Неклассические уравнения Вольтерра I рода в интегральных моделях динамических систем: Теория, численные методы, приложения

В 1896 году вышла в свет работа Вито Вольтерра [195], заложившая основы теории интегральных уравнений, названных впоследствии его именем. В этой работе Вольтерра установил, что решение (p (t) интегрального уравнения I рода t.

J K (t, s) v (s)ds = f (t), te[to, T, (0.1) to при соответствующей гладкости исходных данных — ядра K (t., s) и правой части f (t), а также условии K (t, t) ф 0 Vi Е [¿-о,?1], представим" в виде явной формулы обращения, содержащей резольвентное ядро.

За истекшее столетие теории и численным методам решения уравнения (0.1), а также его различных обобщений были посвящены тысячи статей и десятки монографий. Прекрасный обзор современного состояния исследований в этой области дан в [160]. Укажем также обзор [145], в котором содержится более полная библиография работ отечественных математиков.

Новый импульс в изучении уравнений Вольтерра I рода был связан с созданием общей теории некорректных задач, решающий вклад в которую внесли выдающиеся математики современности А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов, их ученики и последователи.

Типичным примером некорректно поставленной в классическом, адамаровом смысле задачи является интегральное уравнение Фред-гольма I рода. т.

J K (t, s) ip (s)ds = ДО, t G [?о, Т], (0.2) to интерес к которому вызван как исключительной важностью (0.2) для приложений (задачи спектроскопии, гравиметрии, радиоастрономии и т. д.), так и наличием всех характерных для существенно некорректных задач трудностей (возможное нарушение адамаровых требований существования решения, его единственностизаведомая неустойчивость решения к возмущениям исходных данных в любых «разумных» функциональных пространствах).

Поскольку уравнение (0.1) является частным случаем (0.2) (когда ядро в (0.2) обращается в нуль на треугольнике ¿-о < t < s < Т), то для устойчивого приближенного решения (0.1), вообще говоря, можно использовать стандартные методы регуляризации некорректных задач, основанные, например, на редукции исходной задачи к уравнению Эйлера для функционала А. Н. Тихонова. Такой подход реализован в [88, 140, 1]. С другой стороны, в большинстве зарубежных работ (среди пионерных отметим статьи [180, 169, 170, 172, 181, 163, 166, 168]) уравнение (0.1) трактуется как столь лее «хорошее», что и уравнение Вольтерра II рода, и для его численного решения предлагаются стандартные методы классической вычислительной математики. Обоснованием такого подхода служит тот факт, что при достаточной гладкости исходных данных (0.1) эквивалентно некоторому уравнению Вольтерра II рода, так что задача решения (0.1) корректна по Адамару в соответствующих функциональных пространствах.

Оба указанных направления имеют существенные недостатки. Так, главный недостаток первого заключается в том, что уравнение Эйлера для функционала А. Н. Тихонова содержит оператор V*V (V — оператор Вольтерра, определяемый левой частью (0.1), (V* -ему сопряженный), который уже не является вольтерровым. По этой причине при его численном решении приходится иметь дело с квадратной матрицей СЛАУ, что существенно ограничивает длину Т — Ц (временного) интервала восстановления искомого решения, а также величину шага сетки. Недостаток второго подхода — игнорирование того факта, что погрешность исходных данных, наличие которой в прикладных задачах неизбежно, выводит, как правило, решение (0.1) за пределы множества корректности, и потому приближенное решение, получаемое обычным «сходящимся» численным методом, может не иметь ничего общего с истинным.

Очевидно, наиболее целесообразен компромиссный путь, заключающийся в разработке специальных регуляризующих алгоритмов, учитывающих специфику интегральных уравнений I рода типа Вольтерра.

Первой в этом направлении была работа В. О. Сергеева [125], развитая в дальнейшем H.A. Магницким [103]. Им же выполнен цикл работ [104, 105, 106] по теории многопараметрических семейств решений интегральных уравнений Вольтерра I и III рода. A.M. Денисовым [90] рассмотрена схема (предложенная ранее М. М. Лаврентьевым в [100], [101] для случая вполне непрерывных самосопряженных неотрицательно определенных операторов в гильбертовых пространствах), заключающаяся в переходе от (0.1) к уравнению Вольтерра II рода t xp (t) + JK (t, s).

II /"-Ж> 11с[1оЛ< i.

Им показано, что при достаточной гладкости ядра и точного решения Tpit) уравнения (0.1) и условии.

II т-<�РаА*) Iсм=0(61>), где (fa, s (t) — решение (0.3), а, а = а (6) X 6%.

Таким образом, устойчивое в C[tQ>x] приближенное решение (0.1) может быть получено из (0.3) при согласовании параметра, а с 8, 6 —> 0.

Отметим также большой цикл работ М. М. Лаврентьева и его школы (Ю.Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма, С. И. Кабанихина, В. Г. Романова и др.) по операторным уравнениям Вольтерра I рода, введенным М. М. Лаврентьевым [99] в связи с задачами интегральной геометрии (см., например, монографии [98, 60, 61] и приведенную там литературу).

