Ряды экспоненциальных мономов

Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов, т. е. рзхдов вида.

00,771^—1 dk, nznexp (Afcz). к=1,п=0.

Исследуется задача описания пространства коэффициентов сходящихся рядов (0.1), характер сходимости этих рядов, описывается область их сходимости и изучается вопрос о продолжении сходимости рядов (0.1). Кроме того, исследуется распределение особых точек суммы ряда (0.1) на границе области сходимости и изучается задача о замкнутости множества таких сумм. Последняя называется также проблемой фундаментального принципа для инвариантных подпространств.

Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями — рядами экспонент (т.е. рядами вида (0.1), где тк = 1, к = 1,2,.), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (0.1), где тк = 1 и Хк — положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Ж. Полиа, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, JI. Шварца, Б. Я. Левина, А. Ф. Леонтьева, Г. Л. Лунца и многих других математиков.

Ряды экспоненциальных мономов являются естественным обобщением рядов экспонент. Достаточно полное изложение теории последних имеется в монографии, А Ф. Леонтьева [1]. Основной результат теории рядов экспонент, ставший уже классическим, также принадлежит А. Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области D с С, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Я2, ¦•• при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора. Поскольку запас собственных функций оператора дифференцирования в #(D) достаточно большой (точнее говоря, все экспоненты), то существует много различных наборов показателей Я2,., при помощи которых удается получить представление всех функций из H (D) посредством ряда экспонент. Если же от всего пространства H (D) перейти к его замкнутому подпространству W, инвариантному относительно оператора дифференцирования (таковым является, например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, одних 7 лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из W. Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования в W. Таковыми являются экспоненциальные мономы zn exp (Xkz), п = 1, ., тк — 1, где тккратность собственного значения Лк. Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространства W с #(?)) по собственным и присоединенным функциям этого оператора называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом JL Эйлера.

Таким образом, важное значение приобретают вопросы, связанные с поведением рядов вида (0.1) и их сумм. Исследованию подобных вопросов и посвящена диссертация. В частности, в ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Исследованы особые точки сумм таких рядов на границах областей их сходимости. Получено также необходимое условие замкнутости множества всех таких сумм. Этот результат позволяет снять последнее ограничение, присутствовавшее до сих пор при решении проблемы фундаментального принципа.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.

3. Hille Е. Note on Dirichlet’s series with complex exponents. Ann. Of Math. 1924. V. 25. P. 261−278.

4. Лунц Г. Л. О некоторых обобщениях рядов Дирихле. Матем. сб. 1942. Т. 10(52), № 1−2, С. 35−50.

5. Лунц Г. Л. Об одном классе обобщенных рядов Дирихле. УМН. 1957. Т. 12, вып. 3(75). С. 173−179.

6. Братищев А. В. Базисы Кете, целые функции и их приложения. Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1995.

7. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

8. J. Hadamard. Essai sur l’etude des fonctions donnes par lenr developpement de Taylor. J. Math. Pures Appl. Ser. (4). 1892. V. 4(8). P.101−106.

9. E. Fabty. Sur les points singuliers d’une function donnee par son developpement de Taylor. Ann. Ecole Norm. Sup. (3). 1896. V. 2. P.367−399.

10. G. Polya. Uber die Exiistenz unendlich vieler singularer Punkte auf der Kovergenzgeraden gewisser Dirichlet’sher Riehen. Sitzungber. Preub. Akad. Wiss. 1923. P. 45−50.

11. G. Polya. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Luckensatzes. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. 1927. V.2. P. 187−195.

12. V. Bernstein. Lecons sur les progress recents de la theorie des series de Dirichlet. Paris Gauthier-Villars, 1933.

13. A. Ostrowski. Uber die analytishe Fortsetzung von Taylorshen und Dirichletchen Reihen. Math. Ann. 1955. V. 129. P. 1−43.

14. Г. Л. Лунц. О рядах Дирихле с комплексными показателями. Матем. сб. 1965. Т.67 (109), № 1. С. 89−134.

15. Г. Л. Лунц. Ряд Дирихле с неизмеримой последовательностью комплексных показателей. Матем. сб. 1965. Т. 68 (110), № 1. с. 58−62.

16. С. Мандельбройт. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. ИЛ, 1955.

17. А. С. Кривошеев Критерий фундаментального принципа для инвариантных подпространств. Доклады РАН. 2003. Т.389, № 4. С. 457−460.

18. А. С. Кривошеев Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях. Известия РАН. Серия матем. 2004. Т.68. № 2. С.71−136.

19. Б. Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

20. П. Лелон, Л. Груман. Целые функции многих комплексных переменных. Мир, М., 1989.

21. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

22. И.Ф. Красичков-Терновский. Инвариантные подпространства аналитических функций. III: О распространении спектрального синтеза. Матем. сб. 1972. Т. 88 (130). № 3. С. 331−352.

23. P. Koosis. The logarithmic integral II. Cambridge: University Press. 1992.

24. Valiron G. Sur les solutions des equations differentielles lineaires d’ordre infini et a coefficients constants. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 1929. V.46. № 1. P.25−53.

25. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodique. Ann. Math. 1947. V. 48. № 4. P. 857−929.

26. Гельфонд A.O. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. инст. им. В. А. Стеклова. 1951. Т. 38.

27. Dickson D.G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients. Memor. Amer. Math. Soc. 1957. V. 23. P. 1−72.

28. Левин Б. Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжа к теории целых функций. Матем. сб. 1940. Т.8. № 3. С. 437−454.

29. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы// Известия АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. № 5. С. 1066−1144.

30. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы// УМН. 1981. № 1. 73−126.

31. Братищев А. В., Коробейник Ю. Ф. Интерполяционная задача в пространствах целых функций конечного порядка// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т.40. № 5. С. 1102−1127.

32. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

33. Напалков В. В., Кривошеева О. А. Теоремы Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Доклады Академии Наук. 2010. Т.432. № 5. С.18−20.

34. Кривошеева О. А. Ряды экспоненциальных мономов в комплексных областях. Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. Математика. Т.9, № 3(21). С.96−104. Уфа. УГАТУ 2007.

35. Кривошеева О. А. Об особых точках суммы ряда экспонент. Уфимский математический журнал. Т.1, № 4. С. 2009. С. 78−109.

36. Кривошеева О. А. Фундаментальный принцип Л. Эйлера для инвариантных подпространств. Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. С. 131 -140. РИЦ БашГУ 2008.

37. Кривошеева О. А. О замкнутости множества сумм экспоненциальных мономов. Труды XLV международной научной студенческой конференции «студент и научно-технический прогресс». Математика. С.43−52. Новосибирск. НГУ 2007.

38. Кривошеева О. А. Обобщение теоремы Абеля для рядов экспонент. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. Математика. Т.З. РИО БашГУ. С.31−37. 2005.

39. Кривошеева О. А. Сходимость рядов экспоненциальных мономов. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентоваспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. РИО БашГУ. С. 65. 2005.

40. Кривошеева О. А. Сходимость рядов экспонент. Материалы XLIV международной научной студенческой конференции «студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск. НГУ. С. 18. 2006.

41. Кривошеева О. А. Радиусы сходимости для рядов экспонент. Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Материалы пятой молодежной научной школы-конференции. Издательство Казанского математического общества. Т.34. С.131−132.2006.