Применение математических методов при исследовании системы международных отношений с использованием функциональных пространств

Математизация современной науки является закономерным и естественным процессом. Если дифференциация научного знания приводит к появлению новых ветвей науки, то интеграционные процессы в познании мира приводят к своеобразной диффузии научных идей из одной области в другую. В XVIII веке Иммануил Кант не только провозглашает лозунг «всякая наука постольку наука, поскольку она математика», но и кладет идеи аксиоматического построения геометрии Евклида в свою концепцию априоризма.1 В то время как в естествознании математика быстро и прочно заняла ведущие позиции, в области социальных наук ее успехи оказались скромнее. Применение математических методов оказалось оправданным там, где понятия носят стабильный характер и становится содержательной задача установления связи между этими понятиями, а не бесконечного переопределения самих понятий. Признавая детерминизм в социальной сфере, тем самым следует признать и наличие научной основы в теории международных отношений. Поэтому система международных отношений, сколь бы не сложна и слабо формализуема она не была, может и должна быть предметом применения математических методов. В научных методах исследования международных отношений крайне заинтересованы политики, практические работники внешнеполитических ведомств, ученыемеждународники, социологи, психологи, географы, военные и др. Эмпиризм в международных исследованиях, т. е. течение, связанное с исследованиями статистической информации в международных отношениях, привнес в теорию много разных и разнородных методов и алгоритмов. Возникла необходимость систематизации и единого подхода к статистическим данным. Международная информация как особый вид информации нуждалась в специализированных методах обработки. В условиях динамического развития событий в стране крайним анахронизмом оказался действующий с момента окончания второй мировой войны режим секретности. Еще в 1989 г. начались подготовительные работы по созданию нового более совершенного информационного режима. Первый исследовательский этап работы охватывал период с 1988 по 1990 г. и включал в себя разработку проекта закона о государственной тайне и о защите секретной информации, а также поиск концепции предотвращения ущерба от некорректного классифицирования информации. На Министерство иностранных дел были возложены задачи поиска правовых и процедурных норм классифицирования внешнеполитической информации. В комплексе возникших проблем ведущее место заняла проблема построения математической модели воздействия классифицирования информации на безопасность страны. Таким образом, проблема корректного описания и прогнозирования информационных потоков в системе МИД оказалась в ряду стратегических, особо важных для государства.

Международные отношения, как известно, включают в себя всю совокупность отношений между странами, в том числе, политические, экономические, военные, научные, культурные и т. п. Моделирование представляет собой действенный инструментарий, позволяющий объяснять и прогнозировать исследуемый наблюдаемый объект. Представители точных (естественных) и гуманитарных наук в понятие модели вкладывают неодинаковый смысл, наблюдается так называемая методологическая дихотомия, когда противопоставляется историко-описательный (или интуитивно-логический) подход представителей гуманитарных наук аналитико-прогностическому подходу, связанному с применением методов точных наук.

Как отмечает А. Н. Тихонов 2 «Математическая модельприближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики». Под математическим моделированием понимается, обычно, изучение явления с помощью его математической модели. В цитируемой статье А. Н. Тихонов подразделяет процесс математического моделирования на 4 этапа.

1. Формирование закона, связывающие основные объекты модели, что требует знания фактов и явлений, относящихся к изучаемым явлениямэта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели;

2. Исследование математических задач, к которым приводит математическая модель. Основной вопрос этого этапа-решение прямой задачи, т. е. получение через модель выходных данных описываемого объектатипичные математические задачи здесь рассматриваются как самостоятельный объект;

3. Третий этап связан с проверкой согласования построенной модели критерию практики. В случае, если требуется определить параметры модели для обеспечения ее согласования с практикойтакие задачи называются обратными;

4. Наконец, последний этап связан с анализом модели и ее модернизацией в связи с накоплением эмпирических данных.