К этой тематике примыкают и задачи компьютерной томографии. Прекрасный обзор исследований в этой области можно найти в монографиях [119, 144, 114].

Регуляризация вольтерровых уравнений I рода (линейных и нелинейных, однои многомерных) при нарушении условий их разрешимости в пространствах непрерывных функций (например, если в (0.1) /(¿-о) ф 0) рассматривалась М. И. Иманалиевым [93] и его школой.

Регуляризующие итерационные процедуры, учитывающие вольтер-ровую специфику, в последние годы рассматривались В. В. Васиным [194, 66], Р. Lamm [174] - [178], R. Plato [185] - [188].

При реализации на ЭВМ того или иного регуляризующего алгоритма (p.a.) для решения интегрального уравнения I рода неизбежно применение процедуры дискретизации (конечномеризации) исходного уравнения.

Подобная процедура для уравнений I рода типа Вольтерра не является тривиальной, и если она осуществлена неудачно, то эффект, ожидаемый от редукции исходного уравнения к регуляризованному, может быть полностью нейтрализован, например, неустойчивостью используемой разностной схемой. С другой стороны, оказалось, что «удачная» дискретизация сама по себе обладает регуляризующим свойством.

Применительно к (0.1) регуляризующее свойство процедуры дискретизации, когда в качестве параметра регуляризации выступает шаг квадратурной формулы, впервые было обосновано в совместной статье автора и A.B. Бакушинского [7] и в статье автора [8]. Эти результаты обобщались автором в различных направлениях и легли в основу кандидатской диссертации [19]. В ней, в частности, дана классификация интегральных уравнений I рода типа V (/c), к? [0, оо] (V — Вольтерра, к — показатель «степени» некорректности) и разработана общая схема построения методов саморегуляризации (по терминологии [141], [92]) для уравнения типа V (k), к < оо.

К типу V (k) относятся не только собственно уравнения Вольтерра I рода, но и уравнения Фредгольма I рода (0.2) с особенностями ядра или его производной по t конечного порядка на диагонали s = t (условие il (M) ф 0 Vi G накладываемое на ядро уравнения (0.1), также позволяет отнести (0.1) к этому классу, поскольку означает разрыв I рода ядра уравнения (0.2) в каждой точке диагонали s = t), уравнения Абеля, уравнения вычислительной томографии (преобразование Радона) и многие другие.

Отметим, что саморегуляризуюгций эффект проекционных методов решения подобных уравнений изучался в [63, 64, 79, 80, 184, 191].

С середины 80-х годов внимание автора привлекло интегральное уравнение Вольтерра I рода вида t j K (t, s) v{s)ds = f (t), te[t0,n (0.4) a (t) отличающееся от (0.1) наличием (неубывающей) функции a (t) в нижнем пределе интегрирования. Интегральные операторы такого вида являются «визитной карточкой» интегральных моделей развивающихся систем, введенных впервые в 1977 году В. М. Глушковым [76] для моделирования двухсекторной макроэкономики. Уравнение (0.4) для частного случая a (t) = qt, 0 < q < 1, t0 = 0 было впервые рассмотрено еще в 1897 году самим Вольтерра [196]. В статье [161], специально подготовленной к столетнему юбилею уравнений Вольтерра I рода, приведен список публикаций начала 20-го века, имеющих отношение к (0.4). По нашему мнению, новый импульс в развитие теории и численных методов решения (0.4) был связан именно с моделями развивающихся систем типа В. М. Глушкова, так как при идентификации функциональных параметров, входящих в эти модели, приходится иметь дело с (0.4).

Оказалось, что перенесение результатов, известных для (0.1), на случай (0.4) является делом нетривиальным. Более того, сам математический аппарат исследования (0.4) существенно зависит от того, выполняется ли условие a (t).

Чтобы понять принципиальную разницу между (а) и (6), a также между (0.1) и (0.4), рассмотрим простейшие тестовые примеры.

Если в (0.1) положить K (t, s) = 1, то точное решение (0.1)^p (t), существование которого в обеспечено, если f (t) Е и о) = 0, выражается формулой.

W) = f'{t), te[t0,T. (0.5).

В то же время решение (0.4) при K (t, s) = 1 и a (t) = t — 1 (случай (а)) имеет вид к— 1.

W) =? /'(* -1) + (pQ (t — к), t е [i0 + к — i, to + к), (0.6) о где ifo (t) — заданная начальная функция на предыстории [/0 — l,?ob, а к = 1, [Т — ?o] + 1 ([¦ • •] - символ антье) — если же a (t) = t0 = 0 (случай (6)), то.

00 1 /1 I6[I0,T]. (0.7).

Итак, видно, что, если решение (0.1) в точке t G [to, Т] определяется лишь значением производной от правой части в этой же точке, то в случае (а) уже требуется вычисление производной от правой части в конечном числе точек, а также подсчет в некоторый момент предыстории начальной функции <£>о (0> в случае же (6) необходимость в задании^о (^) отпадает, но зато ряд, входящий в формулу обращения (0.7), бесконечен.

