О скорости сходимости спектральной функции распределения случайной матрицы

Пусть (О, Т, Р) — произвольное вероятностное пространство, (Мтхп, || • \нб) — пространство вещественных или комплексных матриц размерности га х п с нормой Гильберта-Шмидта:

Тг (АА*), УА Е Мтхп.

Здесь а* = ат обозначает транспонированную комплексно сопряженную матрицу А, а Тг, А — след матрицы А.

Определение 1. Случайной матрицей, А называется измеримое отображение, А = А (о-), отображающее пространство элементарных событий О в пространство матриц Мтхп.

Обозначим через Ъ{Мтхп) сг-алгебру борелевских подмножеств множества матриц Мтхп. Очевидно, что любая случайная матрица, А естественным образом порождает на измеримом пространстве (Мтхп, ЯЗ (Мтхп)) некоторую вероятностную меру Ра.

Необходимость изучения свойств случайных матриц впервые возникла в конце 1920;х годов в работах Вишерта, в связи с задачами многомерной статистики. Толчком к последующему бурному развитию данной тематики послужили работы Вигнера [44, 45, 46] 1950;х годов в области ядерной физики. Из квантовой механики известно, что уровни энергии квантовой системы, находящейся в стационарном состоянии, описываются с помощью собственных чисел некоторого эрмитовою оператора, называемого гамильтонианом. Спектр такого оператора в общем случае состоит из непрерывной части и некоторого, возможно большого, числа дискретных уровней, а сам оператор действует в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве. Как правило, практический интерес представляет дискретная часть спектра, поэтому, чтобы избежать сложностей, вызванных бесконечномерностью исходного гильбертова пространства, его аппроксимируют конечным гильбертовым пространством, а гамильтониан представляется в виде некоторой эрмитовой матрицы. Ввиду сложности системы, найти точное представление этой матрицы, в большинстве случаев, не представляется возможным. Вигнер был первым, кто заметил, что уровни энергии ядра статистически ведут себя подобно собственным числам некоторой случайной матрицы большого порядка (см. [44]) и предложил использовать такую матрицу для аппроксимации усеченного гамильтониана.

Определение 2. Вигнеровской случайной матрицей размерности п х п называется эрмитова матрица = (ги/^-)" -=1, элементы 1 ^ I ^ j ^ п которой являются независимыми случайными величинами, причем:

1. гиу, 1 ^ I < j ^ п — независимые одинаково распределенные комплексные случайные величины, с независимыми вещественными и мнимыми частями, распределение которых не зависит от п, такие что.

Ему = 0, Е Н|2 = <т2,.

2. гиц, 1 ^ I ^ п — независимые одинаково распределенные вещественные случайные величины, с не зависящим от п распределением, такие что.

Е юц — 0, Е тц2 = (т2.

Пусть — вигнеровская случайная матрица. Одним из важных объектов 'изучения при исследовании спектральных свойств вигнеровских матриц является эмпирическая спектральная функция распределения матрицы.

Определение 3. Пусть Х ^ Аг ^ ¦ ¦ • ^ Хп ~ упорядоченные по возрастанию собственные значения нормированной матрицы Эмпирической спектральной функцией распределения матрицы называется функция.

1 п ?=1 где 1{в} обозначает индикатор события В.

В своей работе [46] 1958 г. Вигнер рассмотрел вещественную симметричную матрицу = элементы гиу, 1 ^ I ^ j ^ п которой суть независимые одинаково распределенные случайные величины со средним Егу^ = 0 и дисперсией Е тц2 = а2. Он показал, при условии ограниченности всех четных моментов элементов ту и равенстве нулю всех нечетных моментов элементов что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения ЕЕп (х) нормированной матрицы сходится, в супре-мальной метрике, к некоторой функции распределения <2(ж), с плотностью д (х) = С (х) = 2~2^4а2 ~ х2.

Факт такой сходимости называют обычно сходимостью к полукруговому закону, а функцию распределения и плотность д (х) — функцией распределения и плотностью полукругового закона соответственно. При доказательстве этого факта, Вигнер использовал метод моментов. Для удобства читателей мы приведем схему подобного доказательства в самом простейшем случае — случае, когда элементы матрицы имеют вид ииц = 1 ^ I ^ у ^ п, где — радемахеровские случайные величины, то есть величины, принимающие с вероятностью ½ либо значение 1, либо значение -1 (именно такой случай рассмотрел Вигнер в работе [45] 1955 г.).

