Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:

1. пределы интегрирования и являются конечными;

2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .

В данном случае определенный интеграл называется собственным.

Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.

Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.

Если хотя бы одно из условий 1. 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.

В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.

Найдем условия сходимости и расходимости несобственного интеграла

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .

Таким образом:

a) если, то

b) если то .

Если, то .

Вывод: данный интеграл сходится при и расходится при .

Пример 2.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Если, то

Следовательно, если, то несобственный интеграл расходится.

Если то

Этот предел будет бесконечным при или; он будет равен постоянной при или. Итак данный интеграл сходится при

Пример 3.

Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл

.

Находим .

Данный предел будет бесконечным при или; он будет равен при или .

Если, то, следовательно, при интеграл расходится.