Спектральные свойства случайных операторов и интегрируемые системы в термодинамическом пределе

Настоящая диссертация посвящена исследованию бесконечных вполне интегрируемых систем с точки зрения статистической механики и спектральной теории случайных операторов. Теория нелинейных систем, интегрируемых методом обратной задачи теории рассеяния, представляет собой в настоящее время одну из наиболее интенсивно развивающихся областей математической физики. Первые примеры таких систем — уравнение Кортевега-де Фриза /КдФ/, уравнение нелинейной струны, и т. п. — появились около пятнадцати лет назад. На первом этапе изучения было установлено существование у них счетного семейства первых интегралов /см. [i] /. В 1971 г. В. Е. Захаров и Л. Д. Фаддеев [2] построили для уравнения КдФ переменные «действие-угол», используя технику обратной задачи теории рассеяния для оператора Шрёдингера с быстроубывающим потенциалом. Открытый в 1974 г. В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом [3] общий метод построения и интегрирования систем типа КдФ позволял решать задачу Коши для таких систем с быстроубыва-ющими начальными данными. С. П. Новиков [4] предложил алгебро-геометрический подход к интегрированию КдФ в случае периодических начальных данных. Немного позднее ГО. Мозер [" б" ] и Ф. Ка-лоджеро [б], а впоследствии М. А. Ольшанецкий и A.M.Переломов [[7] исследовали некоторые классы дискретных вполне интегрируемых систем, в том числе одномерную систему частиц с потенциалом взаимодействия, А Ах /систему Мозера-Калоджеро/. В указанных выше и ряде других работ можно проследить, как постепенно трансформировалась общая точка зрения на интегрируемые системы. Вначале внимание исследователей концентрировалось на вопросах существования и явного описания семейства первых интегралов нелинейных систем. При этом обычно подразумевалось, что точные решения этих систем можно, в принципе, получить с помощью классической теоремы Лиувилля. Впоследствии стало ясно, что отличительной чертой нелинейных систем, к которым применим метод обратной задачи теории рассеяния, является возможность выписывать их явные решения и без использования переменных «действие-угол». К числу особенностей обсуждаемых систем относится также наличие у них первых интегралов аддитивного типа, подобных импульсу и энергии. Напомним основную идею построения таких интегралов. С каждой системой связывается операторное дифференциальное уравнение первого порядка, называемое уравнением Лакса:

L=lL, A] и устанавливается однозначное соответствие между решениями этого уравнения и решениями исходной системы. Таким образом, и, А оказываются функциями на фазовом пространстве исследуемой системы. Предположим, что при любом натуральном ¦ п.

И. оператор L является в том или ином смысле оператором с конечным следом. Тогда функции Hn~iz L f как нетрудно установить, являются интегралами движения исходной системы. В случае матричных операторов L функции Ни. имеют сумматорный вид. Подобная ситуация несколько необычна с точки зрения статистической механики. Действительно, в большинстве монографий и учебных курсов статистической физики особо подчеркивается тот факт, что для механических систем «общего положения» имеется лишь четыре сохраняющихся величины: масса /или число частиц/, импульс, полная механическая энергия и кинетический момент. Отсюда обычно делается вывод /см., например, [в] / о виде стационарного распределения вероятностей на фазовом пространстве большой /в пределе бесконечно большой/ механической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Это стационарное распределение, полученное впервые Дж.В.Гиббсом [9 J, называется каноническим, а само утверждение о том, что система статистической механики в состоянии термодинамического равновесия подчиняется каноническому распределению, называется постулатом Гиббса. В строгой математической теории Р.Л.Добруши-ным [ю], О. Э. Ланфордом и Д. Рюэллем было введено понятие равновесного гиббсовского состояния бесконечной системы. Вопрос о том, существуют ли стационарные распределения вероятностей на фазовом пространстве бесконечной системы, отличные от гиббсовских состояний, является одним из основных в современной статистической механике. Некоторые примеры систем, к которым неприменим постулат Гиббса, были известны и раньше. К их числу относится, например, идеальный газ, а также газ одномерных твердых стержней /см. по этому поводу [12] /. В первом примере взаимодействие между частицами отсутствует, во втором оно носит весьма вырожденный характер. В этом смысле система Мозера-Калоджеро /МК/ выглядит более реалистической. В связи с открытием первых интегралов аддитивного типа у системы МК Я. Г. Синай высказал гипотезу о том, что эта система обладает дополнительными стационарными распределениями вероятностей. Доказательству этой гипотезы посвящены §§ 1.1−1.4 гл. 1 настоящей диссертации. В § 1.0 изложены необходимые сведения из статистической механики. В § 1.1 определено понятие оператора Лакса системы МК. В конечномерном случае это такая операторная функция L (prf) на пространстве фазовых конфигураций (р,^, что матричные элементы Ljfc (f/fy) в некотором фиксированном базисе имеют вид.