Пусть М^ обозначает к-ый момент ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения Е^п (ж), а — к-ый момент функции распределения полукругового закона Тогда.

00 I хк (1ЕРп (х) = ^ЕЪ:У?к,.

— 00.

— 2 а.

2к+1 = О, где Ск, к ^ 0, обозначают числа Каталана, определяемые рекуррентным соотношением к-1.

Со = 1, Ск — / ^.

Так как носитель плотности д (х) предельной функции распределения (3(я) компактен, то для сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения к функции распределения? т (ж) достаточно, чтобы все моменты М^ сходились, при п оо, к соответствующим моментам тк.

Мы покажем сначала, что не умаляя общности можно считать все диагональные элементы и) ц, 1 ^ / ^ п, матрицы равными нулю. Действительно, пусть матрица получена из матрицы? замещением всех диагональных элементов нулями. Обозначим через А1 ^ Л2 ^ • • ¦ ^ Хп собственные значения нормированной матрицы, а через Рп (х) — ее спектральную функцию распределения. Несложно проверить, что сю.

1 п 1 П <7.

— К (х) йх = - V Л* - к ^ —¦= V ъикк = —?=. п п /.

I—1 и—л V /.

Здесь, в последнем неравенстве, мы воспользовались тем, что и>кк к=1 к=1 для любой непрерывной выпуклой функции <�р (х) (см. [1, стр. 552]). Далее, заметим, что функция распределения полукругового закона удовлетворяет условию Липшица с константой Поэтому, применяя леммы А.1.1-А.1.2, получим эир Рп (х) — ^ 1 + 1 + 7 Г (Т вир Еп (х) х 7ту/а тта х.

Таким образом, мы можем полагать, что гпкк — 0, при 1 ^ к ^ п. Рассмотрим теперь подробнее к-ът момент М^ ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения. Нетрудно убедиться, что^ТпТ Е Е ¦ ¦ ¦ «Ъ* •.

31 Г-, 3к.

Заметим, что слагаемые в последней сумме отличны от нуля только для тех наборов индексов ., для которых каждая случайная величина произведения ги^^шз • • • 'Шзъ.к входит в это произведение ровно четное число раз. Поэтому М^ = 0, при к = 2б + I. Для четного к = 2 В разобьем множество наборов (л,., Для которых математическое ожидание произведения отлично от нуля, на два класса. В первый войдут все те наборы С?'ъ • • • > 72в)) которые содержат не более в различных индексов. Очевидно, что число таких наборов не превосходит ггЛ Поэтому суммирование по этому классу, с учетом нормировочного множителя, вносит вклад порядка (9(п-1). Во второй класс войдут наборы, которые содержат ровно в + 1 различных индексов, и которым соответствуют ровно я различных случайных величин в произведении Таким образом, каждая случайная величина входит в произведение ровно два раза. Определим характеристическую последовательность щ, и2,.} Щз произведения ¦ ¦ ¦ Положим щ = 1, если последовательность,^,., не содержит случайной величины и щ = —1 — в противном случае. Очевидно, что последовательность щ, г/2) • • •, и>23 удовлетворяет условию и1 ^ для всех ] = 1,., Поэтому каждой такой последовательности соответствует путь в верхней полуплоскости длины 2б, исходящий из нуля и возвращающийся в нуль. Число таких путей равно Учитывая, что й + 1 различных индексов мы можем выбрать п (п — 1) ¦ ¦ • (п — э) = пв+1(1 + 0(п~1)) способами, получим, что суммирование по элементам второго класса, с учетом нормировочного множителя, даст величину ¡-^щт + 0(п-1). Тем самым, сходимость моментов, а значит и сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения, доказана.

Результат Вигнера был обобщен Арнольдом в работе [12] 1967 г. Так же, с помощью метода моментов, он показал, что при условии ограниченности четвертого момента элементов юц следует сходимость эмпирической спектральной функции распределенияРп (ж) к функции распределения по вероятности, а при условии ограниченности шестого момента — сходимость почти наверное.