Существует распространенное мнение, что социальные науки не имеют своего специфического, только им присущего методапотому они так или иначе преломляют применительно к своему объекту общенаучные методы и методы других наук. Математизация социальной науки обусловлена стремлением облечь свои положения и идеи в точные, абстрактные математические формы и модели, желанием деи-деологизировать свои результаты.

Модели экономических взаимоотношений между государствами и регионами представляются нам достаточно проработанной областьюнаука о применении количественных методов в экономических исследованиях получила название эконометрия. Пик исследований в этой области связан, повидимому, с известной работой Д. Форрестера «Мировая динамика», в которой описана модель глобального развития, реализованная на специальном машинном языке «DINAMO». Менее известны результаты математического моделирования политических процессов. Описание политического поведения государств на международной арене является слабо структурированной, плохо поддающейся формализации много факторной задачей. В попытках теоретического обоснования внешней политики с начала XX века выдвигались различные идеи, начало которых имеет истоки в политической жизни античной Греции и Риматечение в рамках историко-философского, морально-этического и правового подходов получило название «политического идеализма», синонимами которого являются также названия «морализм», «нормативизм», «легализм». Практический опыт предвоенного кризиса и второй мировой войны выдвинул новые идеи прагматизма, который позволил бы увязать теорию и практику внешней политики с реальностями XX века. Эти идеи послужили основой для создания школы «политического реализма», лидером которой стал профессор Чикагского университета Г. Морген-тау. В стремлении уйти от идеологии реалисты все чаще стали обращаться к исследованию эмпирических данных математическими методами. Так появилось течение «модернистов», которые зачастую абсолютизировали математические методы в политике как единственно достоверные. Наиболее взвешенным подходом отличались работы.

Д.Сингера, К. Дойча, которые видели в математических методах действенный инструментарий, но не исключали из системы принятия решения человека. Известный математик Дж. фон Нейман считал, что политика должна выработать свою математикуиз существующих математических дисциплин наиболее применимой в политических исследованиях считал теорию игр. В многообразии формализованных методов чаще всего встречаются методы контент-анализа, 3 ивент-анализа4 и метод когнитивного картирования.5.

Идеи контент-анализа (анализ содержимого текста) как метода анализа наиболее часто встречающихся сочетаний в политических текстах привнесены в политику американским исследователем Г. Лас-суэлом6. Ивент-анализ (анализ событийных данных) предполагает наличие обширной базы данных с определенной их систематизацией и обработкой матриц данных. Метод когнитивного картирования разработан в начале 70-х годов специально для политических исследований. Его суть состоит в построении комбинаторного графа, в узлах которого стоят цели, а ребра задают характеризацию возможных связей между целями. Указанные методы все же нельзя отнести к математическим моделям, так как они направлены на представление, структуризацию данных и составляют лишь подготовительную часть количественной обработки данных. Первой математической моделью, разработанной для чисто политической науки, является известная модель динамики вооружений шотландского математика и метеоролога Л. Ричардсона, впервые опубликованная в 1939 г. 7 Л. Ричардсон предположил, что изменение совокупного размера вооружений стороны, участвующей в гонке вооружений пропорционально наличным вооружениям противоположной стороны, причем сдерживающим фактором является собственная экономика, не выдерживающая бесконечного бремени вооружений. Эти простые соображения, переведенные на математический язык, дают систему линейных дифференциальных уравнений, которая может быть проинтегрирована: 6А.

-=кВ-А+Ш с1 В тА-пВч^(0.

Вычислив коэффициенты к, 1, т, п, Л. Ричардсон получил удивительно точные согласования расчетных данных с эмпирическими на примере 1-ой мировой войны, когда с одной строны были Австро-Венгрия и Германия, а с другой Россия и Франция. Уравнения позволили объяснить динамику вооружений конфликтующих сторон .

