К. Р. по математике Вариант 9

19. Даны векторы и. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

, , .

Решение:

векторы образуют базис в 3-хмерном векторном пространстве если они линейно-независимые, т. е. тогда и только тогда, если. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

которая имеет единственное решение — нулевое, тогда и только тогда если ее определитель отличен от нуля:

следовательно, и векторы образуют базис.

Найдем теперь координаты вектора в базисе, т. е., следовательно, имеем систему для нахождения искомых координат:

решение которой получено в задаче 9:, т. е. .

29. Даны координаты вершин пирамиды. Найти: а) угол между ребрами и; б) площадь грани; в) уравнение плоскости; г) уравнение высоты, проходящей через; д) объем пирамиды.

.

Решение:

а) угол между ребрами и как угол между векторами и :

, тогда

следовательно, искомый угол:

;

б) площадь грани найдем как площадь треугольника образованного векторами и :

тогда

;

в) запишем уравнение плоскости как плоскости проходящей через три точки :

— искомое уравнение;

г) уравнение высоты, проходящей через найдем, как уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно плоскости :

;

д) объем пирамиды найдем с помощью смешанного произведения векторов:

тогда

.

39. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности — координаты центра и радиус. Сделать чертеж.

.

Решение:

— эллипс, координаты вершин которого (-5,0), (5,0), (0,-4), (0,4), а координаты фокусов и, т.к. .

Сделаем чертеж: