Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью

Актуальность темы

В диссертационной работе изучаются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области, с заданными оценками всех производных.

В последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем (АПС) в различного рода пространствах. Это обусловлено, во-первых, тем, что решению задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Коши для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений и, наконец, проблемой продолжения по Уитни.

Впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю. Ф. Коробейником в [17] под влиянием работ А. Ф. Леонтьева. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [30], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в произвольной ограниченной выпуклой области комплексной плоскости, рядами экспонент и была установлена возможность такого представления. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), основы которой были заложены в цикле работ Ю. Ф. Коробейника [17]- [22] и которая развивалась, главным образом, в его работах и работах его учеников А. В. Абанина [2]- [6], Ле Хай Хоя [47], С. Н. Мелихова [33], В. Б. Шерстюкова [42], И. С. Шрайфеля [43] и др. Существенный вклад в развитие данного направления внесла, исходя из несколько иных позиций, основанных на использовании аппарата достаточных множеств, уфимская школа по теории функций (см. работы В. В. Напалкова [35] и А. Б. Секерина [36) и др.)

Ю. Ф. Коробейником был разработан один из основополагающих методов изучения АПС в локально выпуклых пространствах, базирующийся на теории двойственности. Одновременно с этим были введены и исследованы различные свойства АПС элементов полного отделимого локально выпуклого пространства такие, как внутрь-продолжаемость (см. [21], [3]) и устойчивость относительно предельного перехода (см. [22], [3]).

Основным модельным пространством при изучении свойств АПС, для которого к настоящему времени получены результаты завершенного характера, выступало пространство Фреше всех функций, аналитических в области. При этом в наибольшей степени, что естественно, исследованы АПС экспонент (или обобщенных экспонент) п простейших дробей. Другие пространства аналитических функций (с заданным ростом вблизи границы или с заданной граничной гладкостьюаналитических на компактах и др.) изучены пока не в такой глубокой степени. Достаточно полный обзор результатов в данном направлении имеется в [5]. Еще раз подчеркнем, что одни и те же свойства АПС не определяются полностью топологической структурой или набором элементов. Поэтому изучение АПС в различных пространствах представляет интерес как с точки зрения каждого конкретного пространства, так и для развития общей теории АПС. Одними из малоизученных в данном отношении являются пространства аналитических в ограниченной области функций с заданной граничной гладкостью. Насколько нам известно, кроме установленного М. У. Муллаевым [34] факта существования АПС экспонент в пространстве всех функций, аналитических в ограниченной области комплексной плоскости и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, а также функционального критерия для АПС простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью, полученного Б. А. Держащем [13], других исследований для них не проводилось. Последнее касается свойств, вопросов существования и описания минимальных в духе А. Ф. Леонтьева АПС экспоненттех же задач для АПС простейших дробей. В частности, в связи с отсутствием (см. [23]) АПС простейших дробей в пространстве всех функций, аналитических в области, существование таких систем в близких пространствах функций с заданной граничной гладкостью в той же области имело бы важное значение.

В связи с вышеизложенным нам представляется актуальной задача о систематическом изучении абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в весовых пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкосгыо (гладкость регулируется оценками роста всех производных).

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированной выше задачи: определение и изучение некоторых свойств весовых пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостьюописание топологически сопряженных с ними пространствприменение полученных результатов к исследованию вопроса о существовании абсолютно представляющих систем экспонент и (или) простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостьюисследование свойств продолжаемости и устойчивости относительно предельного перехода по весовой последовательности или по области для абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостьюописание абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью.

Методы исследования. В диссертационной работе используются классические методы функционального и комплексного анализа, теории двойственности и теории целых функций. При исследовании абсолютно представляющих систем в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью применяются подходы и результаты, развитые ранее Ю. Ф. Коробейником и А. В. Абапиным.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к задачам представления аналитических функций рядами простейших дробей и экспонент, а также разрешимости уравнений типа свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Южном федеральном университете, Сибирском федеральном университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и PCO-А, Московском, Башкирском, Новосибирском, Саратовском университетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа Южного федерального университета, па Международной конференции «Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование» в Волгодонске (2009, 2011 гг.), на Международной коференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2008 г.), на Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, 2011 г.), а также на Международной школе-конференции молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2011 г.).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в [53]- [59].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 59 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации — 117 страниц машинописного текста.

1. Абанин А. В. Об одном свойстве абсолютно-представляющих систем Миттаг-Леффлера, полезном при построении универсальных систем // Деп. в ВИНИТИ,—1983.—№ 4264−83.

2. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат. заметки.— 1986.—Т. 40, № 4.—С. 442−454.

3. Абанин А. В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. ВУЗов. Математика, — 1987.—№ 4—С. 3−10.

4. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. вузов. Математика.—1991.—№ 2.— С. 3−12.

5. Абанин А. В. Слабо достаточные множества и абсолютно представляющие системы: Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону—1995—268 с.

6. Абанин А. В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Мат. заметки, — 1995,—Т. 57, № 4—С. 483−497.

7. Абанин А. В., Филипъев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сибирский мат. жур.—2006.—Т. 47, № З.-С. 485−500.

8. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.—М.: Наука, 2007. 223 с.

9. Абапин А. В. О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, Вып. 4.-С. 10−16.

10. Горина О. В. О разрешимости уравнения свертки в одном классе Жевре функций, аналитических в невыпуклой области // Мат. заметки.—1992.—Т. 52, № 3. С. 35−43.

