Канонические весовые системы в теории пространств бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций

Актуальность темы

В диссертации рассматриваются пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных и пространства голоморфных функций с равномерными весовыми оценками. Весовые шкалы таких пространств широко применяются в теории аппроксимации и интерполяции, теории роста целых функций и их приложениях, теории двойственности различных функциональных пространств, теории распределений и ее обобщениях, анализе Фурье, уравнениях в частных производных, в математической и теоретической физике. Эти пространства интенсивно изучались с различных точек зрения многими математиками (К. D. Bierstedt, J. Bonet, J. Taskinen, W. H. Summers, A. Beurling, G. Bjorck, H. Komatsu, C. Roumieu, R. Meise, В. A. Taylor, R. Braun, Ю. Ф. Коробейник, А. В. Абанин, В. В. Напалков, И. X. Мусин и др.). Наиболее известными примерами этих пространств являются весовые пространства голоморфных функций, пространства ультрадифференцируемых функций, весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, используемые для определения теории ультрараспределений.

Одной из важнейших проблем для таких пространств является описание их свойств и операторов в них в терминах весовых функций, их определяющих. Для эффективного изучения этой проблемы требуется выбрать оптимальные или канонические, в определенном смысле, классы весовых функций. Например, для изучения разных задач, касающихся теорий ультрараспределений и пространств ультрадифференцируемых функций, наиболее подходящими оказались весовые функции в смысле Брауна — Майзе — Тейлора. Именно, в терминах таких весов был окончательно решен вопрос о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении, проводилось сравнение классических теорий ультрараспределений, найдены критерии разрешимости уравнений в частных производных и свертки и установлены условия наличия у соответствующих операторов линейных непрерывных правых обратных. А для исследований многих вопросов в весовых пространствах голоморфных функций существенную роль играют понятия канонических весовых функций и весовых систем. Например, в терминах таких весов изучались композиционные операторы и вопрос о двойственности в банаховых весовых пространств голоморфных функций. В связи с этим тематика диссертации нам представляется актуальной.

Цели работы:

• исследование класса почти субаддитивных весов в смысле БраунаМайзе — Тейлора, используемых в определении классических теорий ультрараспределений;

• изучение класса медленно меняющихся весов в смысле БраунаМайзе — Тейлора, которые играют существенную роль в задаче о справедливости аналогов теорем Бореля и Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа;

• введение понятия канонических, в определенном смысле, весовых последовательностей, используемых для определения пространств целых функций, удовлетворяющих равномерным весовым оценкамполучение достаточных условий каноничности для рассматриваемых весовых последовательностей;

• применение полученных результатов к исследованию следующих задач: задача об описании класса мультипликаторов в весовых пространствах целых функций многих переменныхинтерполяционная задача в весовых пространствах целых функций одной переменнойзадача об удобном для приложений описании сопряженных к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций с помощью преобразования Фурье — Лапласа.

Методы исследований. В диссертационной работе используются методы современного и классического функционального, вещественного и комплексного анализа, а также методы теории двойственности. В частности, используются операторные методы комплексного анализа, плю-рисубгармонические функции, теоремы об открытом отображении и замкнутом графике, выпуклые функции, обращение правила Лопиталя, основы теории ультрараспределений и ультрадифференцируемых функций.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, например, к разрешимости уравнений типа свертки, а также к изучению теории весовых пространств голоморфных функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ряде ведущих российских и зарубежных научных центров.

Апробация работы. Материал неоднократно докладывался на научном семинаре кафедры математического анализа Южного федерального университета (руководители — профессор Ю. Ф. Коробейник и профессор А. В. Абанин), на студенческих научных конференциях факультета математики, механики и компьютерных наук, на международной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Волгодонск, 2009 и 2011 гг.), на международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2010 г.), на международной конференции молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010г), и на международной конференции «Finite or infinite dimensional complex analysis and applications» (Ханой, Вьетнам, 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Результаты главы 1 опубликованы в [63,64,69], главы 2 — в [65,68], и главы 3 — в [65−68]. В совместных с научным руководителем публикациях [63−65,68,69] А. В. Абанину принадлежат постановки задач и окончательная редактура текста, а Фам Чонг Тиену — основные результаты и их доказательства.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 69 наименований. Определения, предложения, теоремы и следствия имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Объем диссертации — 114 страниц машинописного текста.

1. Абанин А. В. О некоторых признаках слабой достаточности // Мат заметки,—1986.—Т. 40, № 4.-С. 442−454.

2. Абанин А. В. Густые пространства и аналитические мультипликаторы // Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки,—1994.—№ 4, — С. 3−10.