В конце 60-х Марченко и Пастур [6] разработали более мощный метод исследования распределения спектра случайной матрицы, основанный на анализе элементов резольвентной матрицы — «)-1. Это позволило им распространить полукруговой закон Вигнера на случай эрмитовых матриц, элементы которых имеют равную дисперсию, но не обязательно одинаковое распределение (см. [7, 8]). Они показали, что для сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения Fn (x) такой матрицы к функции распределения полукругового закона G (x) достаточно выполнения условия Линдеберга для всех строк матрицы. Несколько позднее, Гирко [3] показал также и сходимость почти наверное, при условии, что для любого т > О выполнено l^Kj^n.

Основная идея метода состоит в переходе от функций распределения к их преобразованиям Стилтьеса. Пусть F (x) есть некоторая функция распределения. Рассмотрим ее преобразование Стилтьеса.

Ф) = [ —-—dF (x), J Х — Z оо где z = u—iv — комплексная переменная с v > 0. Очевидно, что 1тй (, г) > 0. Можно также показать, что для любых двух точек непрерывности х < Х2 функции jF (x) имеет место формула обращения.

F (x2) — F (x 1) = lim— / lms (z)du. г40 7 Г J.

Xi.

Таким образом, между функциями распределения и их преобразованиями Стилтьеса существует взаимно однозначное соответствие. Более того, из равномерной сходимости преобразований Стилтьеса на некотором компакте в CR следует слабая сходимость функций распределения.

Здесь и далее z = u+iv — комплексная переменная с v > 0. Символом y/w мы будем обозначать квадратный корень комплексного числа w, имеющий положительную мнимую часть, то есть y/w = y/reltpl2) где w = reltp, 0 ^ Lp < 2тг.

Обозначим через sn (z) и s (z) преобразования Стилтьеса ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения F, Fn (x) и функции распределения полукругового закона G (x), соответственно. Тогда (см. приложение.

А.2).

Ф) = ~ /г2~4а2).

Также нетрудно заметить, что п >/п /.

1 п = -уеп 1 п ы -^тк — г — X IV* - Л^) ~ V' где = (гиць,., м^ь гУ (Л+1)А,., а матрица WAполучена из матрицы удалением к-го столбца и А—ой строки. Если мы теперь введем величины к := ——а*к (- г1&bdquo-1) ак + сг2вп (2).

1/П п у/п / и п к к то, очевидно, будем иметь.

—, 2 (+.

Решая это уравнение относительно зп (г) и выбирая решение с 1тзп (, г) > О, получим.

— ~ {г + а25п{г))2 — 4а2у.

Далее, заметим, что для всех V > 0 выполнено п М) ^ сг^ф) — ек ^ 1 т (г + а" 2зф) — ек).

Кроме того, можно показать (см. А.3.1), что найдется положительная константа С, такая что для всех V > 0 имеет место неравенство С.

Е ек ^.

ПУ2.

Объединив последние три неравенства и определение величины 5n (z), получим, что для всех v > 0 выполнено неравенство yjnv6.

Это очевидным образом влечет равномерную сходимость sn (z) 5(2-) на любом компакте, содержащемся в верхней полуплоскости CR, а значит, как уже отмечалось выше, и слабую сходимость соответствующих функций распределения.

Гауссовские ансамбли.

В этом разделе мы более подробно остановимся на двух частных случаях матриц Вигнера — гауссовском унитарном и гауссовском ортогональном ансамблях случайных матриц. Первый является наиболее простым, с математической точки зрения. Второй же более важен для физических приложений.

Определение 4. Говорят, что вигнеровская случайная матрица W = (w/j)fj=i принадлежит гауссовскому унитарному ансамблю (GUE), если мнимые и вещественные части {Re {Im ее элементов являются независимыми гауссовскими случайными величинами со средним 0 и дисперсией, а + ад/4.

Пусть %п обозначает пространство эрмитовых матриц порядка п с мерой Лебега п dW = JJ dRewij dlmwij jQ dwu. i.

Тогда гауссовский унитарный ансамбль однозначно задается распределением вероятностей.

P°UE (dW) = Cne-TvW2dW на пространстве %п. Отсюда легко увидеть, что распределение Р^иЕ инвариантно относительно унитарного преобразования. Это позволяет найти точное аналитическое представление для плотности рп (хi,., хп) индуцированного совместного распределения собственных чисел А1,., АП матрицы «У (см.

39]): п ^.

Рп{х 1,. •, хп) = Спе '=1 ' Д — х{)2.

