Математическое моделирование свободной конвекции несжимаемой жидкости в двумерных областях с фиксированными и подвижными границами
Диссертация
При моделировании роста кристаллов необходимо численно решать уравнения тепловой конвекции. Основной трудностью при решении этих уравнений для процессов кристаллизации является наличие большого параметра в правой части уравнения для вихря. Таким параметром является число Релея или число Грасгофа, которое из физической постановки задачи может достигать значения 106 и более. Если поделить все части… Читать ещё >
Содержание
- Обозначения
- Глава 1. Разностные схемы для решения уравнений тепловой конвекции
- 1. Уравнения тепловой конвекции в области с неподвижными границами
- 1. 1. Уравнения в приближении Обербека-Буссинеска
- 1. 2. Уравнения в переменных «функция тока — вихрь скорости»
- 1. 3. Безразмерный вид уравнений тепловой конвекции в переменных у/, со
- 1. 4. Формулы Тома и Вудса приближенного граничного условия для вихря на стенке
- 2. Уравнения тепловой конвекции в области со свободной границей
- 2. 1. Кинематическое и динамические граничные условия на свободной поверхности
- 2. 2. Условия для вихря и функции тока на свободной поверхности
- 2. 3. Уравнение для касательной составляющей скорости на свободной поверхности
- 3. Метод экспоненциальной подгонки для уравнений тепловой конвекции
- 3. 1. Аппроксимация дифференциальных операторов
- 3. 2. Модифицированный метод неполной факторизации Булеева и схемы расщепления
- 3. 3. Сравнение построенной вычислительной процедуры на основе метода экспоненциальной подгонки и метода неполной факторизации с другими разностными методами расчета
- 1. Уравнения тепловой конвекции в области с неподвижными границами
- 1. Физико-математическая модель
- 1. 1. Уравнения движения
- 1. 2. Постановка краевых условий
- 2. Метод решения
- 3. Анализ результатов
- 1. Преобразование областей с криволинейными границами в прямоугольные области. Уравнения движения в новых переменных
- 2. Исследование конвекции и переноса тепла в жидкости с подвижной свободной границей жидкость — газ
- 2. 1. Физико-математическая модель
- 2. 1. 1. Уравнения движения
- 2. 1. 2. Постановка начальных и краевых условий задачи
- 2. 2. Метод расчета
- 2. 3. Результаты расчетов
- 2. 1. Физико-математическая модель
- 3. Решение двумерной задачи Стефана о фазовом переходе
- 3. 1. Физико-математическая модель
- 3. 1. 1. Уравнения движения
- 3. 1. 2. Постановка начальных и краевых условий задачи
- 3. 2. Метод расчета
- 3. 3. Результаты расчетов
- 3. 1. Физико-математическая модель
Список литературы
- Советский энциклопедический словарь. // М. «Советская энциклопедия», 1988.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 6. Гидродинамика. //М. Наука. 1986.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. //М. Наука. 1989.
- Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. //Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та, 1990.
- Самарский A.A., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. // ЖВМ и МФ, 1965, т.5, N5, с.816−827.
- Соловьева E.H., Успенский А. Б. Схемы сквозного счета численного решения краевых задач с неизвестными границами для одномерных уравнений параболического типа. В ich.: Методы решения краевых и обратных задач теплопроводности. МГУ, 1975, с. 3−23.
- Пригожин Л.Б., Булгач A.A. Численное решение одномерных задач Стефана в теплопроводности и диффузии. // Численные методы механики сплошных сред, 1981, т.12, N2, с. 71−83.
- Полежаев В.И. Гидродинамика, тепло- и массообмен при. росте кристаллов. // В кн. Авдуевский B.C., Полежаев В. И. Гидромеханика и тепло-массообмен при получении материалов. М. Наука. 1990.
- Полежаев В. И, Буне A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. //М. Наука. 1987.
- Ю.Овчарова A.C. Метод решения двумерной многофронтовой задачи Стефана. // ПМТФ, 1995, т.36, N4, с. 110−119.
- Н.Овчарова А. С. Численное решение стационарной задачи Стефана в области со свободной границей. // Вычислительные Технологии, 1999, т.4, N1, с.88−99.
- Мейрманов A.M. Задача Стефана. // Наука, Новосибирск, 1986.
- Пасконов В.М., Полежаев В. И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. // М. Наука, 1984.
- Scharfetter D., Gummel Н. Large signal analysis of a silicon Read diode oscillator. // IEEE. Trans., 1969, ED-16, pp.64−77.