Поскольку уравнения типа (0.1), как отмечалось выше, изучались сотнями авторов в тысячах публикаций, а уравнения (0.4) до сих пор малоисследованы, то естественно (0.1) называть классическими, стандартными уравнениями, а (0.4) — неклассическими.

Теории, численным методам и некоторым приложениям неклассических уравнений типа (0.4) посвящена первая часть настоящей диссертации (главы 2, 3), ставшая основой монографии автора [47].

Во второй части рассматриваются иные классы уравнений Вольтер-ра I рода, для которых характерны их многомерность и переменность всех пределов интегрирования. Последний признак роднит эти уравнения с (0.4). При этом априорные свойства искомых решений типа полной или частичной симметрии в области определения в сочетании с их непрерывностью позволяют получать решения в виде явных формул обращения.

Эти уравнения введены автором в связи с проблемой моделирования нелинейных динамических систем, трактуемых как черный ящик, с помощью универсального аппарата рядов Вольтерра.

Общеизвестна теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами, согласно которой для всякой непрерывной на га-мерном параллелепипеде Пп = {:сг/аг- < жг- < 6г-, г = 17п} функции /(жь. ., хп) и любого с > 0 найдется такой многочлен п п п.

Рт (хи., хп) = с0 +? ед + X] Е Н——-Ь.

1 {= п п Е •¦•? (0.8).

1 = 1 гт = 1 что п) Рт (% Ь • • • 5 хп) <? /жь., хп? Пп. (0.9).

При этом теорема Вейерштрасса не дает рецепта по выбору коэффициентов многочлена, обеспечивающих требуемую точность аппроксимации. При дополнительных условиях гладкости f (xl,. ., хп) в качестве таких коэффициентов можно выбрать, например, коэффициенты разложения /(а^,., хп) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки г = 1, п: 1.

Сг1.лк — ^ д (к).

1(хъ.хп) (0.10).

Хг=Х}.

Менее известно, что, согласно континуальному аналогу теоремы Вейерштрасса — теореме Фреше [167], для всякого непрерывного на компакте К С отображения у (<) = ^(х (£)) и любого? > 0 найдется такое т, что выполняется неравенство ^М*)) — Рт№)) ||с, 01Т]< 5 6 /С, (0.11) где т т т.

Тт (х{г)) = К0(г)+ У K1(t, s) x (s)ds + У У /^(^Ь^М^О^^^М^- ¦ ¦

0 to.

Т Т.

——^ У «' У 5'Ь ' ' • ' ^М^) ' • • Ж^го)^! • ¦ • ¿-Згп. (0.11.

10 ?0.

Если оператор Г (х (1)) является причинным [62] (то есть при любом Г е [?о, Г] сужение образа на промежуток зависит лишь от значений .г (/) на том же промежутке), то г г г to, ?0 ?0 г I.

——^ ! ! 1,. .. , 5то) ж (51) • • • :фто)с¹ • • • (¿-5т. (0.13) о ?0.

Доказательство (0.11) для случая (0.13) дано в [62].

Уточнению и обобщению теоремы Фреше для различных классов операторов и функциональных пространств посвящены работы [157, 189, 190, 171, 84, 85, 86, 87].

Поскольку причинность есть характеристическое свойство любой физически реализуемой динамической системы, то ршенно интегро-степенной ряд Вольтерра (иначе — полином Вольтерра [62]) (0.13) является универсальной математической моделью динамической системы типа вход-выход, в которой выходной сигнал есть непрерывная функция входного.

В (0.13) функция (г + 1)-ой переменной К{ называется г-ым ядром Вольтерра и в случае дифференцируемости по Фреше отображения? в качестве Л',-, г = 0, т может быть взята производная Фреше з 1,., 5г-), — некоторая фиксированная функция из /С, СО =^0с (0)(*)).

В том же случае, когда оператор? неизвестен (а именно этот случай соответствует задаче построения математической модели реальной динамической системы), возникает проблема идентификации ядер Вольтерра по тем или иным наборам входных-выходных сигналов.

Наиболее распространенная методика идентификации, использующая входные сигналы импульсного типа [83], во многих случаях физически нереализуема [102]. Недостатки другого известного подхода, восходящего к Винеру [70] и основанного на тестовых сигналах в виде белого шума, связаны с его чрезвычайной трудоемкостью. Анализ некоторых других подходов приведем ниже в гл. 4, а детальный обзор современного состояния исследований в этой области содержится в [128].

В 1991, 1992 гг. в работах [30, 152, 153, 156, 48, 49] автором был предложен метод идентификации ядер Вольтерра, базирующийся на задании тестовых сигналов в виде специальных линейных комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом.