Именно математические методы позволяют объяснить динамику роста населения, оценить характеристики информационных потоков и других явлений в социальном мире. Приведем, например, оценку динамики распространения математических методов в международных исследованиях. Пусть Х (Ч) — доля математических методов в совокупном объеме исследований по международной тематике на момент времени 1-. Допуская, что прирост исследований по теории международных отношений, использующих математические методы, пропорционален их наличной доле, а также степени удаленности от насыщения А, имеем дифференциальное уравнение: ах кХ (А-Х), решением которого является логистическая кривая.

Наибольших успехов в международных исследованиях добились методы, позволяющие статистически обрабатывать совокупность данных внешнеполитической информации. Методы факторного, кластерного и корреляционного анализа позволили объяснить, в частности, характер поведения государств при голосовании в коллективных органах (например, в конгрессе США или на Генеральной Ассамблее ООН). Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат американским ученым. Так, проект «A Cross-Polity Survey» выполнялся под руководством A. Banks и R. Textor в Массачусетсом технологическом институте. Проект «Correlates of War Project: 1918;1965», который возглавлял D. Singer, посвящен статистической обработке объемной информации о 144 нациях и 93 войнах за период 1818—1965 годы. В проекте «Dimentions of Nations», который разрабатывался в Северо-Западном университете использовались компьютерные реализации методов фактор-анализа вычислительных центров Индианского, Чикагского и Йельского университетов и т. п. Практические задачи по разработке аналитических методик по конкретным ситуациям неоднократно ставились госдепартаментом США перед исследовательскими центрами. Так, например, Д. Киркпатрикпостоянный представитель США в Совете Безопасности, попросила разработать методику, по которой американская помощь развивающимся странам ставилась бы в четкую корреляционную зависимость от результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН этих стран в сравнении с позицией США. Госдепартаментом США также предпринимались попытки посредством анализа данных экспертного опроса оценить вероятность захвата американского посольства в Тегеране во время известных событий. Достаточно полные обзоры по применению математических методов в теории международных отношений составлены, например, М. Николсоном 8, М. Уордом 9и др. .

Исследование современных международных отношений количественными (математическими) методами в Дипломатической академии МИД России проводится с 1987 г. Автором построены модели структуризации и прогнозирования результатов голосования на Генеральной Ассамблее ООН как с использованием компьютерных статистических пакетов, так и с использованием собственных алгоритмов структурной обработки данных. Принципиально новые модели структуризации потоков внешнеполитической информации были разработаны автором в рамках межведомственной правительственной программы «Секрет» при разработке проекта нового государственного информационного режима. Необходимость разработки новых алгоритмов структурной обработки данных настоятельно диктуется практическими потребностями МИД: новая высокоскоростная и высокоэффективная компьютерная техника не позволяет такой роскоши, как старые и слишком общие алгоритмы. Основная идея управления потоками внешнеполитической информации на базе синтетического критерия могущества государства восходит к ранним работам Г. Моргентау10. Индикаторы могущества государства, приведенные в одной из своих работ американским исследователем Д. Смитом11, использовались рабочей группой под руководством профессора Дипломатической академии МИД России А. К. Субботина для создания модели управления информационными ресурсами. Построение математически корректных моделей управления потоками внешнеполитической информации с использованием синтетических критериев представляется сложной задачей. С одной стороны, свертка набора единичных показателей в единый универсальный показатель даже удовлетворяющий необходимым условиям инвариантности, очевидно, приводит к потере информации. С другой стороны, альтернативные методы типа Парето-оптимальных критериев не в состоянии разрешить ситуацию в случае несравнимых систем показателей (максимальных элементов в частично упорядоченном множестве).

Одним из подходов, разрешающих данную ситуацию, может быть подход автора с использованием аппарата функциональных пространств. В частности, в пространстве показателей (индикаторов, компонент) могущества государства выделяется подмножество синтетических показателей: среди которых могут быть, в частности, линейные функции основных (базовых) показателей. В случае линейной замены переменных (т.е., замены базиса) в пространстве базовых показателей эти синтетические показатели преобразуются ковариантно, в отличии от базовых, которые преобразуются контравариантно. Таким образом, предлагаемый метод по сути содержит в себе тензорный подход в общей теории систем, идущий от американского исследователя Г. Крона.

