Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей

Математическое моделирование электромагнитных полей является мощным инструментом теоретических исследований и широко используется в различных областях науки и техники. Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока. Математическому моделированию таких полей посвящено большое количество работ [1, 16, 21, 22, 26, 33−35, 41, 42, 53, 63, 64, 81, 84, 109, 110, 112, 118−120].

Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля [26, 53, 63, 109, 119, 120]. Основное достоинство таких методов состоит в том, что предлагаются достаточно простые с точки зрения вычислений формулы, описывающие требуемые характеристики поля. Недостатком этих методов является невозможность учета всех закономерностей поведения электромагнитного поля и необходимость в каждом частном случае разрабатывать новые подходы. Методы численного моделирования, рассматриваемые в дальнейшем, являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические методы применимы, могут проигрывать им из-за более высокой сложности получения конечного результата.

На основе изучения электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими источниками, разрабатываются многие индукционные методы электроразведки [1, 4, 27, 34, 38, 63, 69, 84, 105, 109, 117, 118−120]. При использовании гармонических источников могут измеряться либо абсолютные характеристики поля (амплитуды и фазы декартовых компонент поля), либо относительные (отношения амплитуд и сдвиги фаз одноименных компонент поля в двух точках пространства или разноименных компонент в одной точке). Вместо амплитуды и фазы поля могут измеряться его действительная и мнимая части (квадратурное или синфазное с током в возбудителе напряжения, снимаемые с приемных рамок) [117]. Кроме того, могут изучаться интегральные характеристики (э.д.с. в контуре, совмещенном с возбуждающей поле петлей или отнесенным от нее на некоторое расстояние). Методы гармонических полей применяются в наземном, скважинном и аэровариантах. Характерной особенностью методов аэроэлектроразведки является то, что в силу большой удаленности приемника поля от возбудителя (по сравнению с высотой полета) величины наблюдаемых в этих методах аномальных эффектов от проводящей среды становятся сравнимы с аномалиями, регистрируемыми при наземных исследованиях.

Первых заметных успехов при решении двуи трехмерных задач геоэлектромагнетизма удалось достичь исследователям, использовавшим для проведения численных расчетов метод интегральных уравнений (МИУ) в различных его вариантах [1, 21, 33, 41, 42, 64, 81, 84, 112, 117]. Однако один из главных недостатков МИУ, заключающийся в необходимости решения получающейся в результате численной аппроксимации интегрального уравнения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотной матрицей, очень часто не позволяет выполнить дискретизации на уровне, необходимом для получения численного решения заданной точности [33, 42]. Из-за заполненности матрицы СЛАУ, аппроксимирующей интегральное уравнение, вычислительные затраты на решение задачи растут с измельчением сетки для МИУ столь быстро, что даже для компьютеров большой мощности становится актуальной проблема нехватки вычислительных ресурсов. Подтверждение этого можно найти в приведенном в работе [33] сравнительном анализе различных методов на примере решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма в проекте СОММЕМ1. Представленные результаты доказывают, что различия в аномальных составляющих поля практически для всех трехмерных моделей во многих точках съема достигают 50% и более даже для тех программ, которые реализованы на основе МИУ. При этом отмечается, что расчеты проводились на сетках с таким числом ячеек дискретизации, что получаемые СЛАУ требовали объема вычислительных ресурсов на пределе возможностей использованных ЭВМ.

Некоторым развитием МИУ можно считать подход, изложенный в [1, 41, 81] и основанный на построении решения интегрального уравнения в виде функционального ряда Неймана. Этот подход позволяет заметно сократить (по сравнению с классической реализацией МИУ) требуемые вычислительные ресурсы, в результате чего появляется возможность использовать гораздо более подробные сетки. Но оценить реальные возможности этого метода при решении трехмерных задач пока довольно трудно, так как приведенные в [1, 41, 81] результаты несколько ограничены и не позволяют получить более или менее полного представления о точности и надежности метода при решении трехмерных задач. Также из [1, 41, 81] остается неясной зависимость скорости сходимости аппроксимации решения к точным значениям от величины ячейки дискретизации области. Кроме того, и МИУ, и разрабатываемые на его основе подходы при наличии в задаче негоризонтальных слоев, наклонных контактов и других трудностей, связанных с усложнением геометрии, а также в случае использования сеток с ячейками неодинакового объема становятся слишком затратными по памяти.

