Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для одновыборочных и многовыборочных U-статистик от разнораспределенных случайных величин

Теория (/-статистик начала развиваться после выхода работ Халмоша [32] в 1946 году, где была определена (/-статистика как оценка регулярного функционала, и Гефдинга [34] в 1948 году, где были описаны некоторые свойства (/статистик, доказана центральная предельная теорема, приведены многочисленные примеры.

Являясь обобщением сумм случайных величин, [/-статистики в случае невырожденности асимптотически им эквивалентны Кроме того, (/-статистики проявляют мартингальные свойства, что позволяет применять к ним мартин-гальные предельные теоремы.

Интерес к этому математическому объекту постоянно возрастает и находит широкое применение в различных разделах теории вероятностей и математической статистики, например, в теории оценивания: [27, 41], в теории проверки гипотез: [30, 43, 44, 49, 46] или в теории случайных графов: [24, 50].

Одним из классических вопросов теории вероятностей является нахождение скорости сходимости статистик в центральной предельной теореме. Для (/статистик, построенных по выборке из независимых случайных величин, этот вопрос в настоящее время глубоко исследован.

Целью данной работы является исследование невырожденных одновыбо-рочных и многовыборочных (/-статистик в случае неодинаково распределенных случайных величин. Для одновыборочных (/-статистик — получение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при минимальноых моментных предположениях на ядро. Для многовыборочных — доказательство центральной предельной теоремы с оцениванием скорости сходимости в ней.

Диссертация состоит из шести глав Первая глава носит обзорный характер. В ней даны основные определения, представлены некоторые свойства и примеры (/-статистик, сделан обзор имеющихся результатов, а также описаны основные методы исследования, применявшиеся автором.

Во второй главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/-статистик второй степени. В третьей главе получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для (/статистик произвольной степени.

Четвертая и пятая главы посвящены многовыборочным (/-статистикам. В четвертой главе доказывается центральная предельная теорема, а в пятой изучается скорость сходимости к нормальному закону.

В шестой главе расматриваются приложения к конкретным задачам. Рассматриваются примеры (/-статистик, появляющихся при изучении характеристик случайных графов.

По теме диссертации опубликовано 6 работ, они перечислены в конце списка литературы под номерами [52]-[57]. Результаты диссертации докладывались на шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Санкт-Петербурге в 2005 г.- на пятой Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах» в Санкт-Петербурге в 2001; на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И. А. Ибрагимова в 2001 г.

1 Основные понятия.

1.1 Одновыборочные [/-статистики.

Пусть Х,., Хп — независимые случайные величины со значениями в измеримом пространстве (Х, В), не обязательно имеющие одинаковое распределение. Предположим, что тг > т > 1 и для всех 1 < г <. < гт < п рассмотрим функции Фг, 1т: Хт —У И — симметрические относительно своих аргументов, такие что.

ЕФи 1 т (Хп,. -, Х1т) < оо. Определим [/-статистику ип = ил (Фи гт) =? Ф&bdquo- ."(-у,.х1т) (1.1).

1<11< <"т<" .

Рассмотрим случай, когда Х,., Хп — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения в измеримом пространстве (X, В) и имеющие на нем распределение Р. Пусть V — некоторое подмножество множества всех вероятностных распределений на (X, В). Определим для Р е V функционал 9(Р), заданный на? и принимающий значения в И. Пусть в (Р) является параметрическим или регулярным, т е для него существует несмещенная оценка и пусть ш, (т <п) — наименьший объем выборки, для которою существует несмещенная оценка Ф (:Г1,., хт), тогда можно записать следующее представление для в (Р) в (Р) =[•¦•[ Цхи. ,^т)Р (^1). Р{(1хт) для любого Р е Р, Функция Ф (жх,., хт) назывется ядром, а число т> 1 -степенью функционала 6(Р). Не уменьшая общности можно предполагать, что Ф является симметрической функцией относительно своих аргументов, т.к. в противном случае можно рассмотреть симметрическое ядро Фо, определяемое следующим образом где суммирование осуществляется по всем перестановкам (г1}., гт) чисел (1 ,., ш).

