Уравнение упругого равновесия

С теоретической точки зрения основная задача теории упругости состоит в нахождении решения уравнений равновесия изотропного тела заданной формы при заданных на границе смещениях или напряжениях. Случай, когда на тело действуют массовые силы, приводится, как показал Ляв, к случаю тела деформированного только поверхностными силами на граничной поверхности. Таким образом, задача заключается в определении таких функций смещения u, v, w, которые внутри заданной границы непрерывны вместе со своими производными и удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных Ламе. Кроме того, на границе эти функции должны удовлетворять заданным условиям. Если на границе задано смещение, тем самым известны значения функций u, v, w, если же на границе задано напряжение, то следовательно известны соотношения Коши. Доказано существование и единственность решения при определении напряжений и деформаций, а смещения находятся только с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого.

Попытки получить решение указанной системы уравнений в общем виде при произвольных граничных условиях не увенчались успехом. Однако, большое количество частных задач имеет законченное аналитическое решение. При этом используются систематические методы теории потенциала, рядов, теории гармонических и аналитических функций, дифференциальных уравнений и др. С другой стороны, методы, которые были изобретены для интегрирования уравнений равновесия изотропного упругого тела, имеют большое значение для чистой математики.

Для упругого тела, находящегося в равновесии под действием сил, приложенных только к его поверхности, весьма плодотворно оказалось введение функций напряжений, которые применил впервые, по-видимому, Максвелл, затем Эри, Галеркин и др. Для нахождения решения уравнений равновесия в смещениях (Ламе) Кельвин получил смещения при помощи суммы скалярного и векторного потенциалов, получив для их определения уравнения типа Пуассона. Позже эту идею плодотворно развил Папкович, Нейбер, Куливе. В частности, используя решение Папковича-Нейбера, просто получить элементарные решения первого и второго рода Буссинеска и другие решения, о чем будет сказано в настоящей работе.