Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению

Первая глава. Глава 1 посвящена формуле суммирования Пуассона. Перечислены некоторые результаты, сформулированные и доказанные вне связи с теорией вероятностей. В § 1.4 приведен вид формулы, наиболее удобный для приложений в теории вероятностей, а также сформулированы и доказаны условия справедливости формулы суммирования Пуассона в контексте теории вероятностей и ряд вспомогательных утверждений, которые используются в последующих главах для оценки отклонения распределений вероятностей от равномерного. Глава 1 носит обзорный характер и является вспомогательной по отношению к другим главам.

Если р (хX) — плотность распределения вероятностей случайной величины X и j (t] X) — соответствующая характеристическая функция, то формулу суммирования Пуассона можно записать следующим образом: р{х + ЬХ) = 1+? /(2тгп-Х)ек=—оо п=—оо, п⁰.

2-кгпх.

Обозначим через S (x) сумму ряда, стоящего в левой части (она периодична с периодом 1).

Ряд, стоящий в правой части формулы, является рядом Фурье функции S (x).

Плотность дробной части {X} случайной величины X представляется в виде /vu {ад, хе[0,1], р (х- {X}) = i о, х ^ [0,1].

Следовательно, при х G [0,1] отклонение р (х- {X}) от 1 (плотности равномерного распределения) оценивается величиной /(27гпХ)е~.

2-ninx.

В главе 1 перечислены условия справедливости формулы суммирования Пуассона и ее многомерного обобщения. Их отбор определяется основной целью настоящей работы, которая состоит в сравнении распределения дробных частей случайных величин (случайных векторов) и равномерного распределения.

1. Bochner S. Harmonic Analysis and the Theory of Probability. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1955.

2. Bourbaki N. Theorie spectrales, chapitre II. Hermann, Paris, 1967.

3. Diaconis P., Engler E. Comments on 'Some Statistical Applications of Poisson’s Works'. Statist. Sci., 1986, v. 1, No. 2, p. 171−174.

4. Good I.J. Analogues of Poisson’s summation formula. Amer. Math. Monthly 69, 1962, p. 259−266.

5. Good I.J. Some Statistical Applications of Poisson’s Works. Statist. Sci., 1986, v. 1, No. 2, p. 157−180.

6. Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford, Clarendon Press, 1960.

7. Hill T.P. A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statist. Sci., 1995, v. 10, No 4, p. 354−363.

8. Katznelson Y. Une remarque concernant la formule de Poisson. Studia Math. 29, 1967, p. 107−108.

9. Katznelson Y. An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney, 1968.

10. Marshall S. L. Convergence Acceleration of Fourier Series by Analytical and Numerical Application of Poisson’s Formula. J. Phys. A: Math. Gen. 31, 1998, No. 11, p. 2691−2704.

11. Marshall S. L. On the Analytical Summation of Fourier Series and its Relation to the Asymptotic Behaviour of Fourier Transforms. J. Phys. A: Math. Gen. 31, 1998, No. 49, p. 9957−9973.

12. Mordell L.J. Poisson’s Summation Formula and the Riemann Zeta Function. J. London. Math. Soc. 4, 1928.

13. Poisson S.D. Sur le calcul numerique des Integrales defmies. Mem. Acad. sci. Inst. France, 1827, t. 6, p. 571−602.

14. Raimi R.A. The First Digit Problem. Amer. Math. Montly, 1976, v. 83, No 7.

15. Бхваттачария P.H., Ранга Pao P. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. Москва, Наука, 1982.

16. Гамкрелидзе Н. Г. О неравенстве для многомерной характеристической функции. Теория вероятностей и ее применения, 1991, т. 36, в. 3, с. 602−604.

17. Зигмунд А. Тригониметрические ряды, т. 1. Москва, 1965.

18. Золотарев В. М. Преобразования Меллина-Стильтьеса в теории вероятностей. Теория вероятностей и ее применения, 1957, т. 11, в. 4, с. 444−468.

19. Ильин В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Основы математического анализа, ч. II. Наука, Москва, 1973.

20. КАССЕЛС Дж. Рациональные квадратичные формы. Мир, Москва, 1982.

21. Коган JI.A. О представлении целых чисел положительно определенными квадратичными формами. ФАН, Ташкент, 1971.

22. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, Москва, 1976.

23. Крамер Г. Математические методы статистики. Мир, Москва, 1975.

24. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Мир, Москва, 1974.

25. Титчмарш Е. Теория функций. ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1951.

26. УШАКОВ Н. Г. Некоторые неравенства для характеристических функций одновершинных распределений. Теория вероятностей и ее применения, 1983, т. 26, в. 3, с. 606−609.

27. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2. Мир, Москва, 1984.

28. Фихтенгольц Г. М. Курс дифферинциального и интегрального исчисления, т. III. Наука, Москва, 1969.

29. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган. Наука, Москва, 1979.

30. Математическая энциклопедия. Гл. редактор И. М. Виноградов, т. 5. Советская энциклопедия, Москва, 1985.

31. Кузнецова А. Я., Куликова А. А. Одна предельная теорема о сходимости к равномерному распределению. Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 2002, № 3, с. 39−45.

32. Перегудова А. А. Формула суммирования Пуассона и ее применение к закону первой значащей цифры. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1999, Том 6, выпуск 1, с. 184.

33. Куликова А. А. Оценка скорости сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с. 780−787.

34. Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Равномерные распределения на выпуклых множествах: неравенство для характеристических функций. Теория вероятностей и ее применения, 2002, Том 47, выпуск 4, с.787−789.

35. Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. Теория вероятностей и ее применения, 2003, Том 48, выпуск 2, с. 399−402.