Численные методы 4 контрольных работы

Контрольная работа № 1

1. Метод хорд. Дайте геометрическую интерпретацию метода хорд.

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения, изолированный на отрезке. Рассмотрим график функции. Пусть и. Точки графика и соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох.

2. Связь абсолютной и относительной погрешности числа с количеством верных цифр этого числа.

Погрешности округления возникают из-за того, что все вычисления выполняются с ограниченным числом цифр, т. е. производится округление чисел. Погрешности округления могут накапливаться и при плохой обусловленности задачи могут привести к очень большим погрешностям.

3. Метод итераций для решения уравнений с одним неизвестным. Достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень. Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(*)

4. Комбинированный метод. Дайте геометрическую интерпретацию комбинированного метода.

Пусть требуется найти действительный корень уравнения, изолированный на отрезке. Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку, что и имеют одинаковые знаки.

5. Произвести действие над приближенными числами, в которых все знаки верные в узком смысле:

6. Вычислить два числа и при. Какой из результатов будет точнее и во сколько раз?

7. Оцените относительную погрешность разности двух приближенных чисел и, если абсолютные погрешности этих чисел равны. Объясните результат.

Найдем относительные погрешности данных чисел:

8. Представить алгоритм метода дихотомии в форме блок-схемы или в форме последовательного выполнения шагов итерационного процесса.

Метод дихотомии — деление отрезка пополам

9. Требуется измерить с точностью в 1% площадь оковой поверхности усеченного конуса, радиусы основания которого приблизительно равны 2 и 1 метр и образующая приблизительно 5 м. С какой АП погрешностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно взять число ?

Контрольная работа № 2

1. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида

2. Метод декомпозиции вычисления определителя.

Пусть — данная матрица, а и соответственно нижняя (левая) и верхняя (правая) треугольные матрицы.

Справедлива теорема:

Если все главные миноры квадратной матрицы, А отличны от нуля, то существуют такие нижняя L и верхняя U треугольные матрицы, что А=LU. Если элементы диагонали одной из матриц L или U фиксированные (ненулевые), то такое разложение единственно.

Пусть диагонали нижней треугольной матрицы L фиксированы, тогда

3. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

По определению, собственными значениями квадратной матрицы, А называют числа, удовлетворяющие соотношению Ax=. x, (1), где х — собственный вектор.

Перепишем (1) в виде (AЕ)х=0. (2)

4. Методы спуска. Метод покоординатного спуска.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Ах=b (*)

с симметричной положительно определенной матрицей, nxn; bn-мерный вектор.

5. Решить системы нелинейных уравнений методом скорейшего спуска

6. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы и произвести проверку

Контрольная работа № 3

1. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на отрезке.

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

2. Ортогональные системы функций. Примеры ортогональных функций.

Две вещественные функции и на интервале [a, b] называются ортогональными, если .

3. Основная идея построения формул численного дифференцирования.

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту прозводную в некоторой точке.

Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

4. Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения представлен в виде таблицы:

Найти скорость и ускорение т. М в момент сек.

5. Составить алгоритм численного дифференцирования табличной функции с помощью полинома Лагранжа.

Интерполяционный полином Лагранжа для функции на произвольной неравномерной сетке имеет вид:

6. Построить интерполяционные полиномы Ньютона 1-го и 2-го порядка для функции, заданной таблично на равномерной сетке

Вычислить значения полинома и погрешности в точках:

а)

б)

Контрольная работа № 4

1. Квадратурная формула Гаусса. Остаточный член. Формула Гаусса для произвольного интервала .

Полиномы вида, n=0,1,2, называются полиномами Лежандра.

Свойства полиномов Лежандра:

2. Решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Вообще, линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида

3. Схема Рунге-Кутта четвертого порядка.

Пусть функция определяется дифференциальным уравнением при начальном условии. При численном интегрировании такого уравнения методом Рунге-Кутта 4-го порядка определяют четыре числа:

4. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение:

.

Для решения задачи будем использовать следующую схему одного этапа перехода от к :

5. Найти приближенное решение методом последовательных приближений уравнения. Оценить погрешность и найти значения, при которых решение сходится.

Данное уравнение

есть уравнение Фредгольма 2-го рода.

Положим

6. Решить методом Рунге-Кутта 2-го порядка уравнение:

.

Для решения будем использовать ту же схему что и в задаче 4. Заполним расчетную таблицу: