О симметрии области в задачах теории ветвления

После основополагающих работ А. Н. Ляпунова [49], А. Пуанкаре [61] и Э. Шмидта [69] в теории ветвления решений нелинейных уравнений наступило относительное затишье. В 1924 году А. И. Некрасовым [57] была решена плоская задача о волнах на поверхности слоя тяжелой жидкости. Были выполнены известные исследования Н. Н. Назарова [55] по ветвлению решений нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна. С конца 50-х годов начинается интенсивное развитие теории ветвления. М. А. Красносельским [23] была доказана теорема существования разветвляющихся решений задачи о точках бифуркации, в работах В. А. Треногина получает развитие метод диаграммы Ньютона [73] и аппарат обобщенных жордановых цепочек [74,75]. В работах П. Г. Айзенгендлера, М. М. Вайнберга, В. А. Треногина [7,8], применяется кронекеровский метод исключения для исследования уравнения разветвления. Состояние теории ветвления к концу 60-х годов отражено в монографии М. М. Вайнберга, В. А. Треногина «Теория ветвления решений нелинейных уравнений» [9]. В 70-х годах Н. А. Сидоровым и В. А. Треногиным была доказана наиболее общая теорема, существования решений задачи о точках бифуркации [76], развита общая теория регуляризации в задачах теории ветвления [64],[65]. Полученные результаты изложены в докторской диссертации Н. А. Сидорова, изданной в качестве монографии [63].

Первые результаты по использованию групповой симметрии в задачах теории ветвления были получены В. Й. Юдовичем [78] в 1967 году и применены его учениками в ряде конкретных прикладных задач гидродинамики. Это задачи о тепловой конвекции в жидкости [19,24,7073,77], вторичных стационарных течениях жидкости между вращающимися цилиндрами [60], о возникновение конвекции в самогравитирующем жидком шаре, нагреваемом изнутри [25], нелинейно-возмущённое уравнение Гельмгольца на поверхности сферы [4,5]. Результаты В. И. Юдовича были развиты в работах Б. В. Логинова и В. А. Треногина [44,45]. Они позволили строить асимптотику разветвляющихся семейств многопараметрических решений, когда знания конечного количества коэффициентов уравнения разветвления (УР) оказывается недостаточным для его исследования. Были предложены способы редукции (понижения порядка уравнения разветвления по числу уравнений и неизвестных), позволяющие строить асимптотику семейств малых решений по конечному набору коэффициентов УР. Это направление получило дальнейшее развитие в работах Б. В. Логинова, обзор которых (и одновременно общей теории ветвления в условиях групповой симметрии) до 1980 г. содержится в монографии [24]. Были предложены различные варианты редукции уравнения разветвления, в том числе с помощью полной системы функционально-независимых инвариантов действия группы в подпространстве нулей линеаризованного оператора, доказана теорема о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи. Эта теорема поставила вопрос определения общего вида уравнения разветвления по допускаемой им группе симметрий. Для ее решения в работах Б. В. Логинова [25] и Б.Н.ЗаШ^ег'а [68] были предложены различные схемы теории инвариантов [32−34]. Однако в большинстве случаев эти методы позволяли построить только главную часть уравнения разветвления. Для решения указанной задачи наиболее эффективными оказались методы группового анализа дифференциальных уравнений [18,58,59].

Приведем для полноты изложения общие схемы вывода эквивалентного нелинейной задаче уравнения разветвления и построения его общего вида по допускаемой им группе симметрии. Здесь и далее будем использовать терминологию и обозначения работ [9,24].

Рассматривается линейный ограниченный нетеров оператор В. Если п = (ИтпЫ^В) — размерность подпространства нулейга = сИтЫ* (В) -размерность подпространства дефектных функционалов, то число? = п — т называется индексом оператора В, а упорядоченная пара (п, т) — ¿-¿—характеристикой. Если п = т, то оператор В называется фредгольмовым.

Введем в подпространстве нулей М (В) базис «. Обозначим N (5) = Е&trade-. Аналогично в дефектном подпространстве Ы*{В) введем базис {ф]}&trade-. По известному следствию теоремы Хана-Банаха существуют биортогональные им системы элементов {т-}» € Е[ и {2?-}™ € Еъ • < Ъ >= ?, 7 = 1, —, л, < 2/с1 ф[ >= к, I = 1, • • •, т. Выбор биорп тогональных систем определяет проекторы Р =? < 7″" * > и Я —.

