Марковские процессы в быстро меняющейся случайной среде

В последнее время большое внимание уделяется исследованию процессов, получающихся из классических процессов заменой постоянных параметров функциями, заданными на траекториях случайных процессов, описывающих поведение среды. Необходимость исследования этих процессов возникает в таких тесно связанных с прикладными задачами областях теории вероятностей, как: теория массового обслуживания и теория надежности (см. [б], [15]), вероятностные автоматы [21], [з], ветвящиеся процессы [il], [20] и др.

Случайные процессы в случайной среде удобно рассматривать, как двумерные процессы ^ ^ (О, ^М) * в которых изменение среды описывается, например, первой координатой. В задачах теории надежности процессом ^ ({) может быть, например, режим функционирования системы, а процессом Г/ («t) — процесс, определяющий надежность системы. Ветвящимся процессом в случайной среде называют процесс (^({J, ? («О), в котором ^(t) при фиксированной траектории ^(i) является обычным неоднородным ветвящимся процессом.

В работе В. В. Анисимова и В. Н. Ситюка [2] получены предельные теоремы для неоднородного пуассоновского процесса в случайной среде, описываемой цепью Маркова, которая в схеме серий может рассматриваться как быстро меняющаяся. Для доказательства предельных теорем исследовались асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений.

В настоящей работе в быстро меняющейся случайной среде изучаются процессы более общего вида. Среда предполагается эргодическим цроцессом, а процесс ^ (i) при заданной траектории Sj (i) является марковским. Метод исследования, предложенный А. Д. Соловьевым, основан на использовании эргодических свойств ^ ({), и не связан с изучением дифференциальных или интегральных уравнений, которые могут быть выписаны для переходных вероятностей в марковском случае. Это обстоятельство позволяет рассмотреть процессы значительно более общего вида по сравнению с процессами, изучавшимися в работе [2], и получить более общие результаты.

Распределения некоторых функционалов от процесса, являющегося предельным для процесса ^(tj, остаются еще достаточно сложными. Дополнительное введение предельного перехода в схеме серий по параметрам предельного процесса, позволяет получить обозримые результаты. Для процесса ^(tj, являющегося цепью Маркова с конечным числом состояний, в схеме серий исследовано асимптотическое распределение числа непоявившихся состояний. Кроме того, получены предельные теоремы для процессов рождения и гибели в быстроменяющейся случайной среде.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов.

В первой главе получены теоремы о сходимости конечномерных распределений и вероятностей перехода с запрещениями второй компоненты Г) (fj к соответствующим конечномерным расцределе-ниям и вероятностям перехода с запрещениями некоторого марковского процесса. В § I рассмотрена следующая модель марковских процессов в случайной среде. Предполагается, что процесс ^({), описывающий состояние среды, является эргодическим процессом: дня любой целочисленной функции (j) (к) fc ^ оо 1 p (!(u))Ju Z h (1) где JT*? — стационарное расцределение ^(i) • Процесс (fj при условии фиксированной траектории ^" (fj является марковским процессом с интенсивностями перехода вида? Д. .

Л I lJ 1.

Предполагается, что функции А{- (К ZJ удовлетворяют следующим условиям:

A) = Z любых t >0.

B) функции 2 ¦. (к i) цри любых г I X е /V зштегрируемы.

Lj f ' J J? no t на любом конечном отрезке по Риману;

C) О ^ С? при любых t/ еД/- ^ (defr/j О <с igT), где Qp некоторые постоянные удовлетворяющие условию Ср < С <&° •.

Основным результатом этого параграфа является теорема I.I. В этой теореме в предположении, что (К {J удовлетворяют условиям А), В), С) и, кроме того, выполнено условие (I), доказана сходимость по вероятности при? о конечномерных распределений процесса г? (t) к конечномерным распределениям неоднородного марковского процесса с интенсивностями перехода (t) вида.

J оо.