Система единичных показателей (индикаторов), характеризующих государство или политический процесс, является основной информационной базой для принятия внешнеполитического решения. Принятие решений по разным системам показателей приводит, вообще говоря, к несогласованным, если не сказать прямо противоположным выводам. Когда подобные выводы делаются с применением количественных процедур, то это подрывает доверие к использованию математических методов в международных исследованиях. Для исправления подобного положения должны быть разработаны процедуры оценки меры согласованности выборок индикаторов. При отсутствии таких алгоритмов ставится под сомнение не только возможность сколь-нибудь адекватного математического моделирования в системе международных отношений, но и само наличие научного подхода к этой проблеме. Известный американский исследователь Мортон Каплан эти сомнения выразил в работе 12: «Предполагает ли предмет международных отношений сколь-нибудь связное исследование, или же это обыкновенный мешок, из которого вынимается и выбирается то, что в данный момент нас заинтересовало и к чему невозможно применить сколь-нибудь связную теорию, обобщения или унифицировать методы ?». Устранение противоречий в выводах, полученных на основании обработки результатов наблюдений по разным подсистемам индикаторов, в работе предлагается осуществить следующим образом. Естественно считать все мыслимые показатели (индикаторы), описывающие систему международных отношений, неким изначально существующим множеством, которое, очевидно, бесконечно. Это множество предполагается считать актуально бесконечным как завершенную, законченную совокупность показателей, доступную нашему обозрению. Следуя С. Клини13 «эта бесконечность нами рассматривается как актуальная или завершенная, или протяженная или экзистенциональная. Бесконечное множество рассматривается как существующее в виде завершенной совокупности, до и независимо от всякого процесса порождения или построения его человеком, как если бы оно полностью лежало перед нами для нашего обозрения». Согласно абстракции актуальной бесконечности в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент, но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, «. опираясь на абстракцию актуальной бесконечности мы получаем возможность остановить движение, индивидуализировать каждый элемент бесконечной совокупности» 14. Абстракция актуальной бесконечности в математике имеет своих сторонников и противников. Противоположная точка зрения конструктивистовабстракция потенциальной бесконечности опирается на строгое математическое понятие алгоритма: признается существование лишь тех объектов, которые можно построить в результате некоторой процедуры.

Примером таких формализованных подходов к выбору номенклатуры показателей исследуемого объекта являются, например, методики, используемые в органах государственной стандартизации.15 В рамках задачи разработки процедур согласования результатов, полученных по различным выборкам системы индикаторов, возникает проблема пространства, в категориях которого строится соответствующая математическая модель, или, что практически одно и то жепроблема метрики в системе индикаторов. Наиболее распространенные метрики Евклида, Минковского, Хэмминга, будучи введенными на множестве индикаторов, определяют тип абстрактного пространства, в котором строится искомая математическая модель. Именно, наличие метрики позволяет говорить о степени близости государств по отношению друг к другу и получать различные количественные характеристики. Введенные пространства фактически оказываются линейными нормированными пространствами с одноименными нормами, т. е., банаховыми пространствами. Основным методом в теории линейных пространств является метод изучения свойств системы векторов по отношению к линейным преобразованиям самого пространства. Так, основной идеей факторного анализа данных, получившего наибольшее распространение в международных исследованиях, является поиск подходящего ортогонального преобразования, переводящего исходную совокупность векторов наблюдения в другую, интерпретация свойств которой является более простой и наглядной задачей. Легко видеть, что ортогональные преобразования в 1? не сохраняют метрику в пространствах Минковского Ьр для случая р², поэтому естественен вопрос на каких подпространствах метрики 1? и ]> эквивалентны. Задача приобретает корректную формулировку в случае конкретных ортогональных преобразований. Постановка подобной задачи для специального ортогонального преобразованиядискретного преобразования.