11. Державец Б. А. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук.—Ростов-на-Дону.— 1983.-102 с.

12. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в некоторых линейно выпуклых областях С", имеющих заданное поведение вблизи границы // Изв. ВУЗов. Математика—1985 —№ 6.—С. 10−13.

13. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях пространства С’г и имеющих заданное поведение вблизи границы // Известия СКНЦ ВШ. Ест. науки.—1985.—№ 2.-С. 11−14.

14. Дынъкин Е. М. Псевдоаналитическое продолжение гладких функций. Равномерная шкала // В сб.: Мат. программирование и смежные вопросы/ Труды Седьмой Зимней Школы. — Дрогобыч.—1974.—С. 40−74.

15. Епифанов О. В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. ВУЗов. Математика.—1986.—№ 7.—С. 50−56.

16. Жаринов В. В. Компактные семейства ЛПВ и пространства РБ и БРЭ //' Успехи мат. наук,—1979.—Т.34, № 4.-С. 97−131.

17. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче.I.Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб.—1975.—Т. 97, № 2—С. 193−229.

18. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1978.-Х" 2.—С. 325−355.

19. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы экспонент и нетривиальные разложения нуля // Докл. АН СССР.—1980.—№ З.-С. 528−531.

20. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения пуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1980.—Т. 44, № 5. С. 1066−1114.

21. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент // Мат. заметки,—1980.—Т. 28, № 2.—С. 243−254.

22. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, Вып. 1.-С. 73−126.

23. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат. заметки.—1982.—Т. 31, X2 5.—С. 723−737.

24. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1986.—Т. 50, № З.-С. 539−565.

25. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Analysis Math 1989 —Vol. 15, № 2,—P. 105−114.

26. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля в теории представляющих систем // Изв. вузов. Матем—1992—№ 7—С. 26−35.

27. Коробейник Ю. Ф. О сходимости рядов в локально выпуклых пространствах // Изв. вузов. Матем—2001 —№ 8—С. 60−70.

28. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: Теория и приложения.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ, 2009. 336 с.

29. Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки.—1978.—Т. 24, № 4.-С. 531−546.

30. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент,—М.: Наука, 1976.—538 с.

31. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1983.—176 с.

32. Леонтьева Т. А. Представление функций, аналитических в замкнутой области, рядами рациональных функций // Мат. заметки.—1968.—Т. 4, № 2.—С. 191−200.

33. Мелихов С. Н. О разложении аналитических функций в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1988.—Т. 52, № 5.-С. 991−1004.

34. Муллаев М. У. Ряды Дирихле для пространства Пж{0) // Вопросы аппроксимации функций вещ. и компл. переменных. Уфа: Изд-во БФ АН СССР.—1983.— С. 120−129.

35. Напалков В. В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций // Изв. АН СССР. Сер. Мат.—1981.—Т. 45, № 5 — С. 1088−1099.

36. Напалков В. В., Секерин А. Б. Слабо достаточные множества и представление аналитических функций многих переменных рядами Дирихле // Докл. АН СССР.—1981.—Т. 260, № З.-С. 535−539.

37. Робертсон А. П., Робертсон В. Дснс. Топологические векторные пространства.— М.: Мир, 1967.-258 с.

38. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных.—М.: Наука, 1971.-432 с.

39. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Математика.—1957.—Т. 1, № 1.—С. 60−77.

40. Сибилев Р. В. Теорема единственности для рядов Вольфа-Данжуа // Алгебра и анализ.—1995.—Т. 7, Вып. 1.-С. 170−199.

41. Трунов К. В., Юлмухаметов Р. С. Квазианалитические классы Карлемана на ограниченных областях // Алгебра и анализ.—2008.—Т. 20, № 2.—С. 178−217.

42. Шерстюков В. Б. Двойственная характеризация абсолютно представляющих систем в индуктивных пределах банаховых пространств // Сиб. мат. журнал— 2010.—Т. 51, JV° 4.-С. 930−943.

43. Шрайфель И. С. Абсолютно представляющие системы в ?2 // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—1993.—№ 3−4.—С. 68−77.

44. Эдварде Р. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1969.—1072 с.

45. Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций // Мат. сборник.—1984.—Т. 124(166), № 3 (7).-С. 393−415.

46. Юлмухаметов Р. С. Двойственность в выпуклых областях // В сб.: Исследования по теории аппроксимации функций.—Уфа: Изд-во БФ АН СССР.—1984.— С. 160−165.

47. Abanin А. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for А-°°(П) // J. Approx. Theory—2011,—V. 163.—P.1534−1545.

48. Danjoy A. Sur les series de fractions rationneles // Bull. Soc. Math. France—1924.— V. 52.-P. 418−434.

49. Glaeser G. Etude de quelques algebres tayloriennes // J. Anal. Math.—1958.—T. 6.— P. 1−124.

50. Hormander L. On the range of convolution operators // Ann. of Math.—1962, — V. 76.—P. 148−170.

51. Schneider D.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions // Trans. Amer. Math. Soc.-1974.-V. 197.-P. 161−180.oo

52. Wolf J. Sur les series? // С. R. Acad. Sci—1921 —V. 173.-P. 1327−1328.k=1 ^ k

53. Абанин А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу,—Владикавказ, 2008.—С. 16−23.

54. Абапип А. В., Петров С. В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. Тезисы докладов.— Ростов-на-Дону, 2008.-С. 91−92.

55. Абании А. В., Петров С. В. Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.— 2011.—№ 4.-С. 5−11.

56. Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—2010.—№ 5.—С. 25−31.