Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп

Актуальность темы

Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество СР (Х) всех непрерывных веществен-нозначных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим векторным пространством, равномерным пространством, топологическим кольцом, топологической группой и просто топологическим пространством.

В 1951 г. A.A. Милютин в своей диссертации доказал, что если X и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С (Х) и С (У) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи [14]). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский [22] дали полную классификацию банаховых пространств С (Х) для счетных (метризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бессаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С (Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Семадени [26] доказал, что при различных натуральных пит банаховы пространства С[ 1, o^i • п] и C[l, cui • m] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1, а] при, а < uji • и. В 1975 г. С. П. Гулько и A.B. Оськин ([9]) и C.B. Кисляков ([11]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств С[1,а] для произвольных ординалов а.

Ситуация с пространствами вида СР (Х) более сложная. Так, из теоремы о замкнутом графике следует, что если X и Y — компакты и пространства СР (Х) и CP (Y) линейно гомеоморфны, то и банаховы пространства С (Х) и C (Y) линейно гомеоморфны. Обратное верно не всегда: например, известно, что размерность тихоновских пространств сохраняется при линейных ([16]) и даже равномерных ([7]) гомеоморфизмах пространств функций, снабженных топологией поточечной сходимости. В частности, пространства непрерывных функций на канторовом множестве, на отрезке [0,1] и на квадрате [О, I]2 попарно не линейно гомеоморфны. Значит, аналога теоремы Милютина для пространств вида СР (Х) не существует. В тоже время, линейная гомеоморфная классификация пространств Ср[ 1, а] для произвольных ординалов а, как показал С. П. Гулько в [8], полностью совпадает с данной ранее ([9], [11]) классификацией банаховых пространств С[ 1, а]. В этой же статье параллельно была дана классификация (относительно топологических изоморфизмов) свободных топологических групп F[l, a] и свободных абелевых топологических групп А[1,а] отрезков ординалов, причем эта классификация, выраженная в терминах некоторых неравенств на а, фактически совпала с классификацией соответствующих пространств непрерывных функций Ср[1,а].

В настоящей диссертации нас будет интересовать линейная гомеоморф-пая классификация пространств Ср ([1, а], У) всех непрерывных функций /: [1, а] —> Y и пространств Bp (Jl, а], У) бэровских функций /: [1, а] —> Y, определенных на отрезках ординалов со значениями в Y. При этом данные пространства снабжаются топологией поточечной сходимости, а в качестве Y рассматриваются либо конечные дискретные пространства (для непрерывных функций) либо вещественная прямая и двухточечное дискретное пространство (для бэровских функций). В том случае, когда Y является конечным пространством мощности п, сложение функций происходит «по модулю п» и У отождествляется с циклической группой Zn порядка п.

Уточним понятие пространства Ср ([1, а],. Если п — простое число, то Ъп является полем и Ср ([1, ее], — линейное пространство (над полем 2П). Если же п — число составное, то Zn полем не является (оставаясь при этом абелевой группой) и следовательно, множество Ср ([1, а], есть абелева группа. Но везде в этой работе будет использоваться «линейная» терминология для произвольного п: будем употреблять термин «линейное пространство» для множеств Ср ([1, а], и термин «линейное отображение» для отображений таких множеств. Ни к каким противоречиям и некорректностям такая терминология не приведет.

Цель работы:

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех бэ-ровских функций, определенных на отрезках ординалов [1,а] с топологией поточечной сходимости.

• дать линейную гомеоморфную классификацию пространств всех непрерывных п-значных функций, определенных на отрезках ординалов [1,о-] с топологией поточечной сходимости.

• дать топологическую изоморфную классификацию свободных п-пери-одических топологических групп и свободных абелсвых п-периодических топологических групп А^пХ).

Научная новизна и практическая ценность. Основные результаты настоящей диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Даны необходимые и достаточные условия того, что произвольная функция /: [1, а] —> У, где У = К или У = является бэровской (теорема 1.2).

• Установлено, что пространства бэровских функций на отрезках ординалов вида [1, сх • ?3] разлагаются в^{-произведение} более простых сомножителей (лемма 2.2).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Вр[1,а] (теоремы 2.8, 3.4, 3.9, 3.12 и 3.13).

• Даны необходимые и достаточные условия линейной гомеоморфности пространств Ср ([1, а], Zn) (теорема 6.1).

• Параллельно с классификацией пространств Ср ([1, а], Zn) дана классификация сопряженных пространств Lp ([l, а], Zn) (теорема 6.1).

• Введены понятия свободной тг-периодической топологической группы и свободной абелевой n-периодической топологической группы тихоновского пространства. Доказано существование таких групп (теоремы 4.3 и 4.7). Параллельно с классификацией пространств Ср[[ 1, а], Zп) дана Pix классификация относительно топологических изоморфизмов (теорема 6.1).

Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории топологических пространств функций, теории топологических групп.

Апробация результатов. Основные результаты настоящей диссертации докладывались на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.), международной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.), Международной топологической конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006 г.), Всероссийской конференции по математике и механртке (Томск, 2008 г.), Всероссийской молодежной школ е-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2010 г.) и были опубликованы в работах [29] - [40]. Кроме того, они неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций Томского государственного университета.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и списка обозначений. Глава I содержит три параграфа, глава II — четыре параграфа. Работа изложена на 75 страницах.

1. Архангельский A.B. Топологические пространства и непрерывные отображения. Замечания о топологических группах. М.: Изд-во МГУ, 1969.

2. Архангельский A.B. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.

3. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Граев М. И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР, сер. матем. 1948. Т. 12. № 3. С. 279−324.

5. Граев М. И. Теория топологических групп I // УМН, 1950. Т. 5. № 2. С. 3−56.

6. Гулько С. П. Пространства непрерывных функций на ординалах и ультрафильтрах // Мат. заметки. 1990. Т. 47. № 4. С. 26−34.

7. Гулько С. П. О равномерных гомеоморфизмах пространств непрерывных функций // Тр. МИАН СССР, 1992. Т. 193. С. 82−88.

8. Гулько С. П. Свободные топологические группы и пространства непрерывных функций на ординалах // Вестн. Томского ун-та. 2003. Т. 280. С. 34−38.

9. Гулько С. П., Оськин A.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на вполне упорядоченных бикомпактах // Функц. анализ и прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 61−62.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

11. Кисляков C.B. Изоморфная классификация пространств непрерывных функций на ординалах // Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. С. 293−300.

12. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

13. Марков A.A. О свободных топологических группах // Изв. АН СССР, сер. матем., 1945. Т. 9. № 1. С. 3−64.

14. Милютин A.A. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функц. анализ и прил. № 2. Харьков, 1966. С. 150−156.

15. Окунев О. Г. Метод построения М-эквивалентных пространств // 5-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее прил. 1985. С. 186.

16. Пестов В. Г. Совпадение размерностей dim ¿—эквивалентных топологических пространств // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 3. С. 553−556.

17. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

18. Сипачева О. В. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур. В сб. Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 122−130.

19. Сипачева О. В. Топология свободной топологической группы // Фундаментальная и прикладная математика, 2003. Т. 9. № 2. С. 99−204.

20. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975.

21. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

22. Kechris A. Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995.

23. Mazurkiewicz S., Sierpiriski W. Contributions a la topologie des ensembles denombrables // Fund. Math. 1920. V. 1. P. 17−27.

24. Semadeni Z. Banach spaces non-isomorphic to their Cartesian squares // Bull. Acad. Pol. sci. ser. math., astron. et phys., 1960. № 8. P. 81−84.

25. Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. Warszawa: PWN, 1971.

26. Sierpinski W. Cardinal and ordinal numbers. Warszawa: PWN, 1965. Работы автора по теме диссертации.

27. Гулько С. П., Гензе Л. В. О классификации пространств непрерывных функций и свободных топологических групп // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2003. С. 66.

28. Гензе Л. В. Свободные булевы топологические группы // Материалы ХЬШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 2005. С. 64.

29. Гензе Л. В. Явное описание топологии свободных булевых топологических групп тихоновских пространств // Вестн. Томского ун-та: Общенаучный периодический журнал. Бюллетень оперативной научной информации. 2005. № 54. С. 23−30.

30. Гензе Л. В., Гулько С. П. О свойствах свободной булевой топологической группы // Международная топологическая конференция «Александровские чтения», поев. 110-летию со дня рожд. акад. П. С. Александрова: Тезисы докладов. М.: МГУ, 2006. С. 11.

31. Гензе Л. В. Свободные булевы топологические группы // Вестн. Томского ун-та. 2006. № 90. С. 11−13.

32. Хмылёва Т. Е., Гензе Л. В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости, и их I-эквивалентность // Всероссийская конференция по математике и механике: Тезисы докладов. Томск, 2008. С. 112−113.

33. Гензе Л. В., Гулько С. П., Хмылева Т. Е. Классификация свободных булевых топологических групп на ординалах // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. № 1(2). С. 23−31.

34. Хмылева Т. Е., Гепзе Л. В. Пространства функций первого класса Бэра, наделенные топологией поточечной сходимости и их /-эквивалентность // Вестн. Томского ун-та. Математика и механика. 2008. N° 3(4). С. 3541.

35. Гензе Л. В., Гулько С. П., Хмылева Т. Е. Классификация пространств бэровских функций на отрезках ординалов // Труды института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 3. С. 61−66.

36. Гензе JI.В. Свободные n-периодические топологические группы // Вести. Томского ун-та. Математика и механика. 2010. № 3(11). С. 2328.