К].

Рассмотрим определитель Вандермонда.

Д (х) := — х{) = с1е1 Кз 1.

Х 1.

Хп гг. п-1 пП-1.

• • • ХП.

Умножая строку на 1 и добавляя к ней соответствующую линейную комбинацию предыдущих строк, мы получим в ^'-й строке.

Я^!^!), 1(2:2), •. ., Н]-1(хп), где Н^{х) обозначает полином Эрмита степени то есть й V ад=(-£ г.

Домножая теперь ^'-ю строку на множитель 2? — 1)!/7г] ½, а /-й столбец на е получим е '=1.

Д (ж) = С"с1е1.

Здесь {^(ж)} — ортогональная система функций Эрмита, связанная с полиномами {Н^(х)} соотношением 1 щ (х) =-т-г—е 'Я, (ж).

7 Г 4 2 2 д/^!

Таким образом, плотность собственных чисел рп (х,., хп) представляется в виде определителя некоторого ядра: рп (х 1,., хп) = СпАе1 (к^Х!^^), /1,1=1 где п-1 0.

Ядро Кп (х, у) принято называть ядром Кристоффеля-Дарбу. Можно легко убедиться, что.

00 00.

J Кп (х, x) dx = п, J Kn (x, y) Kn (y, z) dy = Kn (x, z).

— 00 —00.

Поэтому (см. [39, 19]) 00 det (Kn (xj, Xi)] dxm = (n — m + 1) det (Kn (xj, xi).

— 00.

Отсюда несложно найти нормирующий множитель плотности рп:

Рп (х 1, • ¦ •, хп) = ^ det xi)) j,'.

Более того, мы можем легко вычислить плотность рпхi,., к неупорядоченных собственных чисел: det (Kn (xj, xi)] v ' j,>

В частности, для плотности (Е Fn (x))' ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы W из GUE имеем:

71— 1 pW (xh., xk) = ^ ^ det IKnix^xi)).

77,! V / 7,/=1.

ЕВД)' = р^М — -Кп (х, х) = ^ $>?(*). 0.

Несколько сложнее представляется плотность ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля.

Определение 5. Говорят, что вещественная вигнеровская случайная матрица У = принадлежит гауссовскому ортогональному ансамблю (СОЕ), если ее элементы юц являются независимыми гауссовскими случайными величинами со средним 0 и дисперсией (1 + 5ц)/2.

Очевидно, что гауссовский ортогональный ансамбль определяется распределением вероятностей ре°Е (т) = 12 на множестве симметричных матриц порядка п с мерой Лебега сАУ. Плотность рп (х 1,., хп) совместного распределения собственных чисел Ах,., Хп матрицы W в этом случае принимает вид pn (xh., xn) = Спе 2S '.

Kj xj I.

Эта плотность, как и плотность совместного распределения собственных чисел матрицы из GUE, может быть выражена в терминах функций Эрмита (см. [39]). В частности, плотность (Е Fn (x))' ожидаемой эмпирической спектральной функции матрицы из GOE имеет вид п-1 00.

1 1 f 1 (EFn (x))'= - y]ipf (x) + —=(pn-i (x) / sgn (x-t)(pn (t)dt±an (x), n TZ? y 2n J n l~U -00.

00 1 n (x) — —oo где f2l (x) ^ f (P2i (t)dtj при n = 21 + 1,.

О при п — 21.

Понятно, что для нормированных матриц из гауссовских унитарного и ортогонального ансамблей имеет место полукруговой закон Вигнера, причем, ввиду выполнения условия Линдеберга, эмпирическая спектральная функция распределения таких матриц сходится к распределению полукругового закона почти наверное. Как и для всех предельных теорем, естественно возникает вопрос о скорости сходимости. Данной проблеме посвящены работы таких авторов, как Бай (см. [14]-[17]), Гётце и Тихомиров (см. [26]-[28]), Гирко (см. [2, 24, 25]).

Рассмотрим величины.

Д&bdquo- := sup |ЕВД — G (x)|, К := Е supFn (x) — G (s)|.

X X.

В общем случае, когда матрица W вигнеровская, Бай показал (см. [16]), что при выполнении условия supls^J<00E < оо, скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения нормированной матрицы имеет порядок Дп = С (п1//3). При еще более сильном ограничении suPi^/^i< °о, он доказал (см. [17]), что Ап = 0(гГ1!2). Эту же оценку, только уже при условии равномерной ограниченности четвертых моментов, независимо друг от друга и различными способами, показали Гётце и Тихомиров в работе [27], и Гирко (см. [24, 25]).