1=1 т <ф],-> порождающие разложения пространств и Еъ в прямые суммы: Е = Е2 = -^т+^оо-тЭлемент х € Ех представим в виде х = и + V, где и — (I — Р) х е — Рх =? € 1.

Рассмотрим нелинейное уравнение.

Вх-Я (х1Н) = 0.

1) где Я определяется в окрестности нуля. Спроектируем его на Е^^-т и £?2,т > получим эквивалентную систему:

Ви=(1-<3)Я (и + ь,}ь), 1ь) во второе уравнение системы (2), то получим:

ДК, К) = (Д (и (®, Ь) + Л), = Л) + Е Л), = О 1.

Это и есть УР/ (по А.М.Ляпунову).

Рассмотрим другой вывод УР, основанный на обобщенной лемме Шмидта. Обобщенная лемма Шмидта утверждает существование ограниченного оператора Г = В~1, где В = В +? (7,-, — оператор Шмидта. 1.

Уравнение (1) поэтому можно записать в виде эквивалентной системы: гВх = Д (а?, Л)+ Е { «=* & = = п.

Положим х = со 4- Е и определим и = о-(£, К) из первого уравнения: 1.

Ви = Щи) +? К) ?=1.

Тогда коэффициэнты г = 1, • • •, тг определяются из уравнения раве-твления УРц.

Заметим, что УР/ и УР>/ (при т = тг), несмотря на эквивалентность, могут иметь разный вид.

При рассмотрении задач о точках бифуркации часто используются обобщеные жордановы цепочки (ОЖЦ) При этом предполагается, что оператор В — фредгольмов и к = X 6 С1. числовой параметр. Тогда.

В — Дх (0, Л) = В — Л), ДХ (А) =? ПиХ + о (|А|г) 1.

По определению, говорят, что последовательность элементов — образует ОЖЦ длины р, отвечающую элементу (р Е.

N (3), если 1 и существует функционал ф € (.??), для которого? ^.

0. Здесь ОЖЦ определяются однозначно выбором их принадлежности подпространству .

Обобщёный жорданов набор (р^ считается полным, если.

Рк.

Ап =? # 0, Л где к = г = 1, г > тах «?, Е Р- -длина (корневое 1 число).

Лемма Шмидта позволяет записать следующее равенство:

Й =ГЕ #1 = 2, г = 1,.

Для полного ОЖН можно также считать:

В главе IX [9] отмечен случай, когда ОЖН элементов {<л}" обрываются на элементах =, п (т.е. для каждого г при некотором р ф Е №(В) выполнено (ф,? / 0, но не составляют полного 1.

ОЖН. Там же предложены идея перестройки ОЖЦ и на ее основе — способ продолжения такого неполного ОЖН. Последовательное осуществление этой идеи проведено в [39−41,62], где ОЖН, для которого выполнено 1 назван каноническим. В частности, для линейной оператор-функции В — еА элементы {<рг}1, {7"}Г"{" 0"}? можно выбрать так, чтобы оба ОЖН {ф1"г = были каноническими.

Определение 1. Уравнение (1) инвариантно относительно группы О, если существуют её представления Ь9 и К9 в пространствах Е и Еч соответственно, что для любого д (Е С?

ВЬдХ — КдВХ, ЩЬдХ, И) = КдЩХ, К) (4).

Согласно первому равенству в (4) подпространство Е&trade- = инвариантно относительно оператора Ьд, а образ (область значений) оператора В — относительно Кд. Предполагается выполненным Условие 1. Подпространство Е= (I — Р) Е инвариантно относительно операторов Ь3.

Это условие равносильно инвариантности линейной оболочки Г = 5роп{71, • • •, 7П} функционалов, биортогональных базису подпространства нулей.

Пусть преобразование Ьд в подространстве Е&tradeдействует согласно формулам: п.

ЬдЩ = = Е Лд =.

Тогда действие оператора Ьд на произвольный элемент ¡-р Е Е" равносильно преобразованию его координат в разложении по базису sPiYi матрицей Лд: п = (АО/ = Е очзШз.

3=1.

Аналогично преобразования К* в инвариантном подпространстве И* (В) п на основе равенств: К*фк — Е^ Р^Ф], к — 1, ш, определяют представление группы О матрицами Вд =.

