Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов

Актуальность темы

Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.

При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.

Теория уплотняющих отображений представляет собой теорию операторов, свойства которых можно охарактеризовать как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений. Впервые операторы такого типа были рассмотрены в работах М. А. Красносельского [28] и С. БагЬо [39].

Теория мер некомпактности и уплотняющих операторов нашла различные применения в общей топологии, обыкновенных дифференциальных уравнениях, функционально-дифференциальных уравнениях, уравнениях в частных производных, теории экстремумов функционалов и так далее.

Существенное место в теории уплотняющих отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

Свойства мер некомпактности изучались К. Куратовским, А. АтЬго-веи1, М. Рип, А.^поН, 11.0. МизэЬаит, Б. Н. Садовским, Ю. Г. Борисовичем, Ю. И. Сапроновым и многими другими.

Мера некомпактности, а была впервые рассмотрена К. Куратовским [48] (см. также [30]), а мера некомнактности х впервые использовалась в работах Л .С. Гольденштейна, И. Ц. Гохберга и A.C. Маркуса [19], [20] и в работе Б. Н. Садовского [32].

Общее определение меры некомпактности предложено Б. Н. Садовским в [33], [36]. Там же изучен ряд примеров мер некомпактности в локально выпуклых пространствах. Ю. Г. Борисович и Ю. И. Сапронов [11] предложили иное общее определение. Интересные результаты, относящиеся к общему определению меры некомпактности, получены В. А. Бондаренко [7].

Понятие (к,^{-ограниченного} оператора введено и изучено G. Darbo [39] (под названием «k-set-contraction»). Б. Н. Садовским введено понятие х-уплотняющего оператора [32] и общее определение уплотняющего оператора [33]. М. Furi и А. Vignoli ввели понятие а-уплотняющего оператора в метрическом пространстве [42].

Различные примеры уплотняющих операторов, связанных с дифференциальными уравнениями, изучены А. Ambrosetti [37], [38], Б. Н. Садовским [34], [35] (см. также [1], [6], [31]), П. П. Забрейко и И. Б. Дедовской [22], В. М. Герштейном [18], R.D. Nussbaum [49], [50].

В Воронеже изучение уплотняющих отображений было начато работой Б. Н. Садовского [32] в 1967 г. В дальнейшем изучением уплотняющих отображений в Воронеже занимались Б. Н. Садовский. Ю. Г. Борисович, Ю. И. Сапронов. Р. Р. Ахмеров, А. Е. Родкина, A.C. Потапов, М. И. Каменский, В. В. Обуховский и многие другие.

В результате изучения уплотняющих отображений были опубликованы монографии [4] и несколько обзоров [3]. [5]. В 1980 г. был опубликован обзор Б. Н. Садовского «Уплотняющие операторы», который в библиографии содержал 426 источников.

Отметим также работы, связанные с обобщением понятия уплотняющего отображения на случай многозначных отображений. В Воронеже изучением таких отображений занимались В. В. Обуховский, его ученики и М. И. Каменский. Эти работы были подытожены в монографии В. В. Обуховского, М. И. Каменского и Р. Zecca [47].

В 70-х годах прошлого века появились работы, посвященные изучению уплотняющих возмущений некоторых непрерывных однозначных отображений. Этим вопросам были посвящены работы G. Hetzer, Ю. Г. Борисовича, В. Т. Дмитриенко, В. Г. Звягина (см., например [8], [9], [21], [44], [45]). В них изучалась гомотопическая классификация таких возмущений и на этой основе строились новые топологические инварианты. Отметим работу [44] (и другие работы этого автора) в которой изучались возмущения, у которых главной частью являлся линейный фредгольмов оператор.

С другой стороны, в 1997 г. появилась работа В. Ricceri [51], посвященная изучению компактных возмущений линейных непрерывных сюръек-тивных операторов. В дальнейшем в работах Б. Д. Гельмана рассматривались липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и рассмотрены приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений [12], [13], [16].