Важную роль в исследовании скорости сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения занимают гауссовские унитарный и ортогональный ансамбли. Сходимость ожидаемой эмпирической спектральной функции матриц из GUE изучалась в работе [28], где была получена оптимальная оценка Ап = 0(п-1). Нам удалось получить аналогичную оценку и для случая матриц из GOE (см. [11]).

Несколько более сложной является задача оценивания сходимости эмпирической спектральной функции распределения по вероятности. Бай в 2002 г. доказал (см. [17]), что при моментном ограничении sup1-^j<00 Е wijs < оо имеет место оценка А* = 0(п~2/5). Для вигнеровских матриц, элементы которых имеют равномерно ограниченные восьмые моменты, Гётце и Тихомиров (2003 г., [27]) показали оценку А* = 0{n~1!2). Мы рассмотрели матрицу из GUE и показали, для этого частного случая, что А* = (см. [10]).

Деформированный гауссовский унитарный ансамбль.

В этой части введения мы рассмотрим деформированный гауссовский унитарный ансамбль. Это ансамбль вигнеровских матриц, содержащий в себе гауссовскую компоненту. Таким образом, он занимает, в некотором смысле, промежуточное положение между гауссовским унитарным ансамблем и более общим ансамблем вигнеровских матриц. В отличие от гауссовского унитарного ансамбля, этот ансамбль не обладает инвариантностью относительно унитарных преобразований, но, тем не менее, для него удается найти совместную плотность распределения собственных чисел.

Деформированные ансамбли изучались в работах Пастура и Хорунжия начала 90-х (см., например, [36]), также, несколько позднее, в работах Врезана и Хиками (см. [18]). Пастур и Хорунжий рассмотрели деформированный вигнеровский ансамбль вида Hq + где, Но обозначает некоторую фиксированную (неслучайную) эрмитовую матрицу, a W — матрицу Вигнера. Они показали, что если для элементов матрицы Вигнера выполнено обобщенное условие Линдеберга, и эмпирическая спектральная функция матрицы, Но имеет предел, то эмпирическая спектральная функция распределения деформированного вигнеровского ансамбля сходится по вероятности к некоторой неслучайной неубывающей функции. Брезан и Хиками рассмотрели более частный случай, когда случайная матрица W в деформированном ансамбле является матрицей из GUE. Ими была найдена совместная плотность распределения двух собственных чисел матрицы из такого ансамбля. Деформированный гауссовский унитарный ансамбль впервые был рассмотрен в работе Йоханссона [35] 2001 г. В отличие от ансамблей, рассмотренных в предыдущих работах, этот ансамбль является линейной комбинацией двух случайных матриц.

Определение 6. Говорят, что эрмитовая случайная матрица M = 1 порядка п принадлежит деформированному гауссовскому унитарному ансамблю (DGUE), если M = W + аН, а > 0, где W = (wij)fj=г обозначает вигнеровскую случайную матрицу, a H = (hij)?j=i — независимую от.

2 1 2 нее матрицу из GUE, причем Е wij = 1 ^ I ^ j ^ п, и Е hij = 1,.

1 ^l^j^n.

Обозначим Pn (dW) распределение вигнеровской матрицы матрицы W на пространстве эрмитовых матриц %п с мерой Лебега dW. Тогда, очевидно, распределение вероятностей деформированного гауссовского унитарного ансамбля имеет вид.

Qn (dM) = 2-" /V2)~n2/2 J e-^(M-W)Vn (.

Пусть pnx i,., Xk) — совместная плотность распределения к собственных чисел нормированной матрицы^М, а yi,., уп — собственные числа нормированной вигнеровской матрицы матрицы^W. Йоханссон (см. [35]) показал, что если sup^^j^jE wijk < оо, для всех к ^ 1, то pixu., xk) = J pW (x1,., xk]y (W))dPn (yfcW),.

Tin где рР (х 1,., хк-, у) = г^:det (Кп (х^х1у)) ,.

71. ^ / 1 а ядро Кп (и, уу) определяется соотношением п (у2 —и2) т.. ч пе 2а2 Г ¿-г Г ¿-ии (пг (у-и).