3. Абанин А. В. Характеризация классов ультрадифференцируемых функций, допускающих аналог теоремы Уитни о продолжении // Докл. РАН,—2000.—Т. 371, № 2.-С. 151−154.

4. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения. —М.: Наука, 2007—222с.

5. Абанин А. В. Ультрараспределения и преобразование Фурье // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ: Владикавказский научный центр РАН и РСО-А,—2008.—С. 87−103.

6. Абанин А. В., Филипьев И. А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сиб. мат. журн.-2006.-Т. 47, № З.-С. 485−500.

7. Абанин Д. А. О зонах устойчивости в задаче Уитни о продолжении для ультрадифференцируемых функций // Мат. заметки,—2002, — Т. 71, № 2.-С. 163−167.

8. Абанина Д. А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика.—2003.—№ 8—С. 63−66.

9. Абанина Д. А. О классах весов, используемых при определении пространств ультрадифференцируемых функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки,—2005.—№ 1— С. 3−7.

10. Брайчев Г. Г.

Введение

в теорию роста выпуклых и целых функций. -М.: Прометей, 2005.-232с.

11. Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя // Сб. «Механика сплошной среды». Ростов-на-Дону: РГУ.—1985.-С. 28−42.

12. Бронштейн М. Д. Продолжение функций в неквазианалитических классах Карлемана // Изв. вузов. Математика.—1986. № 12.—С. 1012.

13. Джанашия Г. А. О задаче Карлемана для класса функций Жевре // ДАН-1962 -Т. 145, № 2-С. 259−262.

14. Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Мат. заметки—1982 —Т. 51, № 1.-С. 83−92.

15. Канторович Л. В., Акилов А. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах,—М.: ГИФМЛ, 1959.

16. Коробейник Ю. Ф. Канонические биортогональные системы. Приложения к вопросам базисности и интерполяции // Докл. АН СССР.— 1985.—Т. 280, № 6.-С. 1298−1302.

17. Коробейник Ю. Ф. Метод канонических биортогональных систем. Приложения к вопросам базисности и интерполяции // М., 1985. Деп. в ВИНИТИ 13.02.85, Ш178−8БРЖМат. 1985. 5Б763 ДЕП.

18. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе интерполяционных задач // Изв. вузов. Математика—1987—№ 4—С. 36−44.

19. Коробейник Ю. Ф. Непрерывные мультикликаторы функциональных пространств // Теория функций и приближений: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та.—1987,—С. 30−40.

20. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Anal. Math.-1989.-T. 15.-Р. 105−114.

21. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи и густые множества // Сиб. мат. журн.—1990.—Т. 31, № 6.-С. 80−89.

22. Коробейник Ю. Ф., Горина О. В. Об интерполяционной задаче в одном классе целых функций. Приложения к вопросам базисности // М., 1987. Деп. в ВИНИТИ 02.02.87, № 744-В887- РЖМат. 1987. 5Б163 ДЕП.

23. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // Успехи матем. наук,—1992,—Т. 47, № 6.—С. 3−58.

24. Мусин И. X. О преобразовании Фурье Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. c6.-2000.-T. 191, № 10.-С. 57−86.

25. Мусин И. X. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в lRn // Мат. c6.-2004.-T. 195, № 10.-С. 83−108.

26. Мусин И. X. Попенов С. .В. О весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Мп // Уф. мат. журн,—2010.—Т. 2, № 3.— С. 54−62.

27. Митягин Б. С. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // ДАН,—1961.—Т. 138, № 2-С. 289−292.

28. Напалков В. В., Мусин И. X. О полиномиальной аппроксимации в весовом пространстве целых функций // ДАН,—1994.—Т. 334, № 1.— С. 23−25.

29. Робертсон А. П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства. —М.: Мир, 1967.—258 с.

30. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции,—М.:Наука, 1985.—141с.

31. Хёрмандер Л.

Введение

в теорию функций нескольких комплексных переменных,—М.: Мир, 1967,—280 с.

32. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ.—М.: Наука, 1985.— Т. 2.—464с.

33. Юлмухаметов Р. С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. Сер. мат.—1996.— Т. 60, № 4.-С. 205−224.

34. Abanin А. V. On Whitney’s extension theorem for spaces of ultra-differentiable functions // Math. Ann—2001 —V. 320.-P. 115−126.