Естественно возникает идея изучить уравнения, главной частью которых является замкнутый линейный сюръективный оператор А. а отображение / является уплотняющим относительно этого оператора. Заметим также, что в этом случае гомотопическая классификация, построенная в работах [8], [9], [21], [44], [45], оказывается неприменимой. Изучению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы. Целью данной работы является изучение разрешимости операторных уравнений вида А (х) = /(х) в банаховых пространствах, где, А — линейный сюръективный оператор (главная часть), а / - уплотняющее отображение относительно главной части, и применение доказанных теорем к изучению разрешимости некоторых новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Определена и изучена мера некомпактности в банаховом пространстве индуцированная линейным непрерывным оператором.

2. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръективных операторов.

3. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный непрерывный сюръективный оператор. Получены приложения доказываемых теорем к проблеме существования решений задачи Коши для дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной.

4. Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных замкнутых сюръективных операторов.

5. Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный замкнутый сюръективный оператор.

6. Опираясь на доказанные теоремы, исследованы новые классы задач для вырожденных дифференциальных уравнений и уравнений нейтрального типа.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по итогам работы за 2011 г. в Воронежском государственном педагогическом университете, в Воронежских зимних математических школах (2012 г., 2013 г.), на семинаре профессора В.В. Обу-ховского в Воронежском государственном педагогическом университете (2013 г.).

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [2], [17], [23], [24], [25], [26], [43]. Работы [17], [23] опубликованы в российских журналах, входящих в список ВАК Мино-брнауки России рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Все результаты включенные в диссертацию из совместных работ [17], [43] получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 51 наименование. Объем работы составляет 91 страницу текста.

1. Аверина J1.M., Садовский Б. Н. О локальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа/ Л. М. Аверина, Б.Н. Садовский// Труды матем. ф-та, Воронеж, ВГУ. — 1971. — Вып.З. — С. 1−12.

2. Афонина (Калабухова) С. Н. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений/ С. Н. Афонина (Калабухова)// Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. Воронеж: Издательство ВГУ. — 2013. — С. 19−20.

3. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов A.C., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы/ P.P. Ахмеров, М. И. Каменский, A.C. Потапов, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский. Новосибирск: Наука, 1986. — 265 с.

4. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов A.C., Садовский Б. Н. Уплотняющие операторы/ P.P. Ахмеров, М. И. Каменский, A.C. Потапов, Б.Н. Садовский// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 18, ВИНИТИ, М. 1980. — С. 185−250.

5. Бадоев A. JL, Садовский Б. Н. Пример уплотняющего оператора в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументомнейтрального типа/ A. J1. Бадоев, Б.Н. Садовский// Доклады академии наук СССР. 1969. — Т.186. — № 6. — С. 1239−1242.

6. Бондаренко В. А. О существовании универсальной меры некомпактности/ В.А. Бондаренко/'/ Пробл. матем. анализа сложн. сист., Воронеж. 1968. — Вып.2. — С. 18−21.

7. Борисович Ю. Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. I./ Ю.Г. Борисович// Геом. и теория особенностей в нелинейных уравнениях, Воронеж, ВГУ. -1987. С. 24−46.

8. Борисович Ю. Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. II./ Ю.Г. Борисович// Глобал. анал. и нелинейн. уравнения, Воронеж, ВГУ. 1988. — С. 22−43.

9. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/ Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. М: КомКнига, 2005. — 214 с.

10. Борисович Ю. Г., Сапронов Ю. И. К топологической теории компактно сужаемых отображений/Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов// Труды сем. по функц. анализу, Воронеж. 1969. — Вып. 12. — С. 43−68.

11. Гельман Б. Д. Об одном классе операторных уравнений/ Б.Д. Гельман// Матем. заметки. 2001. — Т.70, — № 4. — С. 544−552.