Оказалось, что такой подход, сохраняя свойство физической реализуемости тестовых сигналов, сводит проблему идентификации К^ к весьма специфическим многомерным линейным уравнениям Вольтерра I рода. Эти уравнения по аналогии с известными в теории интегральных уравнений парными одномерными уравнениями, позволяющими определить непрерывное на всей вещественной оси решение как склейку в нуле непрерывных на полуосях [—оо, 0] и [0, со] функций, естественно назвать двойными, тройными, шестерными и т. д. (г + 1)-мерными интегральными уравнениями в зависимости от числа склеек на соответствующих гиперплоскостях. Введенные уравнения допускают явные формулы обращения и в идейном плане близки к уравнениям компьютерной томографии.

В дальнейшем этот подход развивался автором в различных направлениях — как теоретическом [31] - [35], [154], так и — совместно с учениками и коллегами, — прикладном [36, 37, 38, 135, 155, 50, 51].

Этой проблематике посвящена вторая часть диссертации (гл. 4, 5).

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания отдельных глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. Она посвящена классическим уравнениям Вольтерра I рода и содержит в основном результаты автора, явившиеся базой для соответствующих обобщений на неклассические уравнения, которым посвящены главы 2−5 диссертации.

В гл. 2 рассмотрено уравнение (0.4) при условии (а).

В § 2.1 уточняется постановка задачи. Акцент делается на двух обстоятельствах. Во-первых, вместо обычного (см., например, [91, 115,.

149]) предположения строгого возрастания функции а (£), означающего в моделях развивающихся систем невозможность восстановления выбывших (отмирающих) элементов системы, мы вводим более слабое условие неубывания a (t), которому удовлетворяет и нижний предел a (t) = ¿-о классического уравнения (0.1). Во-вторых, общепринятое [115, 138, 139, 149] задание начальной функции на предыстории в форме Tp{t) — (po (t), t G делает задачу переопределенной, так как значение tp (to) искомой функции на левом конце отрезка [/q, Т] естественным образом определяется в силу самого уравнения (0.4). Поэтому далее принимается [47, 52], что.

Естественность (0.15) легко показать, если рассмотреть частный случай n (f) = a (t{)) и устремить разность /о ~ «(А)) к нулю. Предельное уравнение (0.4) при этом совпадает с классическим — (0.1), а предыстория ["(?o)i^o)-, как 11 должно быть, становится пустым множеством.

В § 2.2 на простейшем примере уравнения (0.4), когда K (t, s) = 1 и a (t) = t — а, а > 0, демонстрируется способ получения искомого решения, известный в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом как метод шагов. Установлены также условия согласования начальной функции (po (t) и правой части /(?) в точке t — t о, обеспечивающие нужную гладкость решения в стыковых точках.

Важность условий согласования демонстрируется в § 2.3 на серии иллюстративных примеров.

Теорема существования и единственности решения (0.4) в ^ доказана в § 2.4, а в § 2.5 получена оценка устойчивости решения, a'(t) > 0.

0.14).

Ш =.

0.15) yk = t0 + ka, k = l, N, N < ^ или, что равносильно, оценка нормы обратного оператора, рассмао (1) © (1) триваемого действующим из C[iotT хС[а (*0),*о] в (П°Д С понимается пространство непрерывно дифференцируемых правых частей (0.4), удовлетворяющих дополнительным условиям согласования с K (t, s), a (t) ж ipo (t) в точке ¿-о).

В § 2.6 проведено исследование одной специальной задачи выпуклого программирования, связанной с проблемой получения неулучшаемых оценок решений неклассических интегральных неравенств, обобщающих неравенство Г.-Б.

§ 2.7 — 2.13 посвящены численным методам решения уравнения (0.4) с условием (а) и приложениям к задачам энергетики.

В § 2.7 на тестовом примере (0.4) с K (t, s) = l, a (t) = t—(po (t) = t показано, что метод правых прямоугольников, дающий в классическом случае линейную по шагу сетки h сходимость, применительно к (0.4) с условием (а) не сходится (его погрешность есть 0{ 1)).

Геометрическая интерпретация потери одного порядка сходимости метода квадратур для (0.4) по сравнению с (0.1) дана в § 2.8.

Общая теорема сходимости модифицированного метода квадратур, сохраняющего классический порядок сходимости применительно к (0.4), (а), доказана в § 2.9.

В § 2.10 изложены четыре способа восстановления порядка сходимости, совпадающего с порядком аппроксимацииприведены численные эксперименты и их анализ, показывающий, что каждая из модификаций имеет свои преимущества и недостатки по сравнению с другими. Предложена также модификация методов типа Рунге-Кутта, позволяющих за счет выбора дополнительных узлов подсетки основной сетки получать сходимость любого наперед заданного порядка.

В § 2.11 отмечается важная стабилизирующая роль монотонности a (t) (и ее приближения a (t)) при анализе саморегуляризующего свойства дискретизации рассмотренных уравнений.

Два заключительных параграфа второй главы посвящены применению изложенного аппарата к задачам энергетики.