- И.Вабищевич П. Н., Илиев О. П. Численное решение сопряженных задач тепло- и массопереноса с учетом фазового перехода. // Диф. ур., 1987, т.23, N7, с. 1127−1132.
- Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. // М. Мир, 1974.
- Плавление, кристаллизация и фазообразование в невесомости. // М. Наука, 1979.
- Пак Н.И., Шикунов С. А. Численное решение двумерной задачи Стефана в энтальпийной формулировке в изменяющейся области на подвижных сетках. // Сб. Сильновозбужденные состояния в кристаллах, Томск: издание Томского научного центра СО АН СССР, 1991.
- Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the 2-dimensional Stefan problem by space-time finite elements. // J. of Computational Physics, 1977, v.25, p. 163−181.
- Crowley A.B. Numerical solution of Stefan problems. // Int. J. Heat Mass Transfer, 1978, v.21, p.215−219.
- Bonacina C., Comini G., Fasano A., Primicerio M. Numerical solution of phase-change problems. // Int. J. Heat Mass Transfer, 1973, v. 16, p. 18 251 832.
- Solomon A. Some remarks on the Stefan problem. // Math. Сотр., 1966, v.20, p.347−360.
- Успенский А.Б. О методе выпрямления фронтов для многофронтовых одномерных задач типа Стефана. // Доклады Академии Наук СССР, 1967, т.172, N1, с.61−64.
- Журавлева Е.Н. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава. // Динамика сплошной среды. Сб. Научных трудов, вып. 113. Новосибирск, 1998, с.70−72.
- Будак Б.М., Успенский А. Б. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана. // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, N6, с.1299−1315.
- Бреславский П.В., Мажукин В. И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующихся сеток. // Мат. моделирование, 1991, т. З, N10, с.104−115.
- Анисютин Б.М. Численное исследование тепловой задачи для процесса бестигельной зонной плавки. // Задачи гидромеханики и тепломассобмена со свободными границами. Новосибирск, 1987.
- Дональд Д.К. Тепловой режим в условиях вакуумной плавки. // Приборы для научных исследований. 1961, N7, С.42−44.
- Kobayashi N. Power required to form a floating zone and the zone shape. // J. Crystal Growth, 1978, v.43, p.417−424.
- Lan C.W., Kou S. Effects of rotation on heat transfer, fluid flow and interfaces in normal gravity floating-zone crystal growth. // J. Crystal Growth, 1991, v. l 14, p.517−535.
- Muhlbauer A., Muiznieks A., Virbulis J., Ludge A., Riemann H. Interface shape, heat transfer and fluid flow in the floating zone growth of large silicon crystals with the needle-eye technique. // J. Crystal Growth, 1995, v. 151, p.66−79.
- Чеблакова Е.А. Численное решение плоской задачи Стефана в области со свободной границей. // Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-2000). Тезисы докладов. Новосибирск, 2000.
- Бердников B.C., Талонов В. А. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в прямоугольных полостях. // Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур. Труды II Российского симпозиума (HT&CG'97). Обнинск, 1998.
- Chippada S., Jue Т.С., Ramaswamy D. Finite element simulation of combined buoyancy and thermocapillary driven convection in open cavities. // Int. J. Num. Meth. Eng., 1995, vol.38, pp.335−351.
- Zebib A., Homsy G.M., Meiburg E. High Marangoni number convection in a square cavity. // Phys. Fluids, 1985, vol.28, pp.3467−3476.
- Carpenter B.M., Homsy G.M. High Marangoni number convection in a square cavity: Part II. // Phys. Fluids A, 1990, vol.2, pp.137−149.
- Гадияк Г. В., Чеблакова Е. А. Моделирование конвекции и переноса тепла в жидкости со свободной границей в условиях пониженной гравитации. // Математические модели и методы их исследования. Международная конференция. Тезисы докладов. Красноярск, 1999.
- Бабский В.Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д. и др. Гидромеханика невесомости. // М. Наука, 1976.
- Волков П.К., Захаров Б. Г. Гидродинамика и конвективный тепломассоперенос в условиях слабой гравитации. // Доклады Академии Наук, 1998, т.361, N5, с. 616−619.
- Коробицына Ж.Л., Тычков С. А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса с учетом фазового перехода в геодинамике. // ЖВМ и МФ, 1997, т.37, N6, с. 733−741.
- Spohn Т., Schubert G. Convective thinning og the litosphere: a mechanism for rifting and mid-plate volcanism on Earth, Venus and Mars. // Tectonophysics, 1983, v.94, p.67−90.