12. Гельман Б. Д. Операторные уравнения и задача Коши для вырожденных дифференциальных уравнений/ Б.Д. Гельман// Вестник ВГУ, серия: физика, математика. 2007. — № 2. — С. 86−91.

13. Гельман Б. Д. О задаче Коши для одного класса вырожденных дифференциальных уравнений с липшицевой правой частью/ Б.Д. Гельман// Функциональный анализ и его приложения. 2008. — Т.42. -Вып.З. — С. 78−81.

14. Гельман Б. Д. Многозначные сжимающие отображения и их приложения/ Б.Д. Гельман// Вестник Воронежского госуниверситета. Серия: математика, физика. 2009. — № 1. — С. 74−86.

15. Гельман Б. Д. О локальных решениях вырожденных дифференциальных включений / Б.Д. Гельман// Функциональный анализ и его приложения. 2012. — Т.46. — Вып.1. — С. 79−83.

16. Гельман Б. Д., Калабухова С. Н. Об уплотняющих возмущениях линейных сюръективных операторов/ Б. Д. Гельман, С.Н. Калабухова// Вестник ВГУ, серия: физика, математика. 2011. — № 1, — С. 120−127.

17. Герштейн В. М. К теории диссипативных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ В.М. Герштейн// Функциональный анализ и его приложения. 1970. — Т.4. — Вып.З. — С. 99−100.

18. Гольденштейн JI.C., Гохберг И. Ц., Маркус A.C. Исследование некоторых свойств линейных ограниченных операторов в связи с их q-нормой/ J1.C. Гольденштейн, И. Ц. Гохберг, A.C. Маркус// Уч. зап. Кишиневск. ун-та. 1957. — Т.29. — С. 29−36.

19. Гольденштейн Л. С., Маркус A.C. О мере некомпактности ограниченных множеств и линейных операторов/ Л. С. Гольденштейн, A.C. Маркус// Сб. Исслед. по алгебре и матем. анализу, Кишинев. 1965. — С. 45−54.

20. Дмитриенко В. Т., Звягин В. Г. Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений/ В. Т. Дмитриенко, В.Г. Звягин// Матем. заметки. 1982. — Т.31, — № 5. — С. 801−812.

21. Забрейко П. П., Дедовская И. Б. Теоремы существования для уравнений в банаховом пространстве и принцип усреднения/ П. П. Забрейко, И.Б. Дедовская// Пробл. матем. анализа сложи, сист. Воронеж.- Вып.З. С. 122−136.

22. Калабухова С. Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. — Т. 16. Вып.4. С. 1092−1094.

23. Калабухова С. Н. Об уравнениях с (А.ф) — уплотняющими отображениями/ С.Н. Калабухова//' Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы ВЗМШ. Воронеж: Издательство ВГУ. — 2011. — С. 156−157.

24. Калабухова С. Н. Об отображениях, уплотняющих относительно замкнутого оператора/ С.Н. Калабухова/'/ Современные методы теории краевых задач: материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XXII» .-Воронеж: Издательство ВГУ. — 2011. — С. 77−78.

25. Калабухова С. Н. Об (А, ф)~ уплотняющих отображениях/ С.Н. Калабухова// Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна- 2012: материалы международной конференции / под ред. В. А. Костина. Воронеж: Издательство ВГУ. — 2012. — С. 88−91.

26. Канторович JI. В, Акилов Г. П. Функциональный анализ/ JI. B Канторович, Г. П. Акилов. 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.

27. Красносельский М. А. Два замечания о методе последовательных при ближений/ М.А. Красносельский//' УМН. 1955. — Т.10. — Вып.1. С. 123−127.

28. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа/ А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин. 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 569 с.

29. Куратовский К. Топология/ К. Куратовский. -T.I, М., 1966.

30. Родкина А. Е., Садовский Б. Н. К принципу связности Красносельского-Перова/ А. Е. Родкина, Б.Н. Садовский// Труды матем. ф-та, ВГУ, Воронеж. 1971. — Вып.4. — С. 89−103.

