В настоящее время решение задач статики и термоупругости пластин и оболочек сложной геометрии методом граничных элементов (МГЭ) наталкивается на следующие трудности:
— невозможность построения фундаментального решения явного компактного аналитического вида для оболочек сложной геометрии срединной поверхности;
— существенная осложненность использования фундаментального решения оболочек частного вида (пологая оболочка положительной двоякой кривизны, цилиндрическая круговая оболочка) при численной реализации МГЭ из — за представления этого решения в виде рядов и специальных функций;
— высокий порядок сингулярности ядер интегральных уравнений, затрудняющий численное интегрирование граничных интегральных уравнений (ГИУ) на контуре и в угловых точках оболочки (метод компенсирующих нагрузок (МКН) для Кирхгофовских пластин).
В настоящее время наиболее разработан МГЭ для определения параметров напряженно — деформированного состояния (НДС) кирхгофовских пластин со сложным очертанием контура срединной поверхности (МКН). Это, очевидно, объясняется наличием явного компактного аналитического вида фундаментальных решений разрешающих уравнений изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния пластины.
Для пологих оболочек нулевой, положительной гауссовой кривизны применение МГЭ в задачах статики и термоупругости имеет следующие особенности:
— МГЭ, в основном, используется при определении параметров НДС пологих цилиндрических и сферических оболочек со сложной геометрией контура;
— при вычислении МГЭ параметров НДС пологих оболочек положительной и отрицательной кривизны применяется итерационный метод, в основу которого кладется процедура выделения из разрешающих уравнений пологих оболочек оператора с известным фундаментальным решением (оператор бесконечной пластины, цилиндрической оболочки, сферической оболочки).
Для решении квазистатических задач термоупругости МГЭ в настоящее время в отечественных и зарубежных работах используется прием, основанный на формальном доопределении:
— трехкомпонентного искомого вектора перемещений четвертой искомой компонентой — температурой;
— оператора Ламе оператором уравнения нестационарной теплопроводности.
При этом матрица фундаментальных решений трехмерной теории упругости — матрица Кельвина расширяется до новой матрицы фундаментальных решений размерности (4×4). С помощью новой матрицы фундаментальных решений и формулы Грина расширенного оператора строится ГИУ и на его основе МГЭ, решается задача по определению параметров НДС трехмерного тела при нестационарном термосиловом нагружении.
Следует отметить, что в этом ГИУ присутствуют:
— объемные интегралы от произведения фундаментального решения задачи теплопроводности и температуры тела в начальный момент времени, а также от объемного. источника тепла;
— поверхностный интеграл от временной свертки функции влияния сосредоточенного источника тепла и функции температуры. При решении указанных форм ГИУ методом граничных элементов возникает необходимость дискретизации объема, что практически сводит на нет основное преимущество метода — понижение размерности решаемой задачи на единицу.
В имеющихся в литературе работах предполагается, что объемные источники тепла отсутствуют, а начальная температура тела — нулевая.
Принимая во внимание выше изложенное, можно заключить, что в настоящее время в области применения МГЭ для решения задач статики и нестационарной термоупругости оболочек и трехмерных тел сложной геометрии остаются актуальными:
— проблема разработки единого метода построения интегрального представления решения разрешающих уравнений различных теорий оболочек сложной геометрии, который не имеет ограничений на пологость, знак кривизны оболочки, а также использует функцию влияния, имеющую конечное аналитическое представление;
— построение на основе этих интегральных представлений ГИУ, позволяющих с помощью МГЭ решать задачи статики оболочек со сложной геометрией контура и срединной поверхности;
— построение нового варианта ГИУ нестационарной задачи теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, в которых при некоторых допущениях о распределении объемных сил и источников тепла и о начальном распределении температуры указанные выше объемные интегралы в ГИУ для задачи нестационарной теплопроводности сводятся к поверхностнымв ГИУ для задачи термоупругости в поверхностных интегралах отсутствуют свертки по времени, что значительно сокращает объем вычислений при численной реализации.
Цель настоящей работы состоит в том, чтобы:
— разработать единый метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений различных теорий оболочек сложной геометрии типа Тимошенко, на основе этого представления построить ГИУ и разрешающие уравнения МГЭ;
— построить новый вариант ГИУ нестационарной задачи теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, в котором при некоторых допущениях о распределении объемных сил и источников тепла и о начальном распределении температуры имеются лишь поверхностные интегралы, а также отсутствуют свертки по времени в ГИУ задачи термоупругости.
Научная новизна исследования и полученных результатов заключается в следующем. В данной работе предложен новый метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко. Основными положениями этого метода являются:
— запись уравнений равновесия для фундаментального решения трехмерной теории упругости — вектора Кельвина в криволинейной системе координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки;
— использование приближенной формы уравнений равновесия для вектора Кельвина в рамках упрощающих предположений тонкой или пологой оболочки;
— выделение из уравнений равновесия для вектора Кельвина дифференциального оператора, соответствующего рассматриваемой теории оболочек;
— построение интегрального представления вектора перемещений элементов оболочки с помощью формулы Грина для дифференциального оператора уравнений равновесия рассматриваемой теории.
С помощью этого метода в работе получены интегральные представления решений разрешающих уравнений теорий оболочек в рамках подхода И. Н. Векуа и С. П. Тимошенко. Проведен анализ эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи определения параметров НДС оболочки, а также предложен способ получения ГИУ и построения разрешающих уравнений МГЭ. Предлагаемый метод получения интегрального представления решения уравнений равновесия теорий оболочек обладает достаточной универсальностью, не требует построения фундаментального решения уравнений равновесия этих теорий, а также обеспечивает построение интегральных уравнений 2 — го рода для определения неизвестных параметров на контуре и срединной поверхности оболочки сложной геометрии.
