Интерполирование и экстраполирование функций

Решение:

1) Выберем из таблицы синусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

x sin x yi 2yi

1,03 0,8573 0,0051 -0,0001

1,04 0,8624 0,0050 -0,0001

1,05 0,8674 0,0049 -0,0001

1,06 0,8724 0,0048 -0,0001

1,07 0,8772 0,0048

1,08 0,8820

На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполнение соотношения; действительно, .

При вычислении пользуемся формулой:

(x)= (x0)+q(x0),

где q=(x — x0)/h, а x0 — ближайшее значение в таблице, меньшее чем 1,0618. Имеем x0 =1,06; q =(1,0618 -1,06)/0,01=0,18;

sin 1,0618 0,8724+0,180,0049 = 0,873 282.

Выберем теперь из таблицы косинусов несколько значений и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

x cos x yi 2yi

0,11 0,99 396 -0,0011 -0,0001

0,12 0,99 281 -0,0012 -0,0001

0,13 0,99 156 -0,0013 -0,0001

0,14 0,99 022 -0,0014 -0,0001

0,15 0,98 877 -0,0015

0,16 0,98 723

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как), что указывает на возможность применения линейной интерполяции.

Полагаем x0 = 0,14; тогда q = (0,1458 — 0,14)/0,01=0,58; значит,

cos 0,1458 0,99 022+0,58(−0,0014) = 0,989 408.

2) Формула квадратичной интерполяции:

где q = (x — x0)/h, h = xi+1 — xi (i = 0, 1, …, n).

Составим расчетную таблицу:

yi 2yi 3yi

1,675 9,5618 -0,0915 0,0016 0,20

1,676 9,4703 -0,0899 0,0018 -0,30

1,677 9,3804 -0,0881 0,0015 0,20

1,678 9,2923 -0,0866 0,0017 -0,30

1,679 9,2057 -0,0849 0,0014 0,20

1,68 9,1208 -0,0835 0,0016 -0,20

1,681 9,0373 -0,0819 0,0014 0,10

1,682 8,9554 -0,0805 0,0015 -0,20

1,683 8,8749 -0,079 0,0013 0,0

1,684 8,7959 -0,0777 0,0013 0,10

1,685 8,7182 -0,0764 0,0014 -0,10

1,686 8,6418 -0,075 0,0013

1,687 8,5668 -0,0737

1,688 8,4931

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (так как), что указывает на возможность применения квадратичной интерполяции.

Вычислим значение функции в точке 1,6837:

;

и вычислим значение функции в точке 1,6814:

;