Неравномерные и квазинеравномерные оценки для асимптотических разложений в ЦПТ

Ф.Эджворт также изучал асимптотические разложения в ЦПТ (см. [26]) и, вслед за П. Л. Чебышевым, вновь получил ряд (0.1). Все перечисленные исследователи ограничивались поиском формальных разложений, и только в 1920;х годах Г. Крамер получил первый строгий результат о скорости сходимости остаточных частей разложения (0.1) для функций распределения. Начиная с 50-х в след за Г. Крамером асимптотические разложения активно изучались другими исследователями. Упомянем Г. Бергстрема, который, получил ряд (0.1), используя следующее асимптотическое разложение вообще говоря, П. Л. Чебышев получил ряд для вероятностей. Нам же будет удобно вести изложение в терминах плотностей распределений. n 1=0 называемое теперь разложением Бергстрема (см. [21]). Здесь * - операция свертки распределений, фг_±(х) — плотность нормального распределения с нулевым средним и дисперсией 1 —^, р (х) = л/пр (>/пх), где р (х) — некоторая плотность распределения с нулевым средним и единичной дисперсией. Отметим отдельно известную работу Л. В. Осипова [10], в которой он выписал оценку скорости сходимости асимптотического разложения в ЦПТ. Ссылки на других авторов, занимавшихся этой тематикой можно найти в [1], [3], [4], И, И, [И] • Исследователи периода 50-х — 70-х годов получили важные результаты, обладавшие, однако, одним существенным недостатком: оценки остаточных частей разложений давались в формах, не позволяющих получать явные оценки погрешностей. Первая явная оценка для остаточных частей асимптотических разложений, известная автору, получена Р. Шимицу (см. [30]) в 1974 году. Долгое время после этого никаких обобщений работы [30] не было. Лишь в последние годы появились явные оценки остаточных частей асимптотических разложений. Упомянем работы В. Добрича и Б. К. Гоша [25], А. Е. Кондратенко и В. В. Сенатова [8]. Остановимся на содержании диссертации. Диссертация посвящена асимптотическим разложениям в ЦПТ, названным разложениями Бергстрема-Чебышева2. Основное внимание в работе уделено развитию методов, с помощью которых можно получать явные неравномерные и квазинеравномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева для плотности Рп (х) (если она существует) распределения нормированной суммы (Х1+Х2+. .+Хп)п2 независимых одинаково распределенных случайных величин Xj, j 6 1, п, с нулевым средним и единичной дисперсией. Поясним, что под квазинеравномерными оценками для остатков разложений подразумеваются такие оценки, которые представляют собой суммы величин, некоторые из которых равномерны по х, но при росте п убывают быстрее, чем (оптимальные) равномерные оценки остатков, а другие неравномерны по х. В первых трех параграфах первой главы диссертации дается определение формального разложения Бергстрема-Чебышева для плотности рп (%), приводится его формальный вывод, даются примеры нескольких его первых членов. Затем выписываются формулы для остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева. Поскольку полученные формулы достаточно громоздки и при их выводе используются новые технические приемы, сначала строится такая формула для разложения Бергстрема-Чебышева плотности рп (х) такой, что у исходного распределения Р конечен шестой момент. Затем приводится обобщение формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева на случай, когда у распределения Р конечен момент порядка m + 3, m G N. В четвертом параграфе первой главы формулируются четыре теоремы о явных равномерных оценках остаточных частей разло2Предложенное название объясняется тем, что техника получения этих разложений использует работу с многократными сверткам, которая появилась в работе Г. Бергстрема [21], а разложения, в которых используются производные нормального закона, естественно связать с именем П. Л. Чебышсва. жения Бергстрема-Чебышева. В этих теоремах рассматриваются разложения для плотностей распределений нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и используется условие, гарантирующее существование этих плотностей. Одна из этих теорем дает оценку остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева плотности рп (х) в общем случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка т + З, т Е N. Три другие теоремы это частные случаи общей теоремы. В них предполагается существование четвертого, пятого, шестого моментов соответственно. Сначала проводится отдельное доказательство теоремы с условием конечности шестого момента, затем доказывается общий случай. В первом параграфе второй главы доказывается теорема, содержащая явную неравномерную оценку короткого разложения Бергстрема-Чебышева. В теореме предполагается конечность четвертого момента и плотность рп (х) аппроксимируется ее разложением Бергстрема-Чебышева ф (х) — 3r^^i_i (' T) Здесь ф — плотность стандартного нормального закона, ф\ - третья произп водная плотности нормального закона с нулевым средним и дисперсией 1 —^, Аз — третий момент распределения Р. Остаточная часть разложения теоремы имеет порядок О (^Ь?) при п, х —" со. В первом параграфе третьей главы дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей распределений из Rd, d Е N. Выписана равномерная оценка остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей в случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка m + 3, т Е N. Во втором параграфе третьей главы диссертации дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для функций распределения. Получена равномерная оценка остаточной части разложения БергстремаЧебышева для функции распределения Рп в случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка т + 3, т € N. Выписано несколько квазинеравномерных оценок для Рп при условии конечности моментов порядка четыре и пять. В третьем параграфе третьей главы строятся асимптотические разложения Бергстрема-Чебышева для решетчатых распределений, найдены явные оценки остаточных частей таких разложений. В четвертом параграфе третьей главы на нескольких примерах показано, как из разложения Бергстрема-Чебышева можно получать разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера, записанные в терминах псевдомоментов Д,-, а не моментов Чебышева-Эрмита и семиинвариантов соответственно. Продемонстрировано, как при переходе от разложения к разложению меняются их остаточные части. Делается вывод, что разложения Бергстрема-Чебышева являются предпочтительными перед разложениями Эджворта-Крамера и ГрамаШарлье в смысле получения «хороших» оценок остаточных частей. В работе используется двойная нумерация формул, лемм и теорем. Первое число указывает на главу, второе — на порядковый номер формулы, леммы, теоремы внутри главы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 33 наименования. Общий объем работы составляет 69 страниц. Работа выполнена под руководством доктора физико-математических наук Владимира Васильевича Сенатова, которому автор глубоко благодарен за помощь и постоянное внимание.