КЛи’Щу) = ¡-¡-М Ут 2ЙУг М¹″ е).

1 / а2 V— Уп (у12−2уи>-г2+2иг) х -[т + г-ь—> т-т7-г е ^ .

Л п ^{Ы-У^-УЭ)].

Здесь контур 7 является объединением прямых? —> —t 6 Ж и? Ь-ш, ?6 Ж, для некоторого фиксированного си > 0, а контур Г есть прямая t —У й,? € Ж. Для удобства читателя, доказательство этого представления приведено в приложении А.4.

Результат Йоханссона, при к = 1, позволяет найти интегральное представление для плотности ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения нормированной матрицы^М. Используя это представление, нам удалось показать, что скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из БСиЕ к распределению полукругового закона имеет порядок 0(п~ 3+"), где V — произвольно малое положительное число (см. [31, 9]). Таким образом, наличие гауссовской компоненты позволяет улучшить общий результат, полученный для матриц Виг-нера.

Работа устроена следующим образом. В главе 1 мы исследуем скорость сходимости по вероятности эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского унитарного ансамбля. Далее, в главе 2, мы изучаем скорость сходимости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из гауссовского ортогонального ансамбля. Мы показали, что она имеет оптимальный порядок (9(п-1). В последней главе 3 мы доказываем некоторые оценки для близости ожидаемой эмпирической спектральной функции распределения матрицы из деформированного гауссовского унитарного ансамбля к распределению полукругового закона. Наконец, завершают работу несколько приложений, в которые мы вынесли доказательства ряда вспомогательных утверждений.

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Москва: Наука, 1966. — С. 576.

2. Гирко В. Л. Асимптотика распределения спектра случайных матриц // УМН. 1989. — Т. 44, вып. 4. — С. 7−34.

3. Гирко В. Л. Случайные матрицы. — Киев: Вища школа, 1975. — С. 448.

4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 5-е изд. — Москва: Наука, 1971. — С. 1108.

5. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т.1.— 2-е изд.— Москва: Наука. Физматлит, 1967. — С. 486.

6. Марченко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Матем. сб. — 1967. — Т. 72, вып. 4. С. 507−536.

7. Пастур Л. А. Спектр случайных матриц // ТМФ 1972. — Т. 10, вып. 1.-С. 102−112.

8. Пастур Л. А. Спектры случайных самосопряженных операторов // УМН. 1973. — Т. 28, вып. 1. — С. 4−63.

9. Тимушев Д. А. О скорости сходимости к полукруговому закону Вигнера ожидаемой спектральной функции распределения для матриц из деформированного гауссовского ансамбля // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т. И, вып. 2. — С. 256−257.

10. Тимушев Д. А. О скорости сходимости по вероятности спектральной функции распределения случайной матрицы // Теория вероятностей и ее применения. — 2006. — Т. 51, вып. 3. — С. 618−622.

11. Arnold L. On the asymptotic distribution of the eigenvalues of random matrices // J. Math. Anal. Appl. 1967. — Vol. 20. — Pp. 262−268.

12. Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series // Amer. J. Math. 1965. — Vol. 87. — Pp. 695−708.

13. Bai Z. D. Convergence rate of expected spectral distributions of large random matrices, i. wigner matrices. // Ann. Probab.— 1993. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 625−648.

14. Bai Z. D. Methodologies in spectral analysis of large-dimensional random matrices, a review // Statist. Sinica.— 1999.— Vol. 9, no. 3.— Pp. 611— 677. — With comments by G. J. Rodgers and Jack W. Silversteinand a rejoinder by the author.

15. Bai Z. D. Remarks on the convergence rate of the spectral distributions of wigner matrices. // J. Theoret. Probab. 1999. — Vol. 12. — Pp. 301−311.

16. Bai Z. D., Miao В., Tsay J. Convergence rate of the spectral distributions of large wigner matrices. // Int. Math. J. 2002. — Vol. 1. — Pp. 65−90.

17. Brezin E., Hikami S. Correlations of nearby levels induced by a random potential // Nuclear Phys. B. 1996. — Vol. 479, no. 3. — Pp. 697−706.

18. Deift P. A. Orthogonal polynomials and random matrices: a RiemannHilbert approach. — New York: New York University Courant Instituteof Mathematical Sciences, 1999. — Vol. 3 of Courant Lecture Notes in Mathematics. — Pp. viii+273.