- Трубицын В.П., Белавина Ю. Ф., Рыков B.B. Тепловое и механическое взаимодействие мантии с континентальной литосферой. // Физ. Земли, 1993, N11, с.3−15.
- Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. // М. Мир, 1983.
- Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. // М. Атомиздат, 1961.
- Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. // Новосибирск. Наука. 1973.
- Тихонов А.Н., Самарский A.A. Об одной наилучшей однородной разностной схеме. // Доклады Академии Наук СССР, 1959, т. 124, N4, с.779−782.
- Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. // М. Энергоатомиздат, 1984.
- Булеев Н.И., Тимухин Г. И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкости. // Известия СО АН СССР, 1969, N3, вып.1, с. 14−24.
- Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. //М. Наука. 1978.
- Пейре Р., Тейлор Т. Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. //Л. Гидрометеоиздат. 1986.
- Булеев Н.И., Тимухин Г. И. О составлении разностных уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. // Численные методы механики сплошных сред, 1972, т. З, N4, с. 19−26.
- Allen D.N., Southwell R.V. Relaxation methods applied to determine the motion, in two dimensions, of a viscous fluid past a fixed cylinder. // Mech. and Appl. Math., 1955, vol. VIII, part 2, p. 129−145.
- Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Мат. заметки, 1969, т.6, N2, с.237−248.
- Данаев Н.Т., Смагулов Ш. С. Об одной методике численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных (|/, ю). // Моделирование в механике. Сб. научных трудов. 1991, т.5(22), N4, с.38−47.
- Кузнецов Ю.А., Местиашвили К. В. Об оптимизации вариационно-разностных методов для задач с пограничным слоем. // Сб. Разностные и вариационно-разностные методы. Новосибирск, 1977, N2, с.101−110.
- Игнатьев В.Н., Задорин А. И. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром на неравномерной сетке. // Препринт 229, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1980.
- Игнатьев В.Н., Задорин А. И. О плохой обусловленности при численном решении уравнений с малым параметром. // Препринт 84, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1981.
- Кочергин В.П., Щербаков А. В. О разностных схемах второго порядка аппроксимации для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных. // Численные методы механики сплошных сред, 1974, т.5, N1, с.88−97.
- Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем.//М. Наука, 1979.
- Barrett К.Е. The numerical solution of singular-perturbation boundary-value problems. // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1974, v.27, N1, p. 57−68.
- Pearson C.E. On a differential equation of boundary layer type. // J. Math. Phys., 1968, N47, p. 134−154.
- Miller I.I. Sufficient conditions for the convergence, uniformly in г, of a three point difference scheme for singular perturbation problem. // Lect. Notes Math., 1978, N679, p.85−91.
- Алексеевский M.B. О разностной схеме для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // В кн.: Разностные методы мат. физики. М., 1979, с. 36−60.
- Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. // ЖВМ и МФ, 1969, т.9, N4, с.841−859.
- Дубовик К.Г., Никитин С. А., Полежаев В. И. Гидродинамические эффекты температурного и концентрационного расслоения. // В сб. Проблемы вязких течений. ИТПМ СО РАН, Новосибирск, 1981, с. 5564.
- Полежаев В.П., Грязнов B.JI. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных 'вихрь, функция тока'. // Доклады Академии Наук СССР, 1974, т. 219, N2, стр. 301−304.
- Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости. // В сб. Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып.З. 1971.
- Полежаев В.П., Валъциферов Ю. В. Численное исследование нестационарной тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла. //В сб. Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. Вып.З. 1971.
- Тарунин E.JI. Анализ аппроксимационных формул для вихря скорости на твердой границе. // Уч. зап. Пермск. пед. ин-та. Гидродинамика. 1976, N 152, вып. 9, с. 167−179.
- Мызникова Б.И., Тарунин E.JI. О граничных условиях для вихря скорости в задачах динамики вязкой жидкости. //В кн.: Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. Свердловск: Изд. УНЦ АН СССР, 1979, с. 90−101.
- Бердников B.C., Кирдяшкин А. Г. Структура свободно-конвективных течений в горизонтальном слое жидкости при различных граничных условиях. // В сб. Структура пристенного пограничного слоя. Новосибирск, 1978, с. 5−45.
- Thom A. An investigation of fluid flow in two dimensions. // Aer. Res. C.R.aM. 1928, N1194.
- Woods L. Note on the numerical solution of fourth order differential equations. // Aero Quart. 1954, N5.
- Грязнов B.JI., Полежаев В. И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции. // Препринт Ин-та проблем механ. АН СССР, 1974, N40.