Здесь.

А>0, 1=/7. В случае бесконечной конфигурации (p>f) матрица!) LjK (ftfy) II определяется точно так же, однако вопрос о том, когда этой матрице можно сопоставить корректно определенный линейный оператор, нетривиален, и его обсуждение переносится в § 1.5. Интересно отметить, что система МК допускает предельный переход по параметру, А —¦> 00 и превращается при этом в систему биллиардных частиц на прямой. Предельный переход при /4 О также возможен и приводит к системе частиц с потенциалом взаимодействия 1/х2- t которая тоже входит в класс интегрируемых систем, изученных в упоминавшихся выше работах Мозера и Калоджеро.

При всех натуральных VI для конечных конфигураций (определены функции.

Из самосопряженности следует, что «а при четных.

Iа, кроме того, Нк (р)°l)>0. В частном случае Vl-Ц выписывается явный вид функции На (р/^), которую можно рассматривать как гамильтониан системы статистической механики, и устанавливается следующий важный факт: если конфигурация^р, ^ есть объединение конфигураций (f*1, и (f^^Jt то энергия их взаимодействия, определенная как.

H^W I pV) = ним — h/pW) — H (rU*), неотрицательна. Это обстоятельство играет существенную роль в дальнейших рассуждениях.

Основной результат § 1.2 следующий. Теорема 1.2. Гамильтониану Hif отвечает по крайней мере одно гиббсовское состояние 0 при любом значении обратной температуры уЗ > 0 .

При доказательстве использованы идеи работы Д. Рюэлля [~1з], где рассматривались сверхустойчивые нижне-регулярные взаимодействия общего вида. К этому классу принадлежит, ввиду положительности, и гамильтониан. Хотя формально теорема 1.2 не следует из результатов работы [гз], поскольку Ц/, не обладает свойством бинарности, тем не менее, техника Рюэлля применима и в этом случае, причем положительность гамильтониана позволяет существенно упростить доказательство.

В § 1.3 строится динамика бесконечной системы МК. Хорошо известные примеры /см. [14] / показывают, что простое перенесение обычных теорем существования и единственности решений уравнений движения на случай бесконечного числа частиц невозможно. Один из способов обойти подобные трудности состоит в том, что динамика строится не для всех начальных данных, а лишь для почти всех по отношению к той или иной мере на фазовом пространстве. Теорема 1.3 утверждает, что решения уравнений Гамильтона на фазовом пространстве системы МК, отвечающие исходному гамильтониану существуют для множества начальных конфигураций вероятности 1 по отношению к гиббсовскому состоянию V*, порожденному гамильтонианом Н^. Доказательство использует идею кластерного метода, предложенного Я. Г. Синаем [1б] применительно к системам частиц с финитным взаимодействием. Впоследствии в работе Э. Презутти, М. Пульвиренти и Б. Тироцци[1б] требование финитности было заменено условием достаточно быстрого степенного убывания взаимодействия на бесконечности. Однако совокупность условий, наложенных в работе [1б] на потенциал взаимодействия, исключает случай = А*/-Ах, Кроме того, при доказательстве теоремы 1.3 возникает дополнительная трудность, состоящая в том, что динамика и распределение вероятностей на фазовом пространстве изучаемой системы задаются при помощи разных гамильтонианов. Эта трудность отсутствует в указанных выше работах. Преодолеть ее позволяет свойство интегрируемости системы МК.