Пусть Еп — пространство векторов? = (6г" >?п) — Согласно определению 1 групповой инвариантности УР 0 = /(£, е) = {//>(?" е)}&trade- • Еп -> Нт допускает группу С? (инвариантно относительно С), если для представления Лд в и представления Вд в Нт.

АдМ = Вд/&е) (5).

В [24] содержится доказательство теоремы о наследовании групповой симметрией первоначального нелинейного уравнения соответствующим уравнением разветвления.

Теорема 1. Пусть уравнение (1) инвариантно относительно группы га, га > 1 (во фредгольмовом случае п> 1, оператор Шмидта В также обладает групповой инвариантностью) и выполнено условие (1). Тогда УР^УР^) инвариантно относительно группы С:

Л", Ъ>) = /*(А*. Л) = (В,/)к (?, л) = Д", л), * = 1, • • •, го л) = **(А&Л) = Л) = йк, Л), к = 1,., п.

Эта теорема служит основой для применения методов группового анализа для построения общего вида УР по допускаемой им группе. Равенство (б) означает, что для наследуемой УР группы преобразований = А*. / = V (в) многообразие Т — {?, /(/ - /(?) = 0} в пространстве Н" +т является инвариантным многообразием. Далее предполагаем, что Т является неособым инвариантным многообразием непрерывной группы С?. Это значит, что если {(Хи, базис соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных операторов, то ранг т{ХиГи)р матрицы М[(Х^ Г{)] их коэффициентов (и = 1, г = 1, — —, п- ] = п + 1, ¦ • •, га, V — номер строки, г, ] -номера столбцов) на многообразии Т совпадает с её общим рангом г*. Пусть.

7) базисная система функционально независимых инвариантов непрерывной группы (6). Тогда, согласно теореме Ли — Овсянникова [18,58,58] о выражении инвариантных многообразий через полную систему инвариантов Т можно представить в виде.

Ф*(А ., = о, 3 = 1, ., т (8).

Для возможности построения общего вида УР система инвариантов (8) должна быть независимой относительно /, т. е. должно быть выполнено условие гапк[= га. Это условие может быть заменено требованием [59]: г*(Х, Т) = г*(Х). Представление УР в виде равенств (8) в изложенной схеме даёт редукцию УР (понижение порядка) с помощью полной системы функционально независимых инвариантов группы (6).

Методами группового анализа дифференциальных уравнений было проведено построение и исследование систем разветвления задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла [38,79] и ряд задач теории поверхностных волн: о каппилярно-гравитационных волнах (КГВ) на поверхности пространственного слоя жидкости [37], о КГВ на границе раздела двух жидкостей [46], аналогична" задачи на поверхности цилиндра [47] с силой гравитации, направленной по радиусу к его оси, задача о рельефе феррожидкости при воздействии вертикально — направленного магнитного поля [1], о капиллярно — гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости [30,31]. Указанные задачи обладают достаточно широкими группами симметрии, поэтому для них характерно наличие высоких порядков вырождения линеаризованного оператора. Поэтому (особенно в задаче о фазовых переходах в статистической теории кристалла, где п = 6,8,12,24,48,24 + 48,.) методы группового анализа построения и исследования УР позволии значительно снизить объем вычислительной работы по определению ненулевых коэффициентов разветвления.

Обзор применения метотдов группового анализа в задачах теории ветвления содержится в [26]. Указанные выше задачи о фазовых переходах и поверхностных волнах являются типичными бифуркационными задачами о нарушении симметрии. Само нелинейное уравнение допускает группу движений евклидова пространства: в задаче о фазовых переходах — группу движений Я3, в задачах теории поверхностных волн — группу движений В.2, но разыскиваются определённые классы многопараметрических решений, т. е. периодические решения с кристаллографической группой симметрии: в задаче о фазовых переходах с симметрией простой кубической решётки-решения с решётками (ячейками) октаэдра, кубооктаэдрав задачах о поверхностных волнах-решения с прямоугольной решёткой, типа двойного квадрата, неправильной гексагональной решёткой и так далее. Таким образом, в классе задач о нарушении симметрии УР наследует группу симметрии кристаллографической решётки, а не той области в которой рассматривается нелинейное уравнение. Другое дело — в задаче о ветвлении решения нелинейно возмущённого уравнения на поверхности сферы [ 4,24,27] или на гиперповерхности в Кп с определённой группой симметрии [42]. Здесь симметрия нелинейного уравнения и соответствующего УР индуцирована симметрией области.