1. Бхаттачария Р. П., Ранга РаоР. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, М., Наука, 1982.

2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей, М., Наука, 1988.

3. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, М., Л., ГИТТЛ, 1949.

4. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин, М., Наука, 1986.

5. Ибрагимов И. А., ЛинникЮ.В. Независимые и стационарно связанные величины, М., Наука, 1965.

6. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений, М., Наука, 1966.

7. Кондратенко А. Е., Сенатов В. В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ. Доклады РАН, 2001, Т. 378, № 6, С. 748−750.

8. Крамер Г. Математические методы статистики, М., Мир, 1975.

9. Осипов Л. В. Об асимптотических разложениях функции распределения сумм случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. — Вестник Ленинград. Унив., 1972, № 1, С. 51−59.

10. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, М., Наука, 1987.

11. Прохоров Ю. В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова. — Изв. АН СССР. Сер. матем., 1952, 16−3, С. 281−292.

12. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей: основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы, М., Наука, 1967.

13. ФеллерВ.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, М., Мир, 1967.

14. Чебышев П. Л. Избранные труды, М., Изд. АН СССР, 1955.

15. Осмоловский Ю. И. О некоторых свойствах многомерных аналогов многочленов Чебышёва-Эрмита. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, М, С. 373−378.

16. Сенатов В. В. Несколько асимптотических разложений в ЦПТ в многомерном случае. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, № 2, С. 293−306.

17. Сенатов В. В. Об одном многомерном аналоге разложения Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2007, Т. 52, № 3, С. 603−610.

18. Сенатов В. В. Центральная предельная теорема: точность аппроксимации и асимптотические разложения, М., Либроком, 2009.

19. Ярославцева Л. С. Неклассические оценки точности приближения асимптотическими разложениями в центральной предельной теореме. — Теория вероятностей и ее применения, 2008, Т. 53, № 2, С. 390−393.

20. Bergsrom, Н. On asymptotic expansions of probability functions. — Skandinw. actuarietidskrift, 1951, H. 1−2, P. 1−34.

21. Cramer H. Half a Century with Probability Theory: Some Personal Recollections. — Annals of Probability. 1976, V. 4, № 4, 509−546.

22. CramerH. Studies in the History of Probability and Statistics. XXVIII On the history of certain expansions used in mathematical statistics. — Biometrika, 1972, V. 59, № 1, P. 205−207.

23. DasGuptaA. Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer, 2008.

24. DobricV., Ghosh В. К. Some analogs of the Berry-Esseen bound for first-order Chebyshev-Edgeworth expansions. — Statist. Decisions, 1996, V. 14, № 4, P. 383−404.

25. EdgeworthF. Y. The law of error. — Proc. Camb. Philos. Soc., 1905, 20, P. 36−65.

26. Kolassa J. E. Series Approximation Methods in Statistics, Third Edition, Springer, 2006.

27. NagaevS. V.} Chebotarev V. I. On the Bergstrem type asymptotic expansion in Hilbert space. — Siberian Advances in Math., 1991, V. 1, № 2, P. 130−145.

28. Senatov. V. V. On estimaiton of the approximation error in asymptotic expansions in the central limit theorem. — J. Math. Sciences, 2002, 112(2), P. 4174−4193.

29. Shimizu R. On the remained term for the central limit theorem. — Springer Netherlands, 1974, V. 26, №, P. 195−201.

30. СюлюкинА. В. Об асимптотических разложениях Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54−1, с.176−185.

31. СюлюкинА. В. О квазинеравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Теория вероятностей и ее применения, 2009, 54−2, с.391−399.

32. СюлюкинА. В. О неравномерных оценках остаточных частей для разложения Бергстрема-Чебышева. — Вест, ник Тверского государственного университета. Серия: прикладная математика, 2009, Вып. 1(12), с.79−88.