Асимптотическое поведение неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайным коэффициентом сноса

Предельные теоремы дяя случайных функций являются одной из основных частей теории вероятностей и математической статистики. В настоящее время с увеличением интереса к теории случайных процессов важную роль играет решение задачи о поведении процесса при t-^л. Одним из наиболее эффективных приемов исследования в современной теории случайных процессов являются стохастический интегралы и основанные на них стохастические дифференциальные уравнения.

Теория стохастических дифференциальных уравнений была создана в конце 40-х годов Ито К. [бэ], [70][7ll и Гихманом И. И. [8],[э] независимо друг от друга, на основе идей Берштейна [23 и Винера [84], [85].

Основные результаты исследования стохастических дифференциальных уравнений изложены в ряде монографий [l3], [l4], [l7], [l8], [20], [22], [41], [48], [49] и работ [б], [71, [37], [44~1, [45]. [50], [51].

Основными элементами теории стохастических дифференциальных уравнений являются вопросы о существовании и единственности слабых и сильных решений в конечномерном эвклидовом пространстве [19], [54],.

58], [83], [88], а также в банаховом и гильбертовом пространствах.

59], [бб], [68]- о единственности по траекториям [56], [72], [73], [?б], [8l]j о продолжении и сравнении решений [72], [78], [87].

Процесс исследования этих вопросов закономерно привел к применению мартингальных подходов, ставших действительным средством изучения стохастических дифференциальных уравнений [б], [зо], [бз], [75] • Не менее важным методом является изучение стохастических дифференциа г льных уравнений с помощью обыкновенных уравнений в частных производных [i], [4], [ю], [2l], [5l], [60], [во], которые встречаются во многих разделах теоретической физики, задачах автоматического управ.

— k ления, радиотехники и механики [46], [55], [57], [61], [62], [74], [79], [89] • Существуют и другие методы исследования, но спектр их применения значительно уже: методы Метивье и Рунге Кутта, используемые только для численного построения решений стохастических дифференциальных уравнений [67], [82] «.

Вопросы об асимптотическом поведении решения стохастического дифференциального уравнения, имеющие в настоящее время важное значение, возникли при доказательстве теорем об ограниченности и нео"" граниченности решений уравнений данного вида [12] • В связи с этими предложениями появился интерес к задачам об устойчивости [42], [53], [64], эргодичности [12], [52] и о точном росте решений стохастических дифференциальных уравнений [65] •.

Последовательная разработка вопроса об асимптотическом цри 00 поведении неустойчивых решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений оусуществлена Кулиничем Г. Л* во второй половине 60-х годов [23], [24], [25], [27], [28]. В дальнейшем им были разработаны вопросы об асимптотическом поведении распределений функционалов от диффузионного процесса [29], [31], [33], об асимптотическом поведении модуля решения стохастического дифференциального уравнения в одномерном [Зб] и в многомерном пространствах [32], [35], [38], а также для уравнений со случайными коэффициентами [34] • Однако условия в терминах коэффициентов уравнения данного вида предопределяют, в конечном счете, исчезновение случайности в коэффициентах для предельного процесса при соответствующей нормировке.

Целью нашего исследования является изучение асимптотического при oo поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса при сохранении в цределе случайности в коэффициентах.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух.

1. Белопольская Я. И., Наголькина З. И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. — Теория вероятн. и ее прим., 1982, 27, вып. З, с.551−559″.

2. БерштейН С.Н. Principes desequations differentielles so-chastiquesr Труды физ.мат. института АН СССР, 5, 1934, с.95−124.

3. Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и ее прим", 1979, 24, вып.2, с.348−360.

4. Веретенников А. Ю. Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени. -Мат.заметки., 1982, № 4, с.547−557.

5. Веретенников А. Ю. 0 стохастических уравнениях с вырождающейся по части переменных диффузией. Из-во АН СССР Сер.Мат., 1983, 47, № I, с.189−196.

6. Гальчук Л. И. 0 существовании и единственности решения для стохастических уравнений по полумартингалам. Теория вероят. и ее прим., 1978, 23, вып. 4, с.782−795.

7. Гирсанов И. В. и Фрейдлин М. И. Стохастические уравнения Ито и некоторые их обобщения. Труды У1 Всесоюзн. Совещания по теории вероятн. и мат. статистике, Вильнюс, 1962, с.133−173.

8. Гихман И. И. 0 некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. Укр.Maт.Журнал, 1950, 2, 3, с.45−69.

9. Гихман И. И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Укр.Мат.Журнал, 1950, 2, 4, с.37−63.

10. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Качеств. методы исслед.нелинейн.дифферен. уравн. и нелинейн.колебаний. Киев, 1981, с.25−59.-MO.

11. Гихман И. Й., Скороход A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965, 654 с.