Все эти трудности, связанные с применением МИУ и близких к нему методов, заставляют искать новые подходы к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма, основанные на таких универсальных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных, как методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ) [4, б, 7, 14, 18, 28, 31, 39, 40, 43, 54, 59, 60, 65, 66, 70−78, 82, 85−87, 89−91, 94−98, 100−104, 107, 108, 113, 115]. МКЭ, позволяющий использовать симплициидальные (т.е. треугольные в двумерном случае и тетраэдральные в трехмерном) сетки, имеет значительные преимущества перед МКР благодаря возможностям построения нерегулярных сгущающихся или разреживающихся сеток с минимальным количеством так называемых «лишних» узлов (т.е. узлов, удаление которых из сетки не приводит к увеличению погрешности приближенного решения). МКР также серьезно уступает МКЭ по возможностям учета сложной трехмерной геометрии исследуемой среды: негоризонтальных или выклинивающихся слоев, наклонных контактов и т. д.

Однако применение стандартных вычислительных конечноэлемент-ных схем для решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма также требует очень больших вычислительных затрат [16, 33]. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большой стоимости получения решения важных практических задач. Предложенные в [14, 39, 71−75, 96−98, 100−103] подходы к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяют при. решении многих трехмерных задач геоэлектромагнетизма во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым сделать эти задачи доступными для решения с очень высокой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таких подходах конечноэлементные схемы моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Получаемые при конечноэлементной аппроксимации СЛАУ имеют разреженные матрицы. Методы решения таких СЛАУ рассматривались и исследовались в [2, 3, 5, 8−12, 15, 17, 20, 29, 32, 36, 43−51, 56−58, 79, 80, 114]. Но при этом разрабатываемые методы, как правило, не учитывают специфические особенности матриц СЛАУ, заключающиеся в существенных различиях между объемом памяти, необходимом для хранения этих матриц при стандартной их упаковке (например, при использовании разреженного строчного или диагонального форматах хранения), и объемом памяти, требуемым для хранения этих матриц при специальной упаковке. Заметим, что для некоторых классов задач применение специальных упаковок может на порядок сократить объем памяти под хранение матриц даже по сравнению с такими довольно эффективными универсальными форматами, как разреженный строчный или диагональный. К такому классу задач относятся и задачи конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Таким образом, проблема построения эффективных процедур численного моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками до сих пор вызывает большой интерес как у исследователей, занимающихся развитием численных методов математического моделирования, так и у исследователей, применяющих математическое моделирование для изучения реальных физических процессов. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

В предлагаемой работе много внимания уделено построению конеч-ноэлементных аппроксимации двуи трехмерных задач с гармоническими источниками. Их эффективность будет продемонстрирована на примере решения ряда модельных и практических задач.

Также много внимания в данной работе уделяется исследованию эффективности различных методов предобусловливания и решения конечно-элементных СЛАУ, получаемых при аппроксимации трехмерных гармонических электромагнитных полей. Рассмотрены методы сокращения вычислительных затрат, базирующиеся на учете специальных свойств таких матриц. Основанные на этих методах алгоритмы решения конечноэле-ментных СЛАУ реализованы в программном комплексе ТЕЬМА, их эффективность подтверждена решением практических задач.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема построения, обоснования и программной реализации эффективных процедур численного моделирования двуи трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов конечноэлементного моделирования гармонических электромагнитных полей, а также в повышении эффективности итерационных методов решения получаемых СЛАУ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током в круговой петле.

2. Предложены специальные структуры данных для экономичного хранения матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц предобусловлива-ния.

3. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказан ряд теорем о структуре матриц предобусловливания.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что теоретически обосновано применение методики раздельного вычисления осесиммет-ричной части электромагнитного поля и поля влияния трехмерных объектов при решении задач индукционной электроразведки с гармоническими источниками поля. Для схем неполной факторизации разреженных блочных матриц конечноэлементных СЛАУ сформулирован и доказан ряд теорем о структуре блок-элементов матриц неполной факторизации.