В § 2.12 построена модель для определения долгосрочных стратегий ввода различных генерирующих мощностей электроэнергетической системы (ЭЭС) с учетом ограничений на топливо и капвложения, а также замены устаревших технологий новыми. Самостоятельное значение имеет моделирование механизма наработки и складирования вторичного ядерного топлива.

Наконец, в § 2.13 рассмотрена задача оптимизации выбора упомянутых стратегий с точки зрения минимума приведенных затрат на эксплуатацию и ввод новых мощностей за прогнозируемый период.

Третья глава посвящена исследованию (0.4) в предположении, что нижний предел a (t) удовлетворяет условию (6), и поскольку функция a{t) = i0 113 (0−1) также удовлетворяет (6), то (0.4) (6) можно трактовать как естественное обобщение (0.1).

В § 3.1 уточняется постановка задачи, уже не предполагающая, как в главе 2, задания начальной функции (fo (t) на предыстории [а (?о)> ¿-о) (условие (Ь) означает, что ставится задача моделирования развития системы с момента ее возникновения). Вводится числовая последовательность.

Zi = aT), г = 0,1,2,. al (t) — j-я степень отображения а (?), тоесть a°(t) = i, a2(t.) = a (a (t)) и т. д.), играющая принципиальную роль во всех последующих рассмотрениях и дающая представление отрезка [¿-о, Т] в виде оо к, Т] = и tii = [zi, zii], i= 1 причем lim = tQ в силу того, что alt) < t Vi G (tn, T]. г—+oo v J at) 6 C+[t0iT] и a'(to) < 1.

В § 3.2 для случая в) = 1 доказана теорема о представлении единственного непрерывного на [?о, Т] решения (0.4) с указанными выше условиями на а (£) в виде следующей формулы обращения оо г—1 т = Е/'ИО) П а’И*)), * € [?о, Т], (0.16) г=0 .7=0 а в § 3.3 теорема существования и единственности решения (0.4) в классе доказана для произвольного непрерывного, непрерывно дифференцируемого по I ядра ^ 0 Е [?о, Т]. Подчеркнем, что, в отличие от работы [91], где аналогичная теорема доказана при условии а'{&euro-) > 0, обеспечивающем обратимость функции а (/), в нашем доказательстве обратимость а (£) не предполагается.

Оценка устойчивости решения уравнения (0.4), рассматриваемого о (1) на паре (С[/0]Т], получена в § 3.4.

Следующий § 3.5 посвящен обобщениям леммы Г.-Б. на некоторые классы интегро-функциональных неравенств. В частности, установлено [26, 47], что неулучшаемые оценки решений неравенств г qu{qt) +М/и (8)сЫ + Г (0.17) и г и (1) < д (1 + М (1 — + М | + .Р, (0.18 где и (£) >0, 1 > д > 0, М > 0, .Р > 0, имеют вид.

Г^У (0Л9.

1-дге0 г! /?V 1 + д + + V соответственно.

§ 6 — 10 главы 3 посвящены численным методам решения (0.4) с условием (6).

В § 3.6 на модельном примере показано, что, в отличие от случая задания начальной функции на предыстории, рассмотренного в гл. 2, при стандартном использовании метода квадратур (правые прямоугольники) для решения (0.4) с условием (6) порядок сходимости сохраняется равным порядку аппроксимации, что указывает на органичную связь (0.4), (Ь) с (0.1). Вместе с тем, установлен пилообразный характер погрешности сеточного решения (0.4). Применительно к (0.1) это обычно свидетельствует о неустойчивости разностной схемы, но в рассматриваемой ситуации, напротив, установленный эффект позволяет разрабатывать алгоритмы повышения точности за счет использования специальных подсеток основных узлов.

В § 3.7, следуя [47], дано доказательство совпадения порядка сходимости с порядком аппроксимации и в общем случае, а в § 3.8 приведены результаты численных экспериментов и отмечены особенности применения квадратуры средних прямоугольников.

Сохранение саморегуляризующего свойства процедуры дискретизации при С-возмущениях правой части (0.4) установлено в § 3.9, а в заключительном § 3.10 показана устойчивость численного решения к возмущениям сохраняющим свойство неубывания.

Перейдем теперь к изложению содержания второй части диссертации.

Глава 4 посвящена проблеме построения математической модели черного ящика в виде ряда Вольтерра (0.13) в предположении, что входной х^) сигнал является скалярной функцией времени. Если дополнительно Кт зависят лишь от разностей 5 • = ^ — 5,-, г = 1, т (стационарный случай), то Кгп (з'1,., з'т) обладают свойством симметрии по всем аргументам. В общем случае Кт симметричны по всем переменным, кроме первого. Это свойствоКт является определяющим при построении методов идентификации гл. 4.

В § 4.1 дан краткий обзор некоторых известных подходов к построению ядер Вольтерра и отмечены их недостатки.