At|(*)=Z Ъ мк.

J о J.

Теоремы I и 2 работы являются частными случаями теоремы.

I.I.

В теореме 1.2 устанавливается сходимость вероятностей перехода с запрещениями процесса ^ (i) к вероятностям перехода с запрещениями неоднородного марковского процесса с интенсив-ностями перехода Д- (t).

Во втором параграфе первой главы рассматривается процесс.

SсМ, I №), у которого существуют марковские моменты близкие к моментам скачков ^(ч • Поведение среды? (t) в этом процессе зависит от r^^. Точное оцределение процесса (t) ^ ({)) дано в^п. I. I § 2 главы I. Основные результаты § 2 содержатся в теоремах 2.1 и 2.2.

В теореме 2.1 устанавливается сходимость конечномерных распределений процесса к конечномерным распределениям некоторого предельного марковского процессав теореме 2.2 доказана сходимость вероятностей перехода с запрещениями процесса (ij к аналогичным вероятностям предельного процесса.

Во второй главе рассматривается процесс (? 2 в котором компонента, описывающая поведение внешней среды, (t) «склеивается» из отрезков независимых реализаций геометрически эргодичных процессов ^ .(i), где (К, i) возможные состояния процесса (^ (f). Предполагается, что оо.

I IPf^-W.

— J1.

— П m = е о.

Число состояний ^ ({j конечно. Реализации? совпадают v ^ с независимыми реализациями^. на тех промежутках времени, когда процесс ^ (0 находится в состоянии i, а процесс ^ (t) в конце предыдущего промежутка находился в состоянии К.. Плотность распределения времени пребывания процесса ^ ({) в состоянии 1 при фиксированной траектории. (t) имеет вид 1″ имеет вид I е.

Вероятность перехода (|) из t в J, при условии, что этот переход произошел в момент t равна.

В этой главе исследуется предельное поведение числа, не появившихся за время? состояний цепи Маркова г? ^ (fj, когда 1 ->оо, ?. н> о и, кроме того, могут меняться параметры ^ • • (К) и число состояний 2 (0 • Предельные теоре-J мы о числе непоявившихся состояний для обычных цепей Маркова с дискретным временем (без рассмотрения случайной среды) получены в работах П. Ф. Беляева [4*] и А. М. Зубкова [iO^j .

В § 2 вводится «вложенная цепь Маркова 5 ^ (п) ~ = (Ч } Z^M) «образованная последовательностью состояний процесса (i) ^ J (-t)j в моменты скачков.

Г? • Асимптотические формулы для вероятностей перехода цепи (п) позволяют применить результаты А. М. Зубкова £ю] и установить предельные теоремы для некоторых функционалов от траекторий цепи ^ (п). Переход от вложенной цепи к исследуемым процессам с непрерывным временем Q ({), основан на использовании обобщения неравенства Чебышева, полученного в работе А. М. Зубкова [ 9 ]. Основным результатом второй главы является теорема 3.1 о близости распределения числа М0 л) непоявившихся за П скачков состояний цепи Q (п) к распределению сумм независимых индикаторов. Следствиями этой теоремы являются теоремы 3.6, 3.7, 3.8 и 3.9. В этих теоремах устанавливается асимптотическая нормальность и сходимость к распределению Пуассона числа непоявившихся состояний • В третьей главе исследуются процессы рождения и гибели в случайной среде,.

В первом параграфе рассматриваются ветвящиеся процессы рождения и гибели в быстро меняющейся случайной среде 2 (0= = 2 • Состояние среды описывается геометрически эргодичной цепью Маркова со счетным множеством состояний.

— п.

ZIPnhi е у> о. t=i.

При фиксированной траектории? (i) процесс t) является процессом рождения и гибели с интенсивностью размножения — - I • р (^ (к)) и интенсивностью гибели ул^ - {. р • Основным результатом параграфа является теорема I. I устанавливающая, что при Г->со? О производящая функция сближается с производящей функцией Fft условного распределения числа частиц обычного ветвящегося процесса рождения и гибели.