- Герасимов Б.П. Один метод расчета задачи конвекции несжимаемой жидкости. // Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1975, N13.
- Schneider G.E., Zedan М. A modified strongly implicit procedure for the numerical solution of field problems. // Numerical Heat Transfer, 1981, vol. 4, pp. 1−19.
- Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. // Новосибирск. Наука. 1967.
- Талонов В.А. Численное решение задачи о конвективном течении в замкнутой полости методом компактных разностей повышенного порядка точности. // Препринт N 273−94.
- Vahl Davis G. De, Jones I.P. Natural convection in a square cavity: a comparison exercise. // Int. J. for Num. Meth. in Fluids, 1983, vol.3, pp.227 248.
- Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. // Изд-во М. Ун-та, 1987.
- Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами: Учебное пособие. // НГУ, Новосибирск, 1989.
- Cheblakova Е.А., Gadiyak G.V. Convective flow in an upright enclosed square cavity: a comparison exercise. // International Journal of Computational Fluid Dynamics, 1998, vol. 10, N2, pp. 139−149.
- Cheblakova E.A., Gadiyak G.V. Natural convection in an enclosed square cavity: numerical solution using method of integral identities. // Proceedings of the V Int. Conference on Simulation of Devices and Technologies, Obninsk, 1996, pp.135−141.
- Гадияк Г. В., Чеблакова E.A. Моделирование роста кристаллов методом Чохральского с учетом образования дислокаций. // Математические модели и численные методы механики сплошных сред. Международная конференция. Тезисы докладов. Новосибирск, 1996.
- Гадияк Г. В., Чеблакова Е. А. Моделирование роста кристаллов методом Чохральского. // II Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. Новосибирск, 1996.
- Cheblakova E.A., Gadiyak G.V. Convective flow in an upright enclosed square cavity: a comparison exercise. // (электронная публикация) http://rii.arxiv.Org/find/phvs3cs/l/Cheblakova/0/l/0/1999/3/0
- Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. // M.-JI. Энергия, 1964.
- Роуч П. Вычислительная гидродинамика. // М. Мир. 1980.
- Калис Х.Э. О постановке граничных условий для решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости. // Сб. Проблемы вязких течений. СО АН СССР, 1971.
- Кускова Т.В., Чудов JI.A. О приближенных граничных условиях для вихря при расчете течений вязкой несжимаемой жидкости. // Вычислительные методы и программирование, изд-во МГУ, 1968, вып. XI.
- Воеводин А.Ф. Об устойчивости разностных граничных условий для функции вихря на твердой стенке. // ЖВМ и МФ, 1998, т.38, N5, с. 855 859.
- Pearson С.Е. A computational method for viscous flow problems. // J. Fluid Mech., 1965, v.21, part 4, p.611−622.
- Булеев Н.И., Тимухин Г. И. Течение вязкой жидкости на входном участке плоского канала. // ПМТФ, 1967, N3, с.126−130.
- Jensen V.G. Viscous flow round a sphere at low Reynolds numbers (<40). // Proc. Roy. Soc. London, 1959, ser. A, v.249, p.346−366.
- Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. // М. Наука. 1973.
- Булеев H.H. Численный метод решения двумерных уравнений диффузии. //Мат. сб., 1960, т.51(93), N2, с.227−238.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.1,2. // М. Гос. Изд-во Физико-мат. л-ры, 1962.
- Остапенко В.В. Метод теоретической оценки дисбалансов неконсервативных разностных схем на ударной волне. // Доклады Академии Наук СССР, 1987, т.295, N2, с. 292−297.
- Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. // М. Мир, т. 1,2, 1990.
- Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. // М. Мир, т. 1,2, 1991.
- Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. // М. Наука, 1974.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. // М. Наука, 1973.
- Тарунин Е.Л. Нестационарная конвекция жидкости в замкнутой полости. // Известия АН СССР, МЖГ, 1968, N6, с.83−88.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л. Численное исследование конвективного движения в замкнутой полости. // Известия АН СССР, МЖГ, 1966, N5, с.56−62.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу. // Известия АН СССР, МЖГ, 1966, N6, с.93−99.
- Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. //М. Мир, 1972.
- Самарский А. А, Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. // М. Наука, 1973.
- Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. // J. Comput. Phys., 1967, vol.2, pp. 12−26.
- Антонцев С.Н., Кажихов А. В., Монахов А. В. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. // Н. Наука, 1983.
- Gadiyak G.V., Korobitsina J.L., Kramarenko V.I. Numerical simulation of the thermal oxidation of silicon. // COMPEL, 1992, vol.11, N4, pp.419−431.