Вычислительная математика

Задание 1.

Составьте таблицу значений функции на отрезке с шагом. В значениях функции сохраняйте три знака в дробной части. И вычисления потом ведите, сохраняя три знака в дробной части чисел.

Используя квадратичную интерполяцию по полученной таблице, вы-числите значение функции в точке. Вычисления проведите двумя способами:

1) по формуле Лагранжа,

2) по формуле Ньютона.

Сделайте рисунок, на котором изобразите точки таблицы.

Решение.

Таблица значений функции на отрезке, где, имеет вид:

— 1 — 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

— 1,817 — 1,518 — 1 1,145 1,587 1,866 2,080 2,257 2,410 2,546 2,668

1) Проведем вычисление по формуле Лагранжа. Интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

. (1)

В нашем случае .

Вычисления для удобства будем проводить в расчетной таблице.

0 — 1 — 1,817 3,13 — 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

1 — 0,5 — 1,518 2,63 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

2 0 — 1 2,13 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

3 0,5 1,145 1,63 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

4 1 1,587 1,13 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2 2,5 3

5 1,5 1,866 0,63 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2 2,5

6 2 2,080 0,13 — 3 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5 2

7 2,5 2,257 — 0,37 — 3,5 — 3 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1 1,5

8 3 2,410 — 0,87 — 4 — 3,5 — 3 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5 1

9 3,5 2,546 — 1,37 — 4,5 — 4 — 3,5 — 3 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 — 0,5

10 4 2,668 — 1,87 — 5 — 4,5 — 4 — 3,5 — 3 — 2,5 — 2 — 1,5 — 1 — 0,5 —

 0,697

3543,75 0,829

— 354,375 1,024

78,75 1,338

— 29,531 1,930

16,875 3,462

— 14,063 16,779

16,875 — 5,895

— 29,531 — 2,507

78,75 — 1,592

— 354,375 — 1,166

3543,75

В последней строке данной таблицы вычислены произведения формулы (1), первое произведение — это числитель дроби формулы (1), второе произведение — знаменатель этой формулы. Тогдатые слагаемые формулы (1) равны

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Таким образом, по формуле Лагранжа значение функции в точке будет равно:

.