В § 4.2 изложена основная идея предложенного автором в [30, 31,152, 153,154] метода идентификации Кт, базирующегося на задании (т— 1)-параметрического семейства кусочно-постоянных тестовых сигналов, представимых в виде некоторых линейных комбинаций функций Хеви-сайда с отклоняющимся аргументом. Показано, как с учетом свойства симметрии свести задачу поиска Кч и А’з к решению двухи трехмерных линейных уравнений Вольтерра I рода, допускающих построение обратного оператора в явном виде.

В § 4.3 развит метод модельных примеров, позволяющий обобщить формулы обращения, полученные в предыдущем параграфе, на случай произвольного т.

Теоремы существования и единственности решения уравнений относительно К-2 и А’з доказаны в § 4.4, причем условия теорем являются необходимыми и достаточными.

С помощью естественной замены переменных в § 4.5 формулы обращения представлены в компактном виде, удобном для дальнейшего теоретического анализа.

Следующие два параграфа посвящены численной аппроксимации К2 и А’з. Получены сеточные аналоги формул обращения, отвечающие аппроксимации интегралов кубатурой средних прямоугольников, и доказан второй порядок их сходимости, а также свойство саморегуляризации в случае возмущенных исходных данных.

В § 4.8 развитая методика применена для построения квадратичной модели нестационарного теплообмена. В качестве входного сигнала принималось возмущение по расходу теплоносителя, а откликавозмущение по температуре на выходе теплообменника, причем для идентификации ядер и К3 и оценки погрешности построенной модели использовалось семейство откликов «эталонной» математической модели.

Наконец, в последнем § 4.9 предложенный подход обобщен на случай, когда ядра Вольтерра зависят явно от времени.

В отличие от главы 4, в главе 5 основным является предположение о векторности входного сигнала, а следовательно, о симметрии ядер Вольтерра /1г1.^т (51,., йто) лишь по тем переменным, которые отвечают совпадающим индексам. С одной стороны, это усложняет методику идентификации, так как требует более представительного набора тестовых возмущений, с другой — обеспечивает степень свободы, достаточную для построения различных алгоритмов идентификации.

В § 5.1 дается общая постановка задачи, которая в § 5.2 уточняется применительно к идентификации несимметричного ядра К2. Получены два варианта парных двумерных уравнений относительно К2 и выведены явные формулы их обращения.

В § 5.3 введено понятие кода тестового сигнала, позволившее провести качественный анализ этих уравнений.

Теоремы существования и единственности их решения доказаны в § 5.4.

Исследование стратегий выбора тестовых сигналов на базе их кодов в трехмерном случае содержится в § 5.5. Построены оптимальные семейства входных возмущений, имеющие минимально возможную суммарную длительность. Получены «тройные» относительно Кц2 и «шестерные» относительно К2г трехмерные уравнения, для которых в § 5.6 доказаны теоремы существования и единственности.

Численной аппроксимации ядра /112 посвящен § 5.7. Дано детальное доказательство сходимости со вторым порядком нестандартной разностной схемы, аппроксимирующей А'^^ь в2) в узлах сетки, лежащих на диагонали й! = з2.

Построению квадратичной модели с двумя входами, описывающей реальный переходный процесс в теплообменнике, посвящен § 5.8, причем для идентификации ядер Вольтерра использованы данные натурных экспериментов, специально проведенных на ВТК.

В заключительном § 5.9 рассмотрена проблема разделения отклика на отдельные составляющие. Предложена комбинированная квадратичная модель, с максимальной полнотой использующая имеющуюся информацию об откликах системы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

I Республиканская конференция «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (г. Киев, ИПМЭ АН УССР, 1983 г.) — 4 Всесоюзная конференция по некорректным задачам (г. Саратов, 1985 г.);

2 Всесоюзный симпозиум по вычислительной томографии (г. Куйбышев, 1985) — 4 Всесоюзный симпозиум «Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии» (г. Новосибирск, 1985 г.) — Всесоюзная конференция «Курс-4» (г. Рига, 1986);

3 Всесоюзный симпозиум «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Харьков, 1987 г.) — X Всесоюзный семинар «Вопросы оптимизации вычислений» (г. Киев, 1987 г.) — VIII Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, 1989) — III Республиканская конференция «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (г. Киев, 1989 г.) — Всесоюзная конференция «Условно-корректные задачи математической физики и анализа» (г. Алма-Ата, 1989 г.) — Всесоюзный семинар «Моделирование развивающихся систем» (п. Славское, 1989 г.) — Всесоюзная конференция «Математическое моделирование в энергетике» (г. Киев, 1990 г.) — Международная конференция «Идентификация динамических систем и обратные задачи» (г. Суздаль,.