В настоящей диссертации рассматриваются три аспекта роли симметрии в задачах теории ветвления. В первом-групповая инвариантность нелинейного уравнения индуцируется симметрией области.

Примером таких уравнений являются уравнения с интегральными операторами инвариантными относительно группы движений евклидова пространства [11]. Пусть К (х, у) -ядро, зависящее от точек ж, у множества М и инвариантное относительно группы (7, т. е. К (дх, ду) = К (х, у), 1- инвариантная мера на множестве М и /(х) -скалярные функции. Тогда интегральный оператор

К Л х) = I К (х, у)/(у№(у) (9) является инвариантным. Действительно,.

КТ (д)/(х) = I К (х, у)/{д~1у)(Лц (у).

Выполняя замену переменных д~1у = г в силу инвариантности ядра и меры на множестве М, получаем.

АТ (дЩх) = / К{д~1х, г)!{г)<11х{г) = Ш){д~1х) = Т (д)А/(х).

Здесь группа симметрии области интегрирования представляется операторами сдвига Т (д)/(х) — /(д~гх). Другими примерами функциональных уравнений с групповой симметрией, индуцированной симметрией области, могут служить различные задачи, в которых линеаризованный оператор является оператором Лапласа или Гельмгольца в ограниченной области И, 2 или Н3. Это вызвано известным фактом инвариантности оператора Лапласа относительно группы симметрии области в которой рассматривается уравнение, т. е. инвариантностью относительно некоторой подгруппы группы движений евклидова пространства.

Примеры ветвления решений функциональных уравнений в случаях, когда симметрия области индуцирует групповую симметрию уравнения, содержатся в 1 главе работы. Результаты 1-ой главы опубликованы в [21].

Во второй главе диссертации рассмотрены нелинейные уравнения в областях симметричных относительно некоторых групп преобразований. Здесь сами уравнения уже не наследуют групповую симметрию области. Тем не менее, пользуясь методами теории характеров представлений групп [48,56], можно разыскивать решения с групповой симметрией подгрупп симметрии области. Развиваемые здесь методы позволяют получить более полную картину решений задач о возмущении линейного уравнения малым линейным слагаемым и о ветвлении собственных чисел и собственных векторов фредгольмовых операторов (рассматриваются интегральные операторы). Эта часть диссертации отражена в [22,32].

Известна связь геометрии области со специальными функциями [11,51], являющимися решениями многомерных задач Штурма-Лиувилля. Как правило, групповая симметрия здесь связана с возможностью разделения переменных в операторе Штурма-Лиувилля. Общая теория этой связи изложена в главе V энциклопедической работы [52]. В бифуркационных задачах симметрия области определяет структуру подпространства нулей N (13). Например, известно, что группа движений Я2 сопровождается появлением тригонометрических функций, группа вращений порождает сферические функции, а группа гиперболических поворотов — функции Матье [11].

В третьей главе диссертации иллюстрируется простейшая из этих связей: в задаче о дивергенции пластины, обтекаемый сверхзвуковым газовым потоком элементы подпространстваЛГ (Б) являются тригонометрическими функциями. Эта часть диссертации наиболее сложная технически. Здесь при разделении переменных возникают алгебраические уравнения четвертого порядка с параметрами, определяющие дискретный спектр линеаризованного оператора В. Тем не менее удается исследовать самые общие случаи краевых условий и выписать ассимпто-тику разветвляющихся решений [33−36].

В первом параграфе даётся постановка задачи о дивергенции прямоугольной пластины в сверхзвуковом потоке газа. Явление описывается системой Кармана — относительно функции прогиба ю и функции напряжения Р — с нелинейным слагаемым, характеризующим аэродинамическое воздействие. Задача сводится к нелинейному функциональному уравнению в пространствах Соболева. Во втором параграфе задача о дивергенции прямоугольной пластины рассматривается в точной постановке. Предложен восходящий к Ц. На [54] метод групповых преобразований с последующим сведением нелинейной задачи к аналогам УР. Однако для уравнения четвёртого порядка этот метод применяется вблизи сингулярной точки и сходимость его не доказана. Численные эксперименты показали, что он имеет низкую скорость сходимости.

