Теория функций 2-х переменных является одной из важных тем функционального анализа. В работе будут описаны лишь некоторые аспекты, а имеенно: предел и непрерывность функций 2-х переменных.
Ещё одним рассматриваемым вопросом станет функция распределения случайной величины и её свойства, а также описание дискретных и непрерывных случайных величин.
1. Функции 2-х переменных. Предел и непрерывность функции 2-х переменных.
1.1 Определение функции 2-х переменных.
Сперва дадим определение функции нескольких переменных:
Переменная u называется функцией нескольких переменных f (x, y, z,., t), если для любой совокупности значений (x, y, z,., t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u. Множество совокупностей значений переменной называют областью определения функции.
Для функции двух переменных определение следующее:
Переменная z называется функцией 2-х переменных f (x, y), если для любой пары значений (x, y), принадлежащих области определения ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Пары тех чисел, которые (по условию вопроса) могут быть значениями переменных x и y функции f (x, y), в совокупности составляют область определения этой функции.
Геометрически область определения изображается некоторой совокупностью точек плоскости XOY.
Например, произведение сомножителей x и y есть функция двух переменных f (x, y)=xy, где переменные могут быть произвольными.
Область определения этой функции есть вся числовая плоскость.
Так, для функции z=f (x, y)=xy
При x=1 и y=1 имеем z=1,
При x=2 и y=3 имеем z=6,
При x=4 и y=0 имеем z=0 и т. д.
Не исключено, что значение функции f (x, y) меняется в зависимости от x, но остаётся одним и тем же при изменении y. Тогда функцию двух переменных можно рассматривать как функцию одной переменной x. Если же значение f (x, y) остаётся одним и тем же при любых значениях обоих переменных, то функция двух переменных оказывается постоянной величиной.
Например: Суточное количество осадков (h, мм) на территории некоторой области есть функция широты и долготы места наблюдения. Но не исключено, что суточное количество осадков в направлении с юга на север остаётся неизменным и меняется с востока на запад. Тогда h можно рассматривать как функцию одного аргумента .
Если в течении суток по всей области осадки не выпадали, то h постоянная величина (равная 0).
1.2. Предел функции 2-х переменных.
Пусть задана функция двух переменных z=f (x, y), M (х, у)-текущая точка, M0(х0,у0) — рассматриваемая точка.
Окрестностью точки M0 называется круг с центром в точке M0 и радиусом =. Число, А называется пределом функции в точке M0, если для любого сколь угодно малого числа можно указать такое число >0, что для всех M, удовлетворяющих условию выполняется неравенство: f (x, y) А , т. е. для всех точек M, попадающих в окрестность точки M0, с радиусом , значение функции отличается от, А меньше чем на по абсолютной величине. А это значит, что когда точка M приблизится к точке M0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
Пример: Выясним, имеет ли функция предел при
Пусть точка M (x, y) стремится к точке M0 (0,0). Рассмотрим изменение x и y вдоль прямой y=kx. Последовательно получаем:
При различных значениях k получаем различные результаты, следовательно, функция предела не имеет.
1.3. Непрерывность функции 2-х переменных.
Пусть задана функция z=f (x, y), M (х, у)-текущая точка, M0(х0,у0) — рассматриваемая точка.
Функция z=f (x, y) называется непрерывной в точке M0, если выполняются 3 условия:
1) В точке M0 функция f (x, y) имеет определённое значение;
2)функция имеет предел в этой точке.
3)Предел равен значению функции в этой точке: = f (x0,y0);
.
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва.
Функция f (x, y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1: Функция f (x, y) заданна формулами:
f (0,0)=0,
f (x, y)=
Функция f (x, y) непрерывна в точке M0(0,0). Действительно, она имеет в точке М0 значение 0, кроме того, она имеет здесь предел, тоже равный 0. Во всех остальных точках числовой плоскости функция f (x, y) тоже непрерывна. Поэтому она непрерывна в любой области.
Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
Пример 2: Найти точку разрыва функции
Функция не определена в точках, координаты которых удовлетворяют условию или. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу .
2. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и её свойства.
2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины.
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента — случайное событие. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, — случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать в зависимости от исходов испытания те или иные значения.
Если при этом переменная принимает последовательные различные значения и известны вероятности каждого из них, то она называется дискретной случайной величиной.
Дискретная случайная величина определена, если даны все её возможные значения x1, x2,xn, число которых может быть как конечным, так и бесконечным, и соответствующие вероятности P (xi)=pi .
В отличии от дискретной случайной величины, епрерывная случайная величина может принимать все значения в заданных границах (внутри некоторого отрезка) или на всей числовой оси.
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае — с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества — из промежутка числовой прямой I=[100, 250]).
