В настоящее время получила бурное развитие теория ортогональных многочленов. Прежде всего такое развитие обусловлено необходимостью их применения при решении целого ряда практических и теоретических задач, а также приложениями этих многочленов в теории кодирования, вычислительной математике, математической статистики и других областях. Например, они применяются при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих эти уравнения, в ряды по ортогональным полиномампри решении прикладных задач, связанных с обработкой и сжатием информации. В настоящей работе (главе 1) вводятся в рассмотрение и исследуются аппроксимативные свойства новых рядов по полиномам Лагерра, которым мы дали название «Смешанные ряды», следуя работам Шарапудинова И. И. [34]-[45]. Смешанные ряды по полиномам Лагерра имеют столь же простую конструкцию, что и ряды Фурье по указанным полиномам, но обладают значительно лучшими, чем ряды Фурье аппроксимативными свойствами вблизи начала координат. В частности, новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных. Следует отметить также, что, например, смешанные ряды по полиномам Лагерра Щ{х) при, а = О обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов кратно интерполируют исходную функцию в точке 0. Это свойство имеет важное значение при решении ряда прикладных задач. В ряде важных задач приближения функций, смешанные ряды обладают лучшими аппоксимативными свойствами по сравнению с рядами Фурье по соответствующим ортогональным полиномам.
В главе 1, показывают, что смешанные ряды по полиномам Ла-герра не являются исключением в данном смысле. Актуальными задачами, рассмотреными в данной работе, являются: изучение аналога неравенства Лебега для частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лагерра и получение оценок функции Лебега частичных сумм смешанного ряда.
Объект исследования.
В работе используются смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0-оо), изучаются Pix частичные суммы, аппроксимативные свойства этих сумм, поведение функции Лебега частичных сумм Фурье-Лагерра при х Е [0-оо).
Цель работы.
1) Построить смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональным на полуоси [0- оо) и изучить их свойства.
2) Исследовать частичную сумму смешанного ряда.
3) Получить оценку функции Лебега 1тп{х) для смешанных рядов по полиномам Лагерра.
Общие методы исследования.
В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, а также методы ортогональных многочленов.
Научная новизна.
Рассмотрены новые смешанные ряды по полиномам Лагерра, ортогональные на полуоси [0- оо), и исследованы их аппроксимативные свойства на классах гладких функций. В частности, показано, что новые смешанные ряды успешно могут быть использованы для одновременного приближения функции и ее нескольких производных.
Практическая ценность.
Полученные в работе результаты могут быть использованы в вопросах теории приближений и численного анализа, связанных с применением ортогональных многочленовпри исследовании смешанных рядов по различным классическим полиномам. Они могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Апробирование работы.
Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
— на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (2003;2007 гг.);
— на Саратовской зимней математической школе (2008 г.);
— в Дагестанском Научном Центре (2008 г.);
— на научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета (2010 г.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, одна из которых [21] входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем работы 118 страниц компьютерного набора.