В третьем параграфе исследована бифуркация при отсутствии внешнего краевого усилия. После постановки задачи (п.1) определяются собственные изгибные формы прямоугольной пластины при шарнирном закреплении краёв, параллельных оси Ох и четырёх различных вариантах закрепления краёв х = 0, ж = 1.

1°. Случай шарнирного закрепления Хп (0) = 0 = Х" (0), Хп (1) = О = Х"(1).

2°. Левый край свободен, правый жестко защемлен = 0 = х^со), х&bdquo-(1) = о = х-(1).

3°. Жесткое защемление обоих краев Хп (0) = 0 = Хп{1) = 0 =.

Х-(1) 4°. Случай защемления края х = О, жесткого защемления края х = 1 Х’М = 0 = XW (0), Хп (1) = 0 = Х’п{1).

При определении подпространства нулей линеаризованного оператора функция прогиба w разлагается в ряд Фурье по синусам. Возникает обыкновенное дифференциальное уравнение 4-го порядка, характеристическое уравнение которого является алгебраическим уравнением 4-го порядка с параметром. Методом Штурма производится отделение корней характеристического уравнения. Это позволяет провести его полное исследование, ввести новые спектральные параметры (выражающиеся через старые) и определить собственные изгибные формы прямоугольной пластины (п.2). Показано, что в. первом случае закрепления краёв х = 0, ж = 1 дивергенция пластины отсутствует. В п. З строятся сопряжённые задачи и вычисляются базисные дефектные функционалы, т. е. определяются подпространства нулей сопряжённой задачи. В п. 4 методом Ляпунова-Шмидта построена асимптотика разветвляющихся решений.

В отдельное приложение вынесены результаты техничского характера. Это, в основном, вычисление коэффициентов УР для задач о дивергенции пластины-полосы и прямоугольной пластины.

Полученные в диссертации результаты докладывались на конференциях и семинарах:

1. «Алгоритмический анализ некорректных задач». Всероссийская научная конференция, посвященная памяти В. К. Иванова. Екатеринбург, 2−6 февраля 1998 г.

2. III Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 19−21 мая 1998 г. Мордовский Университет.

3. На семинаре филиала Средневолжского математического общества в г. Ульяновске. УГУ, февраль 1999 г. Руководитель Горбунов В.К.

4. 9 Межвузовская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 25−27 мая 1999 г.

5. IV International Congress on Industrial and Applied Math (ICIAM-99), Edinbourgh, July 1998.

Всюду ниже формулы, леммы, теоремы и замечания имеют самостоятельную нумерацию в каждом параграфе. При ссылках внутри параграфа указывается этот номер, при ссылках на другой параграф указывается номер параграфа и номер утверждения, в остальных случаях нумеруется и глававведению отвечает нулевой номер.

1. Абдуллаева Ф. Д. Ветвление и устойчивость решений системы дифференциальных уравнений для определения свободной поверхности магнитной жидкости// Диссертация кандидата физ.-мат. наук, Ташкент, Институт математики АН УзССР — 1993, — 82 с.

2. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е.М.// УМН. 1976, т.31,6, с.28−73.

3. Aubin T. Metriques Riemanniennes et courbure// J.Diff. Geometry 4(1970), p.383−424.

4. Бабский В. Г. О ветвлении решений уравнений Аи—и — и1 на сфере. // Вестник Харьковского университета, — 1970, вып.34, с.124−129.

5. Бабский В. Г., Скловская И. Л. О возникновении конвекции в самогра-витирующем жидком шаре, нагреваемом изнутри. -IIMM 1971, т.35, вып. б, с. 1000−1014.

6. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1966, с. 351.

7. Вайнберг М. М., Айзенгендлер П. Г. Методы исследования в теории разветвления решений// «Итоги науки.Матем.анализ, 1965», ВИНИТИ АН СССР, М., 1966.

8. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Методы Ляпунова-Шмидта в теории ветвления и их дальнейшее развитие// УМН 17, вып.2 (1962).

9. Вайнберг М. М., В. А. Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969;524с.- Noordorflnt.Publ., Leyden, 1974.10j Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. -М.: ИЛ, 1947, с. 408.

10. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.- М.: Наука, 1965, с. 588.

11. Гришина С. А. Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости// Автореферат дисс. канд. физ-мат.наук. Самара, 1999, 118 с.