В § 1.4 доказан основной результат диссертации о термодинамических свойствах бесконечной системы МК. Теорема 1.4. Гиббсовское состояние)), отвечающее гамильтониану Н^ «инвариантно относительно фазового потока {-S^}, порожденного гамильтонианом Мозера-Калоджеро Ж.

В заключительном § 1.5 гл. 1 исследуются спектральные свойства оператора Лакса L (p,.

Лемма 1.5.1. Для) -п.в. конфигурации (?>%,) оператор L (p4) корректно определен на плотном в (Н подпространстве финитных функций JH0.

Ввиду эрмитовости матрицы || L jx (р/$)Ц оператор L (P4) симметричен на J-J0. Более того: Лемма 1.5.2. С вероятностью 1 оператор в существенном самосопряжен на /Но.

В формулировке основного результата § 1.5 на параметр, А, входящий в определение оператора L /см. выше/ накладывается условие технического характера. Теорема 1.5. При достаточно больших, А с вероятностью i оператор имеет чисто точечный спектр.

Методы гл. 1 позволяют, в принципе, определить для бесконечной системы МК кроме оператора L также оператор Л (р/ f), матрица которого имеет вид.

Aj*(p-t) = fy ^/KfjTb.) + (i-Si")iot'(hg1″), где о1(х>АМА*, «'(*)=.

Из результатов § 1.3 можно вывести, что уравнение Лакса в случае бесконечной конфигурации частиц имеет решение для почти всех начальных данных. С этой точки зрения теорема 1.5 показывает, что в качестве интегралов движения, имеющих смысл и для бесконечной системы МК, могут быть выбраны собственные значения оператора Лакса, поскольку решение уравнения Лакса может быть представлено в виде.

L (*) = и С*) L (о) irV), где однопараметрическое семейство унитарных операторов удовлетворяет уравнению.

U (t) = A (*)U (t).

Однако, классическая теорема Лиувилля не допускает простого обобщения на бесконечномерный случай. Анализ методов упоминавшихся выше работ [2−7J показывает, что эти методы применимы в том случае, когда коэффициенты оператора Лакса той или иной интегрируемой системы обладают достаточно регулярным поведением на бесконечности. Обычно «регулярность» означает либо быструю стабилизацию, либо почти-периодическое поведение. В рассмотренном же выше примере свойства случайности оператора Лакса выражены достаточно сильно, и метод обратной задачи теории рассеяния в его обычной трактовке неприменим.

В настоящее время хорошо изучены задачи спектрального анализа случайных операторов, как дифференциальных, так и конечно-разностных, коэффициенты которых представляют собой реализации стационарных процессов марковского типа /см., например, ?l7-I9] /. Операторы 1(рл) не относятся к этому классу: они не являются, по самому своему определению, конечно-разностными, а распределение вероятностей, индуцированное гиббсовским состоянием^, не допускает естествен-нойо «марковского» представления. Однако, вместо довольно сложной техники работ Jl7-I9] оказывается возможным применить вариант теории возмущений конечномерных самосопряженных операторов и получить степенную оценку скорости убывания собственных функций.

1.Gardner, J. Green, M. Kruskal, R. Miura, A method, for solvingthe KdV equation, Phys.Rev.Lett., v.19(1967), 1695−1698.

2. В. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев, КдФ вполне интегрируемая гамильтонова система, Функц. анализ, 5:4/1971/, 18−27.

3. В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния I, Функц. анализ, 8:3/1974/, 43−53.

4. С. П. Новиков, Периодическая задача Кортевега-де Фриза I, Функц. анализ, 8:3/1974/, 54−66.