Фурье — позволяет понять всю сложность и глубину проблемы. Между тем, именно преобразование Фурье находит широкое применение в теории передачи информации. Идея представления сигнала как суперпозиции отдельных гармоник простого вида получила широкое распространение в электротехнике. Следует отметить, что негармонические колебания, возникающие в электронных системах (диполь Герца, микрофон) требуют для своего изучения других, нетригонометрических ортогональных систем, например, системы функций Уолша16. Во многих случаях свойства функции (сигнала, системы индикаторов) могут быть поняты на основании свойств ее преобразования Фурье, или, говоря другим языком, ее спектрального разложения. Задача однородности системы индикаторов может быть сформулирована в терминах спектральной функции такой системыкакова должна быть структура спектра, чтобы функция была «однородной» на множестве выбранных показателей. При четком определении понятия «однородности» или «моногенности» возникают различные математические задачи. В частности, корректная постановка упомянутой задачи о выборе подпространства, на котором метрики Ь2 и Ьр эквивалентны, получает следующую форму: при какой степени лакунарности спектра функции ]Г (х)еЬ2 эта функция принадлежит пространству Ьр при некотором р>2. Из соображений общности не следует ограничиваться рассмотрением только дискретных преобразований Фурье, т.к. возникающие проблемы являются общими и для континуального случая. Другие случаи «однородности» системы показателей берут свое начало с одной из работ известного математика С. Мандельбройта от 1936 г. и приведены в следующих разделах. Классическим примером ортогонального преобразования для случая дискретного преобразования Фурье является преобразование с матрицей Адамара, поэтому преобразование Фурье для ортогональной системы Уолша иначе называют преобразованием Адамара.

Согласно А.Г. Драгалину17 «совокупность математических теорий, используемых при изучении формальных теорий, называется метаматематикойметатеорияэто совокупность средств и методов для описания и определения некотрой формальной теории, а также исследования ее свойств. Метатеория является важнейшей составляющей частью метода формализации». В работе, в частности, предлагается в качестве метатеории для изучения системы международных отношений, аппарат финитных функций и лакунарных рядов.

Одна из целей работыразработка эффективного математического аппарата анализа системы индикаторов в концепции «политической силы» Г. Моргентау применительно к задачам метри-ко-функционального анализа системы индикаторов могущества государства при классифицировании внешнеполитической информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

(резюме).

Приведенные результаты свидетельствуют о том, что:

1. Развитие математического моделирования в области международных отношений имеет свою историю и устоявшийся математический инструментарийв основном это методы математической статистики, теории дифференциальных уравнений и теории игр. В работе проанализированы основные этапы развития математической мысли применительно к социальной сфере и теории международных отношений, обоснована необходимость создания математических моделей нового поколения на единой методологической основе и предложены новые комбинаторные конструкции применительно к системе международных отношений.

2. В рамках теории политического эмпиризма в работе предложен метод анализа систем политических индикаторов с использованием групповой структуры по операции симметрической разности, что позволило применить теорию характеров абелевых групп и линейных преобразований (в первую очередь дискретного преобразования Фурье с матрицей Адамара). Этот метод в отличии от традиционных методов свертки (усреднения) единичных критериев не приводит к потере исходной информации.

3. Решена принципиально новая задача управления информационными ресурсами во внешнеполитической сфере и предложена методика оценки ущерба от неправильного классифицирования внешнеполитической информации, которая используется в практической работе МИД РФ.

4. Поставлены и решены задачи исследования политического процесса как функции на множестве политических индикаторов с использованием спектральных методов.

5. Получены принципиально новые результаты по дискретной апроксимации ряда метрических задач и выявлена структурная характеристика исключительных множеств в пространстве индикаторов.