1990 г.) — Symposium on modeling, inverse problems and numerical methods (Tallinn, 1991) — Международная конференция «Ill-posed problems» (r. Москва, 1991 г.) — Международный семинар «Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации» (г. Владивосток, 1991 г.) — EPRI-SEI .Joint seminar of methods for solving the problems on energy power systems development and control (Beijing, China, 1991 г.) — Конференция «Условно-корректные задачи математической физики и анализа» (г. Новосибирск, 1992 г.) — II EPRI-SEI Joint seminar (г. Иркутск, 1992 г.) — II Международный семинар «Моделирование развивающихся систем» (п. Славское, 1992 г.) — International Symposium on computerized tomography (Novosibirsk, 1993 г.) — IV Сибирская школа по вычмелительной математике (п. Шушенское, 1993 г.) — I Всероссийский конгресс ИНПРИМ-94 (г. Новосибирск, 1994 г.) — Всероссийская конференция «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» (г. Екатеринбург, 1995 г.) — Всероссийская конференция по математическому программированию (г. Екатеринбург, 1995 г.) — Всероссийская конференция «Обратные и некорректно поставленные задачи» (г. Москва, 1995 г.) — X Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, 1995 г.) — International conference IIPP-96 honoring A.N. Tikhonov (Moscow, 1996 г.) — II Сибирский конгресс ИНПРИМ-96 памяти А. А. Ляпунова, А. П. Ершова, И. А. Полетаева (г. Новосибирск, 1996 г.) — Международный семинар «Нелинейное моделирование и управление» (г. Самара, 1997 г.) — Всесибирские чтения по математике и механике (г. Томск, 1997 г.) — Всероссийская конференция «Алгоритмический анализ некорректных задач» (г. Екатеринбург, 1998 г.) — XI Международная Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (г. Иркутск, 1998 г.) — Восточно-Сибирская зонная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания" (г. Иркутск, 1999 г.) — International conference honoring S.K. Goduniov.

Mathematical in applications" (г. Новосибирск, 1999 г.) — Международная конференция «Математические модели и методы их исследования (г. Красноярск, 1999 г.).

Основные результаты автора, вошедшие в диссертацию, опубликованы в монографии «Неклассические уравнения Вольтерра I рода. Теория и численные методы», Новосибирск, Наука, 1999 г. — 193 е., 33 статьях и 45 тезисах докладов конференций.

Объем диссертации — 319 страниц, из них 18 страниц библиографии.

выводы не являются следствием грубости примененной техники, а отражают существо дела. Для этого мы построим, следуя [11, 13]. примеры, из которых вытекает неулучшаемость этих оценок, поскольку они достигаются как строгие равенства.

Вернемся к примеру (1.5.4), для которого сеточный аналог (1.5.5) г о^г'-1 + ^?^Ру-1- ~ г = 1, п, пк — Т (Рб.б71).

2 3 = 1 2 имеет решение.

— а + Ь, и так как (р{£) = 1, то, а Л -/. N а,/г (® ¦ П^-О — = —-Г, г =.

1 2 2У 2 + п поэтому а,/г |1 <2 а- + /г откуда вытекает, что условие, а = о{1г) необходимо для сходимости а-регуляризованного каркаса в норме Си.

Продемонстрируем теперь неулучшаемость (1.5.28), (1.5.29) на следующем примере.

Рассмотрим уравнение 3.

I Ф) с1з = 0 < г < 1 (1.5.33 3 точным решением которого является функция (р ({) — ?2 (вторая степень гарантирует ненулевую погрешность квадратуры средних прямоугольников, что существенно для наших целей). Зададим пилообразное возмущение правой части: тогда уравнение (1.5.10) для погрешности регуляризованного каркаса имеет вид, а + Л^Л + ЛЕ^^ = + (1.5.34).

2 ]=1 2 так как !} г ?] -Л гг{(р) = / в^йэ — к ЕС? — = Т7Г, г = 1, п.

О 12.

Из (1.5.34) следует рекурсия.

— а 3.

——, г =2, п, (1.5.35) а + /г г г, а + а с /г3, аЛ2.

1?'* = - (1.5.36).

2 а + /г.

Получим из (1.5.35), (1.5.36) явную зависимость — ф (6,а, к, г) и.

1 2 убедимся, что оптимизация функции ф по параметрам а (6) и к (5) приводит к оценкам (1.5.28), (1.5.29). Введем обозначения, а + к ' а + /г тогда из (1.5.35) имеем г-2 ^ = —й = -2(/ uiir.

Г1ёГ +? — 6-,), «= 2, П. (1.5.37).

3 ?=0.

— 1. 1 — А* «-1 • • 1.

Учитывая, что при 0 < Л < 1 Е А7 =—, а Е (~^У^ —-, о 1 — А 1 + А нетрудно подсчитать, что г-2.

Остается вычислить Е д^-у. Применяя правило суммирования по частям, имеем Л:-, = - - 6-я-О Е $" } - -ЦП2 Е1 Е з", г — зТп, и так как с учетом введенных обозначений ^ ^ и, а + Л / «а + к.

Е Е я = —т~ Е (1 — (—тт) = а + Н ((а г—: — 1.

К V + К.

— 2 / / а.

ТО.

Е Ч^г-з = -2аЫ + 2а{а + К) (^1 — ^ + ^ Таким образом, (1.5.37) преобразуется к виду г~2 + /г/ а-Ь'/г. 2а +/г V a—h г = 3, п. (1.5.38.