35. Abanina D. A. On Borel’s theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math.—2003.-V. 44,—P. 195−213.

36. Anderson J. M., Duncan J. Duals of Banach spaces of entire functions // Glasgow Math. J.-1990.-V. 32.-P. 215−220.

37. Bierstedt K. D., Summers W. H. Biduals of weighted Banach spaces of analytic functions // J. Austral. Math. Soc (Series A).—1993.—V. 54, — P. 70−79.

38. Bierstedt K. D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions // Studia Math—1998—V. 127.-P. 137−168.

39. Bjdrck G. Linear partial differential operators and generalized distributions // Ark. Mat.-1966.-V. 6.-P. 351−407.

40. Bonet J., Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Whitney’s extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions // Studia Math.—1991.—V. 99.-P. 155−184.

41. Bonet J., P. Domanski P., Lindstrom M. Essential norm and weak compactness of composition operators on weighted Banach spaces of analytic functions // Canad. Math. Bull—1999—V. 42.-P. 139−148.

42. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M. Pointwise multiplication operators on weighted Banach spaces of analytic functions // Studia Math.— 1999.—V. 137.—P. 177−194.

43. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M., Taskinen J. Composition operators between weighted Banach spaces of analytic functions // J. Austral. Math. Soc-1998.-V. 64.-P. 101−118.

44. Bonet J., Galbis A., Momm S. Nonradial Hormander algebras of several variables and convolution operators // Trans. Amer. Math. Soc.—2001.— V. 353 -P. 2275−2291.

45. Bonet J., Meise R.} Taylor B. A. Whitney’s extension theorem for nonquasianalytic classes of ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad -1989.-V. 89(A)-P. 53−66.

46. Bonet J., Wolf E. A note on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Arch. Math—2003 —V. 81.-P. 650−654.

47. Borel E. Sur quelques points de la theorie des fonctions // Ann. Sei. Ec. Norm. Super—1985.—V. 12.-P. 9−55.

48. Braun R., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math-1990 —V. 17.-P. 206−237.

49. Bruna J. An extension theorem of Whitney type for non-quasianalytic classes of functions // J. Lond. Math. Soc.-1980.-V. 22.-P. 495−505.

50. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand—1961.— V. 9-P. 197−206.

51. Cioranescu J., Zsido L. ujultradistributions and their applications to operator theory // In «Spectral Theory Banach Center Publications. Warsaw.—1982,—V. 8.-P. 77−220.

52. Ehrenpeis L. Fourier analysis in several complex variables // New York: Wiley Interscience Publ. 1970.

53. Franken U. Kerne von Faltungsoperatoren auf Raumen von Ultradistributionen // Diplomarbeit. Dusseldorf. 1988.

54. Franken U. Weight functions for classes of ultradifferentiable functions // Result. Math.—1994,—V. 25.-P. 50−53.

55. Komatsu H. Ultradistributions I. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo -1973.-V. 20.-P. 25−105.

56. Meise R., Taylor B. A. Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Math—1988 —V. 26.-P. 265 287.

57. Momm S. Closed principal ideals in nonradial H5rmander algebras // Archiv Math.—1992,—V. 58.-P. 47−55.

58. Petzsche H. J. On E. Borel’s theorem // Math. Ann.-1988.-V. 282,-P. 292−313.

59. Taylor B. A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Comm. Pure Appl. Math—1971—V. 24,—P. 39−51.

60. Taylor B. A. On weighted polynomial approximation of entire functions // Pacif. J. Math.—1971,—V. 36, № 2.-P. 523−539.

61. Wahde J. Interpolation in non quasianalytic classes of infinitely differentiable functions // Math. Scand.-1967.-V. 20.-P. 19−31.

62. Whitney H. Analytic extension of differentiable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc-1934—V. 36.-P. 63−89.Список работ по теме диссертации.

63. Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Зоны устойчивости для медленно меняющихся весов, используемых в теории ультрадифференцируе-мых функций // Владикавказский математический журнал.—2008.— Т. 10, № 2.-С. 3−8.

64. Абанин А. В., Фам Чонг Тиен. Продолжение голоморфных функций с оценками роста. // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 4. Исследования по математическому анализу,—Владикавказ, 2010.—С. 132−145.

65. Фам Чонг Тиен. Описание сопряженного к пространству Фреше бесконечно дифференцируемых функций с весовыми оценками всех производных в // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки -2011 6-С. 19−23.

66. Abanin А. V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions with growth conditions and some its applications // Studia Math.— 2010.—V. 200.—P. 279−295.

67. Abanin A. V., Pham Trong Tien. Almost subadditive weight functions form Braun-Meise-Taylor theory of ultradistributions // J. Math. Anal. Appl.-2010 -V. 363-P. 296−301.