31. Садовский Б. Н. Об одном принципе неподвижной точки/ Б.Н. Садовский// Функциональный анализ и его приложения. 1967. — Т.1. Вып.2. С. 74−76.

32. Садовский Б. Н. О мерах некомпактности и уплотняющих операторах/ Б.Н. Садовский// Пробл. матем. анализа сложи. сист. Воронеж.- 1968. Вып.2. — С. 89−119.

33. Садовский Б. Н. О локальной разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве/ Б.Н. Садовский// Пробл. матем. анализа сложи, сист. Воронеж. 1968. — Вып.З.- С. 232−243.

34. Садовский Б. Н. Применение топологических методов в теории периодических решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений нейтрального типа/ Б.Н. Садовский// Доклады академии наук СССР. 1971. — Т.200. -№ 5. — С. 1037−1040.

35. Садовский Б. Н. Предельно компактные и уплотняющие операторы/ Б.Н. Садовский// Успехи математических наук. 1972. — Т.27. -Вып.1.(163). — С. 81−146.

36. Ambrosetti A. Un teorema di esistenza per le equazioni differenziali negli spazi di Banach/ A. Ambrosetti// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1967. — 39. — P. 349−361.

37. Ambrosetti A. Proprieta spettrali di certi operatori lineari non compatti/ A. Ambrosetti/'/ Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1969. — 42. — P. 189 200.

38. Darbo G. Punti uniti in transformazioni a codominio non compatto/ G. Darbo// Rend. Sem. Math. Univ. Padova. 1955. — 24. — P. 84−92.

39. Danes J. Some Fixed Point Theorems/ J. Danes// CMUC. 1968. — 9: 2. — P. 223−235.

40. Danes J. Generalized Concentrative Mappings and their Fixed Points/ J. Danes// CMUC. 1970. — 11: 1. — P. 115−136.

41. Furi M., Vignoli A. On a Property of the Unit Sphere in a Linear Normed Space/ M. Furi, A. Vignoli// Bull. Acad. Polon. Sei., Ser. Sei. Math., Astron. et Phys. 1970. — 18: 6. — P. 333−334.

42. Gel’man B.D., Kalabukhova S.N. On Condensing Perturbations of Closed Linear Surjective Operators/ B.D. Gel’man, S.N. Kalabukhova// Global and Stochastic Analysis. 2012. — Vol.2, №, ISSN 2248−9444.

43. Hetzer G. Some remarks on operators and the coincidence degri for Fredholm equationwith noncompact nonlinearperturbation/ G. Hetzer// Ann.Soc.Sci. Bruxelles. -1975. Ser.l. — 89. — P. 497−508.

44. Hetzer G., Stallbohm V. Coincidence degree and Rabinowitz’s bifurcation theorem/ G. Hetzer, V. Stallbohm// Publications de L’institut Mathematique, Nouvelle serie. -1976. tome 20 (34). — P. 117 129.

45. Himmelberg C.J., Porter J.R., F.S. van VlecK. Fixed Point Theorems for Condensing Multifunction/ C.J. Himmelberg, J.R. Porter, F.S. van VlecK// Proc. Amer. Math. -1969. -Soc.23:3. P. 635−641.

46. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, De Gruyter Series in Nonlinear Anal, and Appl. 7. Walter de Gruyter, Berlin-New York. 2001.

47. Kuratowski C. Sur les espaces complets/' С. Kuratowski// Fund. Math. 1930. -15. — P. 301−309.

48. Nussbaum R.D. The fixed Point Index for Local Condensing Maps/ R.D. Nussbaum// Annali di Matem. Рига ed Appl. -1972.

49. Nussbaum R.D. A Generalization of the Ascoli Theorem and an Application to Functional Differential Equations/ R.D. Nussbaum// J. Math. Anal, and Appl. 1972.

50. Ricceri B. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations/B. Ricceri // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. -1997. V. 325, m. — P. 65−70.