Во втором параграфе третьей главы доказана теорема о сходимости к экспоненциальному распределению времени до первого достижения высокого уровня процессом рождения и гибели в быстроменяющейся случайной среде. В доказательстве использован результат А. Д. Соловьева [22~] .

По результатам, вошедшим в диссертацию, делались доклады на научном семинаре в МГУ «Вероятностные методы в технике», руководимом академиком АН УССР Б. В. Гнеденко и профессорами А. Д. Соловьевым и Ю. К. Беляевымна Всесоюзной конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» в 1983 г. (г.Петрозаводск) .

Основное содержание диссертации опубликовано в работах к], [i?], [хэ] .

Автор благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Дмитриевичу Соловьеву за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Анисимов В. В. Предельные теоремы дня переключающихся процессов и их применения. — Кибернетика, 1978, J? 6, с. 1.8−118.

2. Анисимов В. В., Ситюк В. Н. Асимптотическое поведение неоднородного пуассоновского потока с ведущей функцией, зависящей от малого параметра, управляемой цепью Маркова. Кибернетика, 1979, Н, с. 83−88.

3. Бежаева З. И. Слабая сходимость матриц переходных вероятностей для условных цепей Маркова. Теория вероятн., и ее примен., 1982, т. ШП, IS I, с. 57−65.

4. Беляев П. Ф. О вероятности непоявления заданного числа исходов. Теория вероятн. и ее цримен., 1964, т. IX, 3, с. 547−551.

5. Беляев Ю. К.

Введение

в задачи прогноза надежности изделий. (В кн. Вопросы математической теории надежности. — М.: Радио и связь, 1983).

6. Дуб Дк.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

7. Зубков A.M. Неравенства дяя вероятностей переходов с запрещениями и их применения. Матем. сб., 1979, т. 109 (151), с. 491−532.

8. Зубков A.M. Цепи Маркова близкие к последовательности независимых испытаний. Матем. заметки, 1979, т. 25, № 3, с. 465−474.

9. Зубков A.M. Явные оценки в законе больших чисел для последовательностей с перемешиванием. ДАН СССР, 1981, т. 261, № 4, с. 786−787.

10. Зубков A.M. Аппроксимации зависимых случайных величин независимыми и их применения. Диссертация на соискание ученой степени докт. физ.-матем. наук. М.: MPIAH, 1981.

11. Козлов М. В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. XXI, й 4, с. 813−825.

12. Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976.

13. Розанов Ю. А. Случайные процессы. М.: Наука, 1979.

14. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.

15. Соловьев А. Д. Аналитические методы расчета и оценки надежности. (В кн. Воцросы математической теории надежности. — М.: Радио и связь, 1983).

16. Чистяков А. В. 0 сходимости конечномерных распределений марковского процесса, управляемого быстрым эргодическим процессом. Матем. заметки, 1980, т. 28, Л 3, с. 443−450.

17. Чистяков А. В. О сходимости конечномерных распределений медленной компоненты одной системы обслуживания. Мат ем. заметки, 1982, т. 32, J? 2, с. 249−259.

18. Чистяков А. В. Предельные теоремы для марковских процессов в быстроменяющейся случайной среде. Матем. сб., 1983, т. 121(163), № 2(6), с. 243−258.

19. Та^ег^Ь P. Snxbvbduyvu^ 104±JL Uobzcfta: xxL. «J. w.

20. IVLvrzot^ki к. QtaJujynbLnji. /WWijiTRTbtjOAmjm^ ^cWtUcJ^L AIUWLte-Vvill, Ыаьта.1юпя22. ОюЪокгШг А.Ъ. A^m^tot-Cct>i a. kd ^ JUsbU, о>ъсЬWlv OYbcdJU^maAlcaX ^аХъ^АьсЛ curuA.