Остается максимизировать по а (<5) и /г (6) скорость стремления к нулю функции 1р при <5 —> 0. Пусть а (й) X к (6) X 0</?, 7<1. Поскольку г< и = (1 — ^у" 1 < е~" 0, дело сводится к нахождению величины ц = тах тт{27,1 — тт (/3,7)./?}. Очевидно, /2 = | и соответствует.

О<(0,7<1 1 ^ значениям /? = 7 = а это доказывает неулучшаемость (1.5.28), (1.5.29).

Неулучшаемость (1.5.28), (1.5.30) доказывается совершенно аналогично, если рассмотреть, например, уравнение /3 ге [од], (1.5.39) о 3 с точным решением (р{{) = 1-И2 и тем же возмущением правой части.

Итак, мы доказали, что введение дополнительного параметра регуляризации, а в дискретный аналог интегрального уравнения не улучшает асимптотику погрешности каркаса и не меняет асимптотику квазиоптимального шага сетки по сравнению с чистым методом саморегуляризации. Однако, несмотря на «асимптотическую бесполезность» параметра а, при фиксированном 6 наличие дополнительного параметра регуляризации может существенно повысить точность численного решения, причем эффект от введения, а тем выше, чем больше величина 6.

Убедимся в сказанном на тестовом уравнении t.

J cos (i — s)(p (s)ds = 1 — cost 0 < t < 1, (1.5.40) о точным решением которого является.

В табл. 1.5.1 приведены результаты расчетов для чистого метода саморегуляризации. Для каждого уровня 6 по описанной выше схеме в правую часть (1.5.33) вносилось пилообразное возмущение, а величина honT и соответствующее значение ||?Лопт||с, Лопт определялись по методу Фибоначчи (15 испытаний).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты диссертации.

I. Для уравнения (2.1.1), играющего важную роль в интегральных моделях развивающихся систем:

1) изучены вопросы существования и единственности решения в предположении a'(t) > 0, что позволило рассматривать (2.1.1) как естественное обобщение классического уравнения Вольтерра I рода;

2) получены оценки нормы обратного оператора, рассматриваемого (!) действующим из Ct0}T] xC[a{to)>to] в C[tQ)T] в случае (2.1.2)-(2.1.4) и из.

О (1).

C[t0,T в C[t0jT] в случае (3.1.1)-(3.1.4);

3) установлены условия согласования в точке to K (t, s), f (t) и начальной функции (fo (t), обеспечивающие непрерывность решения (2.1.1) на [t0,T].

4) выявлен эффект потери одного порядка сходимости квадратурных методов из-за накопления погрешности аппроксимации интеграла квадратурой на предысториидана геометрическая интерпретация этому эффекту и предложены модификации численных методов, восстанавливающие порядок сходимости равным порядку аппроксимации;

5) установлено, как и в классическом случае, саморегуляризующее свойство процедуры дискретизации (параметром регуляризации является шаг квадратуры);

6) получены неулучшаемые и двусторонние оценки решений некоторых интегро-функциональных неравенств, связанных с (2.1.1);

7) исследована специальная задача выпуклого программирования, ассоциированная с оценками п. 6);

8) рассмотрены актуальные задачи электроэнергетики — задача определения долгосрочных стратегий ввода новых мощностей электростанций с учетом наработки и складирования вторичного ядерного топлива, а также задача технического перевооружения и демонтажа основного оборудования электростанций.

II. Исследована задача построения математической модели нелинейной динамической системы, трактуемой как черный ящик, в виде интегро-степенного ряда (полинома) Вольтерра. Для решения основной проблемы — идентификации многомерных ядер Вольтерра:

1) предложен способ задания тестовых сигналов в виде некоторых линейных комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом;

2) для случая стационарной системы и скалярного входа идентификация симметричных по всем аргументам ядер Вольтерра Кт} т > 2 сведена к решению линейных т-мерных уравнений Вольтерра I рода, допускающих явные формулы обращения;

3) доказаны теоремы существования и единственности решений этих уравнений, причем условия теорем являются необходимыми и достаточными;

4) получены сеточные аналоги этих уравнений, использующие кубатуру средних прямоугольниковдоказаны их сходимость и саморегу-ляризующее свойство;

5) получены обобщения на нестационарный случай, когда ядра являются явными функциями времени;

6) для случая векторного входа, наиболее важного для приложений, введено понятие кода тестового сигнала, позволившее установить оптимальные в некотором естественном смысле наборы тестов для идентификации несимметричных ядер К2, Кпз, частично симметричного ядра Кп2 и т. д.;

7) выведены парное относительно К12, тройное относительно Кц2, шестерное относительно Аш уравнения;

8) доказаны теоремы существования и единственностиполучены явные формулы обращения уравнений;

9) построены и исследованы сеточные аналоги этих формул;

10) предложенная методика применена для моделирования динамики теплообмена на высокотемпературном контуре (ВТК) Института систем энергетики им. Л. А. Мелентьева СО РАН (имеется акт о внедрении).