12. J. Guy, B.Mangeot. Use of group theory in various integral equations. SIAMM. J.Appl.Math., Vol.40,N3, June 1981, p.390−399.

13. Delanoe Ph. Bifurcation for Monge Ampere equation on flattori // Manuscripta Math. 1983, N1, p.29−45.

14. Ибрагимов H.X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1985.

15. Изаксон В. Х. Ветвление в задаче о возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // Изв.Сев.-Кав. научного центра высшей школы. Естественные науки, 1973, вып.4, с.30−34.

16. Изаксон В. Х., Юдович В. И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей. Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, вып.4. с.23−28.

17. Кожевникова О. В. Ветвление решений уравнения Монжа-Ампера на двумерном торе// IX Межвузовская коференция 25−27 мая 1999 г., с. 75−78.

18. Кожевникова О. В. Линейные задачи теории ветвления для интегральных операторов с симметричной областью интегрирования// Труды Средневолжского математического общества, т.1,1, «СМВО» Саранск, 1998, с.105−108.

19. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956, с. 392.

20. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент, Фан, 1985, с. 184.

21. Логинов Б. В. О применении векторных инвариантов для определения общего вида уравнения разветвления в условиях групповой инвариантности //Доклад АН СССР, 1981, Т.259, N5, с.1045−1050.

22. Логинов Б. В. Ветвление решений нелинейных уравнений и групповая симметрия// Вестник Самарского Гос.Университета. 4,1998, с.15−70.

23. Логинов Б. В. О ветвлении решений дифференциальных уравнений на сфере//ДУ, 8(1972), 10, с.1816−1824.

24. Логинов Б. В. Задача о дивергенции крыла как пример теории ветвления решений нелинейных уравнений с двумя малыми параметрами // Сб." ДУ и их приложения". Ташкент, Фан, 1979, 109−113.

25. Логинов Б. В., Вельмисов П. А. В кн." Материалы международной конференции «ДУ и их приложения». Саранск 20−22.12.1994. Саранск 1995, 120−125.

26. Логинов Б. В., Гришина С. А. Бифуркационная задача о капиллярногравитационных волнах на поверхности пространственного слоя флотирующей жидкости //Деп.рук. 2456-В199.Москва, ВИНИТИ, 1999,99с.

27. Логинов Б. В., Карпова С. А. Вычисление периодических решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости.//Вестник СамГУ, Самара, 1997,4(6), с.69−80.

28. Логинов Б. В., Кожевникова О. В. Об учете симметрии области в союзных интегральных уравнениях// 8 Межвузовская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи», 2628.05.1998, с.67−69.

29. Логинов Б. В., Кожевникова О. В. Бифуркационная задача о прогибе прямоугольной пластины в сверхзвуковом газовом потоке // Деп.рук. 2145-В-98. М.:ВИНИТИ, 1998.

30. Loginov B.V. Determination of bending eigenforms and asymptotics of bifurcating solutions at the divergence of rectagular plate// IV Internat. Congress on Industrial and Applied Math.(ICIAM-99) 5−9 July 1999, Book of abstracts, p.102.

31. B.V. Loginov B.V., Kuznetsov A.O. Cappillary-gravity waves over the flat surface// European Journal of Mechanics (B.Fluids 1996, v.15, 265−280C.

32. Логинов Б. В., Рахматова Х. Л., Юлдашев A.H. О построении УР по его группе симметрии (кристаллографические группы)// Дисс.кан.ф.м.н., 1989, Ташкент, Институт математики им. В. И. Романовского, АН УзССР.

33. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и ее роль в теории ветвления // Деп.рук., 1782−77, 1977, с. 81.

34. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Дополнение к работе «Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и ее роль в теории ветвления» // Деп. рук., 29−78 Деп, 1978, 11 с.

35. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// В кн.: Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными и их приложения. Ташкент, Фан, 1978 с.133−148.

36. Логинов Б. В. Русак Ю.Б. О ветвлении решений уравнения Дм + Ли = f (w) на гиперповерхности //Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент, 4(1974). с.129−136.

37. Логинов Б. В., Сабирова С. Г. О ветвлении периодических решений нелинейно-возмущенных эллиптических уравнений//Известия АН УзССР, 1988, N4, с.32−37.

38. Логинов Б. В., Треногин В. А. О применении непрерывных групп в теории ветвления//Докл. АН СССР, 1971, т.197, N1, с.36−39.