19. Delyon B., Yao J. On the spectral distribution of Gaussian random matrices // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser.~ 2006.— Vol. 22, no. 2, — Pp. 297−312.

20. Forrester P. J.- Snaith N. C., Verbaarschot J. J. M. Developments in random matrix theory // J. Phys. A. 2003. — Vol. 36, no. 12. — Pp. R1-R10. -Random matrix theory.

21. Garoni T. M., Forrester P. J., Frankel N. E. Asymptotic corrections to the eigenvalue density of the GUE and LUE // J. Math. Phys. 2005. — Vol. 46, no. 10.-Pp. 103 301, 17.

22. Girko V. L. Convergence rate of the expected spectral functions of symmetric random matrices equals to o (n~s). // Random Oper. Stochastic Equations. — 1998. Vol. 6. — Pp. 359−406.

23. Gotze F., Kushmanova E. F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law almost surely. // In preparation.

24. Gotze F., Tikhomirov A. Rate of convergence to the semi-circular law // Probab. Theory Related Fields. 2003. — Vol. 127, no. 2. — Pp. 228−276.

25. Gotze F., Tikhomirov A. The rate of convergence for spectra of GUE and.

26. E matrix ensembles // Cent. Eur. J. Math. — 2005.— Vol. 3, no. 4.— Pp. 666−704 (electronic).

27. Gotze F., Tikhomirov A. N. Rate of convergence to the semi-circular law for the Gaussian unitary ensemble // Теория вероятностей и ее применения. 2002. — Т. 47, вып. 2. — С. 381−387.

28. Gotze F., Tikhomirov А. N. Rate of convergence in probability to the marchenko-pastur law. // Bernuolii. — 2004. — Vol. 10, no. 1. — Pp. 1−46.

29. Gustavsson J. Gaussian fluctuations of eigenvalues in the GUE // Ann. Inst. H. Poincare Probab. Statist. 2005. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 151−178.

30. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix analysis. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.— Pp. xiv+561.— Corrected reprint of the 1985 original.

31. Itzykson C., Zuber J. B. The planar approximation. II // J. Math. Phys. -¦1980. Vol. 21, no. 3. — Pp. 411−421.

32. Johansson K. Universality of the local spacing distribution in certain ensembles of hermitian wigner matrices. // Comm. Math. Phys. — 2001. — Vol. 215, no. 3. Pp. 683−705.

33. Khorunzhy A. M., Pastur L. A. On the eigenvalue distribution of the deformed Wigner ensemble of random matrices // Spectral operator theory and related topics. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994. — Vol. 19 of Adv. Soviet Math. Pp. 97−127.

34. Konig W. Orthogonal polynomial ensembles in probability theory // Probab. Surv. 2005. — Vol. 2. — Pp. 385−447 (electronic).

35. Kowalewski G. Einfuhrung in die Determinantentheorie einschliesslich der Fredholmschen Determinanten. — New York, N. Y.: Chelsea Publishing Co., 1948. P. 320. — 3te Aufl.

36. Mehta M. L. Random matrices.— Third edition.— Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004. — Vol. 142 of Pure and Applied Mathematics (Amsterdam). — Pp. xviii+688.

37. Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series. I, II // Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970), 419−431- ibid. 1970, — Vol. 147.-Pp. 433−460.

38. Pastur L. Random matrices as paradigm // Mathematical physics 2000. — London: Imp. Coll. Press, 2000. Pp. 216−265.

39. Pastur L. A. Random matrices as paradigm. // Mathematical physics 2000. London: Imp. Coll. Press, 2000. — Lecture Notes in Math. — Pp. 216 265.

40. Pisier G. Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces // Probability and analysis (Varenna, 1985).— Berlin: Springer, 1986. — Vol. 1206 of Lecture Notes in Math.-Pp. 167−241.

41. Wigner E. P. On the statistical distribution of the widths and spacings of nuclear resonance levels. // Proc. Camb. Phil. Soc.— 1951.— Vol. 47.— Pp. 790−798.

42. Wigner E. P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. // Ann. of Math. 1955. — Vol. 62. — Pp. 548−564.

43. Wigner E. P. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices // Ann. of Math. (2). 1958. — Vol. 67. — Pp. 325−327.