Практическая ценность работы и реализация результатов.

Разработанные подходы и программы позволили решить следующие задачи: моделирование электромагнитного поля и расчет потерь в оболочке трехфазного кабелярасчет комплексного сопротивления пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателя нового конструктивно-технического решениямоделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинахпрофилирование над кимберлитовой трубкой для аэроварианта с гармоническим источником поля при различных геоэлектрических обстановках. Все разработанные программы включены как составная часть в программный комплекс ТЕЬМА.

Достоверность результатов подтверждается данными вычислительных экспериментов, сравнением полученных результатов решения некоторых модельных задач с результатами их решения другими авторами, а также с результатами физических экспериментов.

Личный вклад. Разработаны схемы конечноэлементной аппроксимации двумерных и осесимметричных задач с гармоническими источниками. Выполнена их программная реализация для треугольных конечных элементов с кусочно-линейными базисными функциями. Построена и программно реализована для кусочно-линейных базисных функций на тетраэдрах конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля в однородной по магнитной проницаемости и неоднородной по проводимости среде, источником которого является низкочастотный гармонический ток в круговой петле. Разработаны специальные схемы неполной факторизации, учитывающие особенности структуры конечноэле-ментной матрицы. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловли-вания, получаемых в результате предложенных схем неполной факторизации. Для нескольких вариантов предобусловливания выполнена программная реализация различных итерационных методов решения СЛАУ со специально упакованными разреженными матрицами блочной структуры.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 (Новосибирск, 1998.) — Третьем сибирском ¦ конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященным памяти С. Л. Соболева (Новосибирск, 1998.) — The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999.), семинарах НГТУ. Результаты проведенных исследований включались в отчеты по НИР НГТУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано б печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (120 наименований) и 4 приложений. Работа изложена на 206 страницах, включая 37 иллюстраций и 35 страниц приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Построена конечноэлементная схема для моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током в круговой петле. Эта схема базируется на методике разделения искомого поля ~ на основное (осесимметричное) и добавочное (поле влияния трехмерных объектов). Такой подход дает возможность решать задачи моделирования электромагнитного поля в средах с трехмерными неоднородностями различной формы при достаточно небольших вычислительных затратах.

2. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловливания, позволяющие почти вдвое сократить объем памяти, требуемый для хранения матриц предобусловливания.

3. Предложены структуры данных, позволившие существенно сократить затраты памяти на хранение матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц. предобусловливания.

4. Проведены исследования сходимости различных итерационных методов с несколькими вариантами предобусловливания в виде неполной факторизации при решении практических трехмерных задач аэроэлектроразведки и каротажа.

5. Предложены различные варианты аппроксимации осесимметрич-ных электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим током в круговой, петле, основанные на использовании формулы Био-Савара-Лапласа или задании поверхностных или объемных токов в зависимости от особенностей задачи и удаленности источника от проводящих сред. Разработанные схемы позволяют существенно снизить вычислительные затраты по сравнению с традиционными конечноэлементными аппроксимациями осе-симметричных задач, содержащих сосредоточенные источники.

6. Проведено исследование влияния токов смещения на примере решения осесимметричных задач электроразведки и показано, при каких частотах влияние токов смещения становится несущественным.

7. Разработанные в диссертационной работе схемы численного моделирования были реализованы в виде программных модулей и включены в.

161 подсистему HAREM программного комплекса TELMA, которая применялась при решении практических задач геофизики.

8. В диссертационной работе приведены результаты решения ряда модельных и практических задач, для выполнения конечноэлементной аппроксимации которых использованы разработанные диссертантом подходы и программные средства. В качестве практических были решены следующие задачи: моделирование электромагнитного поля в трехфазном кабелерасчет комплексного сопротивления для различных по форме пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателямоделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинахисследование характеристик электромагнитного поля при профилировании над кимберлитовой трубкой в задачах аэроэлектроразведки.