39. Логинов Б. В. Треногин В.А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений// Математический сборник, 1971, т.85,3,с.440−454.

40. Логинов Б. В., Трофимов Е. В. Вычисление капиллярногравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. // Диф. уравнения мат.физики и их применение. Ташкент, 1989, с.57−66.

41. Логинов Б. В., Эргашбаев П. Многомерное ветвление и задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра // Вопросы выч. математики и кибернетики. Ташкент, Фан, 1995, вып. З, с.89−100.

42. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: ГИТЛ, 1958, 356 с.

43. Ляпунов А. Н. Собрание сочинений М.: Изд-во АН СССР, т.4, 1959, 645с.

44. Мамфорд Д., Дьедонне Ж., Кэррол Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1977, с. 280.

45. Миллер М. Л. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981, с. 344.

46. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.- М.: ИЛ, т.1, 1958, с. 930.

47. Морозов Н. Ф., К нелинейной теории тонких пластин// ДАН СССР, 114(1957) N5.

48. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач.- М.: Мир, 1982 294 С.

49. Назаров H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммер-штейна // Труды Средн-Аз. ун-та, серия V-a, мат.1941,вып.33,с.1−79.

50. Наймарк М. А. Теория представления групп. М.: Наука, 1976,559 с.

51. Некрасов А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951,96с.

52. Овсянников JI.B. Лекции ho теории групповых свойств дифференциальных уравнений.- Новосибирск, НГУ, 1966, с. 131.

53. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1978;400 c. English, transl, AP.1982.

54. Овчинникова С. Н., Юдович В. И. Расчет вторичного станцио-нарного течения между вращающимися цилиндрами. ПММ, 1968, т.32,вып.5,с.858−868.

55. Пункаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды. -М.:Наука, т.1,1971.

56. Русак Ю. Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами аналитической оператор-функции и сопряженной к ней// Известия АН УзССР, серия физико-математических наук, 1978,2,с. 15−19.

57. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления// Изд. Иркутский Университет, 1982 г.-с.312.

58. Сидоров H.A. Треногин В. А. Регуляризация вычисления вещественных решений нелинейных уравнений в окрестности точки ветвления //ДАН СССР, 1976, т.228,5,с. 1049−1052.

59. Сидоров H.A., Треногин В. А. Регуляризация простых решений //Сиб.Мат. журнал, 1978, т.19,1,с.180−185.

60. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974, с. 158.

61. Срубщик Л. С., Треногин В. А. О выпучивании гибких пластин// ПММ, 32(1968), N4, 721−727.

62. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture Notes in Mathematics, Springer 1978, V.762,p.1−240.

63. Schmidt E. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflosungen der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen-Math.Ann., 1908, vol 65, s. 370−399.

64. Тер-Григорьянц Г. К. О возникновении двоякопериодической конвекции в горизонтальном слое. ПММ, 1973 г., вып.1,с.177−184.

65. Тер-ГригорьянцГ.К. Об устойчивости стационарных двоякопериоди-ческих конвекционных потоков в слое// Изв.Сев.-Кавказ. научного центра высшей школы. Естественные науки, 1973, вып.4, с.79−83.

66. Тер-Григорьянц Г. К. Об одном случае ветвления стационарных режимов конвекции в слое //Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1975, вып.4,с.39−42.

67. Треногин В. А. Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона // ДАН 131, N5(1960).

68. Треногин В. А. Возмущение собственных значений и собственных элементов линейных операторов // ДАН, 167,3(1996).

69. Треногин В. А. Линейные уравнения в пространстве Банаха с малым параметром // Материалы межвузовской физико-математической конференции Дальнего Востока, Хабаровск, 1967.

70. Треногин В. А., Сидоров H.A. Исследование точек бифуркаций и непрерывных ветвей решения нелинейных уравнений // Сб." Дифференц. и интегр. ур-я", 1972, вып.1, Изд. Иркутского унта, с.216−247.

71. Юдович В. И. О возникновении конвекции .- ПММ, 1966, т.30,вып.6,с. 1000−1005.

72. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление. ПММ, 1967, т.37,вып.5,с.101−111.

73. Юлдашев H.H. О построении УР по его группе симметрии Диссертация кандидата физико-математических наук, 1989, Ташкент, Институт математики им. В. И. Романовского, АН УзССР.