12. Гихман И. И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. КиевНаукова думка, 1968, 354 с.

13. Гихман И. И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. -т.Ш, М.?Наука, 1975, 496 с.

14. Гихман И. И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982, 610 с.

15. Диалло М. А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения. Теория вероятн. и мат.стат. К., 1985, вып.34.

16. Диалло М. А. 0 предельном поведении решения стохастического дифференциального уравнения со случайным коэффициентом сноса. Киев, 1985 г. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ, 31.07. В5г.,№ 1бЗа), 2>7с,.

17. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: Мир, 1956, 605 с.

18. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. М.: физ.мат.гиз., 1963, 859 с.

19. Исакова Т. И. 0 существовании решения стохастического дифференциального уравнения с нерегулярными коэффициентами. -Докл.АН УССР, 1982, № II, с.10−13.

20. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968, 394 с.

21. Клепцина М. Л., Веретенников А. Ю. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными. Теория вероятн. и ее прим., 1984, № I, с.154−158.

22. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа. -М.: Наука, 1977, 400 с.

23. Кулинич Г. Л. Предельное поведение решения стохастичесА Л 9кого диффузионного уравнения. Укр.Мат.Дурнал, 1967, 19, 2, с.119−125.

24. Кулинич Г. Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн. и ее прим., 1967, 12, вып. З, с.548−551.

25. Кулинич Г. Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Укр.Мат.Журнал, 1968, 20, 3, с.396−400.

26. Кулинич Г. Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн. и ее прим., 1968, 13, вып. З, с.502−506.

27. Кулинич Г. Л. Об асимптотическом поведении распределения решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн. и мат.стат., 1971, вып.4, с.95−102.

28. Кулинич Г. Л. Асимптотическое поведение неустойчивого решения стохастического одномерного диффузионного уравнения. -Теория вероятн. и мат.стат., 1971, вып.5, с.81−87.

29. Кулинич Г. Л. Об асимптотическом поведении распределений функционалов типа от диффузионных процессов. Теория вероятн. и мат.стат., 1973, вып.8, с.99−103.

30. Кулинич Г. Л. 0 существовании и единственности решения стохастического дифференциального уравнения с дифференциалом по мартингалу. Теория вероятн. и ее прим., 1974, 19, вып.1, с.169−173.

31. Кулинич Г. Л. Предельные распределения для функционалов интегрального типа от неустойчивых диффузионных процессов. Теория вероятн. и мат.стат., 1974, II, с.81−85.

32. Кулинич Г. Л. Асимптотическое поведение неустойчивых ре-тшений систем стохастических дифференциальных уравнений. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25−30 ноября 1974 г., о.169−201,.

33. Кулинич Г. Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн. и мат. стат., 1976, 15, с.99−113.

34. Кулинич Г. Л. 0 предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн. предельные теоремы для случайных процессов АН УССР, 1977, с.137−151.

35. Кулинич Г. Л. 0 предельном поведении неустойчивых решений стохастических дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Теория вероятн. и ее прим., 1978, 23, вып.1, с.224−226.

36. Кулинич Г. Л. 0 сходимости решения одномерного стохастического дифференциального уравнения к бесселовскому диффузионному процессу. В кн. Аналитические методы в теории вероятн. Сб. научных трудов. Институт математики АН УССР, 1981, с.106−113.

37. Кулинич Г. Л. 0 необходимых и достаточных уравнениях сходимости решений одномерных стохастических диффузионных уравнений при нерегулярной зависимости коэффициентов от параметра. Теория вероятн. и ее прим., 1982, 27, вып.4, с.795−802.

38. Кулинич Г. Л., Петров И. Б. 0 предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито. Теория вероят. и мат.стат., Киев, 1983, вып.28, с.70−78.

39. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974, 696 с.

40. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Мир, 1962, 685 с.

41. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972, 181 с.

42. Мацкявичюс В. Устойчивость решений симметрических стохастических дифференциальных уравнений. Лит.мат.сб., 1982, 22, 3, с.128−134.

43. Новиков A.A. Мартингальные неравенства. Труды школы семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 25−30 ноября, 1974 г.) Вильнюс, 1975, с.89−126.

44. Писанец С. И. Предельные теоремы для процессов диффузионного типа в. Теория вероятн. и ее прим., 1981, 26, вып. З, с.597−606.

45. Портенко Н. И. Стохастические дифференциальные уравненияс обобщенным вектором переноса. Теория вероятн. и ее прим., 1979, 24, вып.2, с.332−347.

46. Пугачев B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов. Автомат. и телемех., 1984, № 2,с.82−89.

47. Скороход A.B. Исследования по теории случайных процес-сов.-Киев: Из-во Киевского университета, 1961, 215 с.

48. Скороход A.B., Слободенюк Н. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наукова думка, 1968, с.

49. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. М.- Наука, 1983, 190 с.

50. Тараскин А. Ф. Об асимптотической нормальности векторных асимптотических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса. Теория вероятн. и мат.стат. К.: 1970, вып.2, с.205−220.

51. Турчин В. Н. Об асимптотическом распределении систем линейных стохастических дифференциальных уравнений. Теория вероятн. и мат.стат. К., 1982, вып.27, с.139−146.

52. Цирельсон Б. С. Один пример стохастического дифференциального уравнения не имеющего сильного решения. Теория вероят. и ее прим., 1975, 20, вып.2, с.427−430.

53. Albevelites S., Blanchard Ph., Moegh Krohn R. A Stochastic model for the orbits о f planets and satellites and interpretation of Titus-Bode law. Expos.math., 1983, 1, N 4, p.365−373.

54. Allinger Deborah. A note on strong non anticipating solutions for stochastic differential equations: When is path-wise uniqueness necessary?. Lect.Wots.math., 1982, 937, p.1−5*.

55. Arato M. On parameter estimation in the presense of noise. Теория вер. и ее применен., 1984, 29, 3, с.99−604.

56. Barao John S., Blankenship Gilmer L., Hoprins William E.Jr. Existence uniqueness and asymptotic behavior of solution to a class ofZakai equuations with unboundrd coefficients. IEEE Trans.Automat.Contr., 1983,28, N 2, p.203−214.

57. Barth Т., Kussmaul A.U. The banach fixed method for Ito stochastic differential equations. Ann.Sci.Univ.ClermontFerrand (ex Ann.Sci.Univ.Clermcnt Maht.), 1981, N 19, p.1−8.

58. Bensoussan A. Systems of partial differential equatios and stochastic control.- Mathematiche. 19B1, 36, N 1, p.13−32.

59. Biler P. Stochastic interpretation of potential scattering in quantum mechanics. Lect.Math.Phys., 1984, 8, N 1, p.1−6.

60. Da Prato G. Stochastic differential equations witn non continuous coefficients in Hilb ert spaces. Rend.Gemin.math. Univ. e polytech. Torino .-j- 1982, 39, fasc.spec.conf.stochasticprobi.mech., Torino May 28−30 1981, p.73−85.

61. Emery M. Equations differentiells stochastiqus: la methode Metivier et Pellaumail. Lect. Nots math., 1980, 784, p.118−124.

62. Gorni Gianluca. Synthiesis of stochastic optimal control for a convex optimization problems in Hilbert spaces. Atti. Accad.naz.lincei Rend.cl.sci.fis.mat e natur, 1983, 74, N 3, p.143−148.

63. Ito K. On stochastic differential equations. Pro Jap.Acad., 1946, 1, 4, p.32−35.

64. Ito K. On the stochastic differential equations ina differential! manifold. Nagoya Math.J., 1950, 1, p.35−47.

65. Ito K. On stochastic differential equations. Mem. Am.Math.Soc., 1951, 4, p.1−51.

66. Komatsu Takashi. On the pathwise uniqueness of solution of one dimensional stochastic differential equations of Jump type. Proc.Jap.Acad., 1982 A., 58, N 8, p.353−356.

67. Ze Gall J.P. Applications du temp local aux equations differentielles stochastiqus unidimensionnelles. Lect.Nots., 1983, 986, p.15−31.

68. Nakao S. On the pathwise uniqueness of solutions of one dimensional stochastic differential equations. Osaka J. Math., 1972, 9, p.513−518.

69. Na^ita Kiyomasa. No explosion for stochastic differential equations. J.Math.Soc.Jap., 1982, 34, N 2, p.191−203.

70. Padoux E. Equations aux derivees partielles associees a un probleme de filtrage non lineaire. Ann.Sci.Univ.Clermont Ferrand, (ex Ann.Sci.Univ.Clermont Math.), 1981, N 19, p.141−147.

71. Perkins Edwin. Local time and pathwise uniqueness for stochastic differential equations. Lect. Nots Math., 1981, 920, p.201−208.

72. Rumelin W. Numeral treatment of stochatic differential equations. SIAM J.Numer.Anal., 1982, 19, N 3, p.604−613-:

73. Watanabe S. a nd Yamada T. On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, 1, p.155−167.

74. Wiener N. Differential space. JfMath.Phys., 1923, N 2, p.131−174.85″ Wiener N. The homogeneous chaos. Amer.J.Math., 1930, 30, p.897−936.

75. Yamada T. and Watanabe S. On the uniqueness of solutions stochastic differential equations. J.Math.Kyoto, 1971, 11, p.155−167.

76. Yamada T., Ogura Y. On the strong comparison theoremes for solutions of st ochastic differential equation. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw.Geb., 1981, 56, N 1, p.3−39″.