5. J. Moser, Three integrable hamiltonian systems connected with isospectral deformations, Adv.Math., v.16(1976), 354.

6. P. Calogero, Exactly solvable many-body problems, Lett. Nuovo Cimento, v. 13(1975), 4−11−416.

7. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. У. Статистическая физика.-М.: Наука, 1976.

8. Дж.В.Гиббс. Основные принципы статистической механики. В кн.: Термодинамика. Статистическая механика.-М.: Наука, 1982.

9. Р. Л. Добрушин, Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием, Функц. анализ, 2:4 /1968/, 31−43.

10. O.E.Lanford, D. Ruelle, Observables at infinity and states with short range correlations, Comm.Math.Phys., v13(1969), 194−215.

11. Р. Л. Добрушин, Ю. М. Сухов, Временная асимптотика для некоторых вырожденных моделей эволюции систем с бесконечным числом частиц. В сб.: Современные проблемы математики, т.14 /" Итоги науки" /. М.: ВИНИТИ, 1979, 147−254.

12. D. Ruelle, Superstable interactions in statistical physics, Comm.Math.Phys., v.18(1970), 127−159.

13. О. Э. Лэнфорд, Эволюция во времени больших систем. В сб.: Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978, 159−218.

14. Я. Г. Синай, Построение динамики в одномерных системах статистической механики, Теор. матем. физика, 11:2 /1972/, 248−258.

15. Э. Презутти, М. Пульвиренти, Б. Тироцци, Эволюция во времени бесконечных классических систем с сингулярным далбнодей-ствующим парным потенциалом. В сб.: Новое в зарубежной науке, М.: Мир, 1978, 219−240.

16. И. Я. Гольдшейд, С. А. Молчанов, 0 проблеме Мотта, ДАН СССР, 230:4 /1976/, 761−764.

17. И. Я. Гольдшейд, С. А. Молчанов, Л. А. Пастур, Случайный одномерный оператор Шрёдингера имеет чисто точечный спектр, Функц. анализ, 11:1 /1977/, 1−10.

18. С. А. Молчанов, Структура собственных функций одномерных неупорядоченных структур, Изв. АН СССР, 42:1 /1978/, 70−103.

19. Е. И. Динабург, Я. Г. Синай, 0 спектре одномерного уравнения Шредингера с квазипериодическим потенциалом, Функц. анализ, 9:4 /1974/, 8−21.

20. В. А. Чулаевский, 0 возмущениях оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом, УМН, 36:5 /1981/, 203−204.

21. J. Moser, An example of a Schrodinger equation with almost periodic potential and nowhere dense spectrum, Comm. Math. Helv., v.56(1981), 198−224.

22. J. Avron, B. Simon, Almost periodic Schrodinger operators I, Comm.Math.Phys., v.82(1981), 161−126.

23. Э. Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка.-М.: ИЛ, I960.

24. Б. А. Дубровин, В. Б. Матвеев, С. П. Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия, УМН, 31:1 /1976/, 55−136.

25. Б. М. Левитан, Обратная задача для оператора Штурма-Лиувил-ля в случае конечно-зонных и счетно-зонных потенциалов, Тр. Моск. матем. об-ва, т.45 /1982/, 3−36.

26. P. Calogero, On a functional equation connected with integrable many-body problems, Lett. Nuovo Cimento, v.14(1976), 301−364.

27. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление.- М.: Наука, 1979.

28. М. Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.Н.- М.: Мир, 1978.

29. М. Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики. Т.1У.- М.: Мир, 1982.

30. В. А. Марченко. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев: Наукова думка, 1977.

31. Е. Trubowitz, The inverse problem for periodic potentials, Comm. Pure Appl.Math., v.30(1977), 321−327.

32. М. Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики.T.I.- М.: Мир, 1977.

33. В. А. Чулаевский, Метод обратной задачи теории рассеяния в статистической физике, Функц. анализ, 17:1 /1983/, 53−62.

34. В. А. Чулаевский, Стационарные меры интегрируемых систем статистической физики, УМН, 38:6 /1983/, 135−136.