Предложены новые формы ГИУ для решения задач нестационарной теплопроводности и квазистатической несвязанной задачи термоупругости, позволяющие в любой точке однородного изотропного тела определять как параметры теплового поля, так и параметры напряженно-деформированного состояния только через поверхностные интегралы. Проведен процесс регуляризации поверхностного интеграла в ГИУ задачи термоупругости, связанного с температурным воздействием на поле напряжений упругого тела, в угловых и регулярных точках его поверхности.
На основе новых форм ГИУ задач статики и нестационарной термоупругости оболочек и трехмерных тел сложной геометрии МГЭ решены тестовые (имеющие аналитические решения) и другие задачи, имеющие практическое значение.
Достоверность научных результатов, полученных в работе, обеспечивается строгостью постановок задач и применяемых математических методов, контролем сходимости приближенных решений к аналитическим, сравнением, где это возможно, с результатами исследований других авторов.
Практическая ценность исследований обусловлена тем, что предложенные в настоящей работе новые формы ГИУ и на их основе разрешающие уравнения МГЭ для решения задач термоупругости элементов конструкций сложной геометрии могут быть использованы в качестве альтернативных МКЭ, разностному методу и др. Наличие альтернативных методов в практике численного решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволит проводить сравнительный анализ результатов, полученных различными методами.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.
1. Предложен метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко, основанный на:
— записи уравнений равновесия для фундаментального решения оператора Ламе — вектора Кельвина в криволинейной системе координат, нормально связанной со срединной поверхностью оболочки сложной геометрии;
— выделении из точных уравнений равновесия для вектора Кельвина в нормальной системе координат оболочки дифференциального оператора, соответствующего дифференциальному оператору исходной теории оболочек;
— построении интегрального представления решения уравнений равновесия рассматриваемой теории оболочек с помощью формулы Грина дифференциального оператора этих уравнений, где в качестве векторов перемещений используются вектор перемещений элементов оболочки и вектор Кельвина.
Предлагаемый метод получения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко обладает достаточной универсальностью, не требует построения фундаментального решения уравнений равновесия этих теорий, а также обеспечивает построение интегральных уравнений 2-го рода для определения неизвестных параметров на контуре и срединной поверхности оболочки сложной геометрии.
2. С помощью предложенного метода в работе впервые построены интегральные представления решений разрешающих уравнений теорий оболочек в рамках подхода И. Н. Векуа и С. П. Тимошенко. В качестве сингулярных ядер в этих представлениях выступают векторы перемещений и напряжений Кельвина и их моменты разложения по полиномам Лежандра от.
— 261 нормальной координаты оболочки. Перечисленные векторы имеют явный компактный аналитический вид.
3. В работе проведен анализ эквивалентности дифференциальной и интегральной постановок задачи определения параметров НДС тонких или пологих изотропных оболочек сложной геометрии. Показано, что в рамках предположений о геометрии оболочки множества векторов перемещений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия оболочки и их интегральным представлениям, эквивалентны для подхода И. Н. Векуа, а также для теорий оболочек С. П. Тимошенко с учетом пренебрежения погрешностью, малой для этой теории.
4. Предложен способ получения ГИУ рассматриваемых в работе теорий типа Тимошенко, основанный на разложении интегральных представлений искомых векторов перемещений по полиномам Лежандра от нормальной координаты оболочки и предельных соотношений для сингулярных интегралов на её боковой поверхности. С помощью полученных ГИУ построены разрешающие уравнения МГЭ.
5. Получены новые формы ГИУ для решения задач нестационарной теплопроводности и квазйстатйЧеской несвязанной задачи термоупругости, позволяющие в любой точке однородного изотропного тела определять как параметры теплового поля, так и параметры напряженно-деформированного состояния только Через поверхностные интегралы при наличии начального ненулевого распределения температуры и объемных источников тепла. Такая форма получена с помощью: введения функции изменений температуры и теплового потока на поверхности тела по отношению к начальному стационарному состоянию в предположении, что поле температуры начального состояния удовлетворяет стационарному уравнению теплопроводностипредставления фундаментального решения уравнения нестационарной теплопроводности в виде дивергенции некоторого вектора.
— 262.
В ГИУ для решения квазистатической несвязанной задачи термоупругости отсутствуют поверхностные интегралы от временных сверток, что достигается с помощью использования нестационарного уравнения теплопроводности и фундаментального решения уравнения Лапласа.6. Выполненоразделение-сингулярного поверхностного интеграла в ГИУ ¦задашь термаупрушсти,.^йшащо110. е температурным, воздействием, поле напряжений упругого тела, на регулярные и существующие в смысле главного значения по Коши интегралы как в угловых так и регулярных точках его поверхности. Такое разделение удалось осуществить с помощью привлечения предположения о свойствах кусочно — гладкой поверхности типа Ляпунова исследуемого упругого тела и дополнительных предположений о удовлетворении функции температуры и её производных на замыкании области, занятой этим телом, условию Гёльдера. На основании указанных предположений показано, что исследуемый поверхностный интеграл в ГИУ задачи термоупругости при переходе через поверхность упругого тела не терпит разрыв.
7- С целью подтверждения возможности применения полученных новых форм ГИУ для решения задач статики и нестационарной термоупругости изотропных оболочек и объемных тел сложной геометрии в работе МГЭ: решены тестовые (имеющие аналитическое решение или решенные другими V методами) и прикладные. 'задачи по определению парметров. НДС этих объектовИз результатов следует, что полученные новые формы ГИУ и построенные на их основе разрешающие уравнения МГЭ позволяют решать задачи статики и нестационарной термоупругости изотропных оброчек и объемных тел сложной геометрии с удовлетворительной точностью.