Тогда, если для симметрического ядра Ф (х,., хт) определить II-статистику как ип = ип (Ф)=(«)? Ф (Хг1,., Х1т), (1.2) / 1<Ц< <1т<�П то и&bdquoбудет симметрической несмещенной оценкой в (Р), т.к. Е11п = в (Р) для любого Р и п> т.

Замечание. Часто и для случая неодинаково распределенных случайных величин ¿-/-статистики определяют с соответствующей нормировкой, будем обозначать такие [/-статистики через ип К гт (Хп,., Х1т). (13) / 1 <11 < <1т<�П.

В. Гефдинг [35] показал, что справедливо следующее представление Vстатистик т т ип-Еип =^Ы9г1 .с) = Е Е 9ч =.

С= 1 С=1 1<Ц < <1с<�п п ?&+ Е Л1"2 + ¦ ¦ ¦ + Е 5.1.2 «т» (Ы).

1=1 1<11<12<П 1<�"1< <1т<�П где дч 1С = дн гс{Хг1,., Х1с) с 1 < гх <. < гс < п, с = 1,., т, — канонические функции, которые определяются как дп, с= I. иаЦ (*х, РиУуи)) П РМУ") = х «=1 *ат1с Е Е (-1ГЩипхп,., хи]-Еип), (1.5).

11<л< где 1 т = ги., гт, 1С = ги., гс, при этом 1С? 1 т, = и 5Х — ¿—мера.

Дирака:

-<�л>=и хлаа для любых х € X и, А € В.

Канонические функции являются симметическими функциями своих аргументов и обладают свойством полной вырожденности е{9п 1С (ХЧ1- —, Х},. ., х1с)} = О при ] 6 1С.

Рангом {/-статистики называется первое целое число г, для которого выполняются соотношения.

9и = 9Ь = • ¦ ¦ = 91 Г1 = О для любых комбинаций индексов /??/г,.',/гь и существует такой набор индексов {гь г2,., гг} в {1,2,., п}, что.

9 г 1 1 г Ф О.

Из определения следует, что г принимает значения 1,2,., т. Если г > 2, то [/-статистика называется вырожденной, если г = 1, то [/-статистика называется невырожденной. В данной работе будем рассматривать только невырожденные [/-статистики. Положим з= тогда из условия невырожденности [/-статистики следует О.

В случае одинаково распределенных случайных величин разложение Геф-динга имеет следующий вид т /шч.

Ъ-0(Р) = Е ' ип (дс) =.

С=1 с т / / — 1 т п 4 Е с Е дЛ,.

С=1 / / 1<�"1< <1 т<�п где. с т.

9с{х 1,., хс)=. Ф{уи., ут)][{йт№у*)-р{<1у*)) П р{4у*) =.

11<л< <�ц<�с.

Дисперсия [/-статистики. Положим в1т=ЕФ1т (Хп,., Х1т),.

Тогда по определению дисперсия [/-статистики оип) = Е (ип — Еип)2 = т С—1 где означает суммирование по всем индексам Ьс =., 1с, 1тп-с = Ч,—-, 1т-с, Лп-с -^ш-с таким, ЧТО.

1 <. <1с<�п, 1<1х < .< 1т-с <71, 1<31< .< Зт-с < п, к Ф г", к ф Зз, Ч ф За при всех к, я.

Если Хх,., Хп — независимые одинаково распределенные случайные величины, то каждое слагаемое под совпадает с где т1с = Е (Фс-ЕФс)2,.

ФС = ФС{ХЬ. ., Хе) = ЕФ (хь. Число таких слага. Тогда.

Заключение

.

Результатами настоящей работы являются оценки скорости сходимости [/статистик в случае неодинаково распределенных случайных величин к нормальному закону при различных предположениях о существовании моментов канонических функций. При этом полученные теоремы обобщают имеющиеся результаты, касающиеся случая одинаково распределенных случайных величин, в частности дают оценку порядка 0(1//п) при минимальных моментных условиях на ядро.

Для многовыборочных [/-статистик доказана центральная предельная теорема при близких к оптимальным условиях на канонические функции для выборок состоящих из независимых не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Кроме того, получены оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме. Примеры 3 и 4 главы б рассматривают некоторые задачи, в которых появляется необходимость изучения таких [/-статистик.