. Володин И. Н. Гарантийные процедуры статистического вывода (определение объема выборки). В сб.: Исследования по прикладной математике. 10. — 1984. — с. 13−53.

4. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки в критериях инвариантности. Теория вероятностей и ее применения. 25(2).- 1980. с. 359−364.

5. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки и эффективность процедур статистического вывода. Теория вероятностей и ее применения. 24(1). — 1979. — с. 119−129.

6. Володин И. Н. Нижние границы для среднего объема выборки в критериях согласия и однородности. Теория вероятностей и ее применения.- 24(3). 1979. — с. 637−645.

7. Де-Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир. -1974.

8. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука. — 1979. — 528 с.

9. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. — 1979. -408 с.

10. Новиков П. А. Локально наиболее мощные последовательные критерии для марковских процессов с дискретным временем. Теория вероятностей и ее применения. 2010. — 55(2). — с. 369−372.

11. Рокафеллер Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. — 1973. — 470 с.

12. Русас Дж. Контигуальность вероятностных мер. Применения к статистике. М.: Мир. — 1975. — 254 с.

13. Abraham J. К. The local power of sequential tests subject to an expected sample size restriction. Unpublished Stanford technical report. — 1969.

14. Bahadur R. R. An optimal property of the likelihood ratio statistic. Proceedings of the fifth Berkeley symposium on mathematical statistics and probability (1965/66) I University of California Press, Berkeley. — 1967. — P. 13−26.

15. Berk R. H. Locally most powerful sequential tests. Annals of Statistics. -3. 1975. — P. 373−381.

16. Ghosh M., Mukhopadhyay N., Sen P. K. Sequential Estimation. New York: Wiley. — 1997.

17. Ferguson T. S. Mathematical Statistics: a Decision Theoretic Approach. -New York: Academic Press. 1967.

18. Irle A. Sequentialanalyse. Optimale sequentielle Tests. Stuttgart: Teubner. — 1990.

19. Liu Y., Blostein D. Optimality of the sequential probability ratio tests for nonstationary observations. IEEE transactions on information theory. -28. 1992. — P. 177−182.

20. Le Cam L. Locally asymptotically normal families of distributions. University of California publications in statistics. 3. — 1960. — P. 37−98.

21. Muller-Funk U. Mathematical Programming and Optimal Stopping in Sequential Testing Theory. Habilitatonsschrift. — Universitat Freiburg. — 1986.

22. Muller-Funk U., Pukelsheim F., Witting H. Locally most powerful tests for two-sided hypotheses. In: Probability and statisitcal decision theory. Vol. A (Bad Tatzmannsdorg, 1983). — P. 31−56. — Dordrecht: Reidel. — 1985.

23. Novikov A. Asymptotic optimality of two-stage hypotheses tests. Aportaciones Matematicas, Serie Comunicaciones. 35. — 2005. — P. 37−43.

24. Novikov A. Optimal sequential tests for two simple hypotheses based on independent observations. International journal of pure and applied mathematics. 2008. — 45(2). — P. 291−314.

25. Novikov A. Optimal sequential tests for two simple hypotheses. Sequential analysis. 2009. — 28(2). — P. 188−217.

26. Novikov A., Novikov P. Locally most powerful sequential tests of a simple hypothesis vs. one-sided alternatives. Journal of Statistical Planning and Inference. 2010. — 140(3). — P. 750−765.

27. Roters M. Locally most powerful sequential tests for processes of the exponential class with stationary and independent increments. Metrika.- 39. 1992. — P. 177−183.

28. Roters M. Locally Most Powerful Sequentially Planned Tests in Continuous Time. Sequential Analysis. 25(4). — 2006. — P. 365−378.

29. Tsai M.-T. M., Sen P. K. On the local optimality of optimal linear tests for restricted alternatives. Statistica Sinica. 3. — 1993. — P. 103−115.

30. Schaafsma W., Smid L. J. Most stringent somewhere most powerful tests against alternatives restricted by a number of linear inequalities. Annals of Mathematical Statistics. 37(5). — 1966. — P. 1161−1172.

31. Schmitz N. Optimal sequentially planned decision procedures. Lecture notes in statistics 79. New York: Springer-Verlag. — 1993.

32. Shi N. Z. Testing a normal mean vector against the alternative determined by a convex cone. Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. 41. — 1987. — P. 133−145.

33. Shi N. Z., Kudo A. The most stringent somewhere most powerful one-sided test of the multivariate normal mean. Math. Centre Tracts. 29. — 1987. -P. 303−328.

34. Stein C. A note on cumulative sums. Annals of Mathematical Statistics. -17. 1946. — P. 498−499.37. van der Vaart A. W. Asymptotic Statisitcs. Cambridge University Press.- 1998.

35. Wald A., Wolfowitz J. Optimum character of the sequential probability ration test. Annals of Mathematical Statistics. 19. — 1948. — P. 326−339.

36. Wald A. Statistical Decision Functions. New York: Wiley. — 1950.