Многомерные когерентные меры риска и их применение к решению задач финансовой математики

1. Аксиомы когерентных и выпуклых мер риска. В работе [10] Ф. Артцнера, Ф. Делбаена, Ж.-М. Эбера и М. Хиса было введено понятие когерентной функции полезности.

Определение 1. когерентная функция полезности определяется как функция и: L°° —> М, обладающая следующими свойствами: a) (диверсификация) и (Х + У) > и (Х) + u (Y) — b) (отношение частичного порядка) если X < Y, то и (Х) < u (Y) — c) (неотрицательная однородность) и{XX) — Xи (Х) для любого d) (инвариантность относительно сдвига) и (Х + т) = и{Х) + т для любого mGl;

Соответствующая когерентная мера риска определяется как.

Класс когерентных мер риска был введен, чтобы устранить недостатки V@R (Value at Risk, «стоимость под риском») — меры, наиболее активно используемой на практике, но имеющей ряд недостатков (например, см. [Ю]).

С этого момента теория когерентных мер риска стала активно развиваться. Достаточно упомянуть работы [5], [6], [8], [9], [И], [17], [22], [29], [34], [35], [37], [58], а также обзоры [30], [36- Ch. 4], [63]. Во всех этих работах рассматриваются одномерные меры риска, т. е. измеряется риск одномерных случайных величин, имеющих смысл стоимости портфелей, выраженной в единицах некоторой базовой валюты. Такой подход оправдан в том случае, когда имеется базовая валюта, или в том случае,.

А > 0- е) (свойство Фату) если р (Х) = -и (Х). когда в конечный момент времени все финансовые позиции ликвидируются, т. е. превращаются в некоторое количество единиц базового актива. Помимо когерентных функций полезности были рассмотрены вогнутые функции полезности (см. работы [17], [34], [37]).

Определение 2. вогнутая функция полезности определяется как функция и: L°° —" R, обладающая свойствами (b), (d), (е), а также свойством а') (вогнутость) и (аХ + (1 — a) Y) > аи (Х) + (1 — a) u (Y) для любого, а € [0,1].

Соответствующая выпуклая мера риска определяется как р (Х) = -и (Х).

Однако подход с использованием одномерных когерентных мер риска неудобен, например, при описании портфеля, состоящего из нескольких валют, когда нет единой «канонической» валюты, к которой должен приводиться портфель. В этом случае гораздо естественнее пользоваться подходом, предложенным Ю. М. Кабановым [50] (см. также [52]), при котором портфель описывается не как число, а как вектор, i-я компонента которого имеет смысл количества в портфеле активов гго типа.

Если описывать портфели как векторы, то возникает необходимость рассмотрения многомерных мер риска. Понятие многомерной когерентной меры риска было введено в работе Э. Жуини, М. Меддеба, Н. Тузи [48] (см. также [20], [40]). Их подход нацелен на то, чтобы учесть операционные издержки при обмене одной валюты на другую. Однако в их модели операционные издержки являются неслучайными. Таким образом, не учитывается риск, связанный с изменением обменных курсов, являющийся на сегодняшний день одним из важнейших финансовых рисков.

В диссертации вводится понятие многомерных когерентных мер риска, учитывающее риск обменных курсов. Наш подход аналогичен подходу [48], однако, в отличие от указанной работы, матрица обменных курсов считается случайной. Также рассматриваются и многомерные выпуклые меры риска. Пусть Р) — вероятностное пространство,.

К: Г2 —> /С — измеримое отображение, где К — множество непустых замкнутых конусов С таких, что С ф Kd, С + WL — С. С финансовой точки зрения, К — конус обменных курсов в момент времени 1 для d различных валют (т. е. К (ш) — множество портфелей, которые мы можем получить в момент времени 1 из нулевого при элементарном исходе и). Пусть С — множество непустых выпуклых замкнутых множеств на векторы X = (X1,., Xd) € (L°°)d имеют смысл портфелей в момент времени 1, т. е. Хг — количество единиц г-й валюты в портфеле в момент времени 1. Зададим частичное отношение порядка на множестве портфелей по формуле: X ^ Y, если Х (и) — Y (cu) S К (си) для п.в. и. Введем следующее определение.

Определение 3. (i) Многомерная когерентная функция полезности — функция и: (L°°)d —> С удовлетворяющая следующим аксиомам: a) (диверсификация) и (Х + Y) 2 и (Х) + u (Y) — b) (отношение частичного порядка) если X ^ Y, то и (Х) С u (Y) — c) (положительная однородность) и (ХХ) — Хи (Х) VA > 0- d) (инвариантность относительно сдвига) и (Х + т) — и (Х) + т для любого т G — р e) (свойство Фату) если ЦХ^Ц < си Хп —> X, то и (Х) Э limn и (Хп), т. е. если х принадлежит бесконечно многим и (Хп), то х принадлежит и (Х). ii) Многомерная вогнутая функция полезности — функция и: (L°°)d —" С {Rd}, удовлетворяющая аксиомам (b), (d), (е) и аксиоме а') (вогнутость) и (аХ + (1 — a) Y) Э аи (Х) + (1 — a) u (Y) для любого, а & [0,1].

С финансовой точки зрения, и (Х) — множество неслучайных портфелей, которые «не лучше» портфеля X. Соответствующая многомерная когерентная (соответственно, выпуклая) мера риска определяется как р (Х) = —и (Х). С финансовой точки зрения, р (Х) — множество неслучайных портфелей х? M. d, которые делают позицию X + х безрисковой.

Очевидно, что если и — одномерная когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности, то отображение v (X) = (—оо, и (Х)] будет многомерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности в смысле определения 3 с d = 1 и К (ш) = Ж. Обратно, если d — 1, К[ш) — R и и — когерентная (соответственно, вогнутая) функция полезности в смысле определения 3, то функция v (X) = sup{x е Ж: х G w (X)} является одномерной когерентной (соответственно, вогнутой) функцией полезности. Таким образом, данное выше определение является многомерным обобщением одномерного.

1. Булинский А. В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит (2008), 480 с.

2. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах функций и его применения в математике и экономике. М.: Наука (1965), 352 с.

3. Матерой Ж. Случайные множества и интегральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир (1978), 318 с.

4. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир (1967), 257 с.

5. Черный А. С. Нахождение справедливой цены на основе когерентных мер риска. Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 3, с. 506−540.

6. Черный А. С. Равновесие на основе когерентых мер риска. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~cherny.

7. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир (1969), 1071 с.

8. Acerbi С. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1505−1518.

9. Acerbi C., Tasche D. On the coherence of expected shortfall. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1487−1503.

10. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently. Risk, 10 (1997), No. 11, p. 68−71.

11. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9 (1999), No. 3, p. 203−228.

12. Barbati A., Beer G., Hess C. The Hausdorf metric topology, the Attouch-Wets topology, and the measurability of set-valued functions. Convex Analysis, 1 (1994), No. 1, p. 107−119.

13. Barrieu P., El Karoui N. Pricing, hedging, and optimally designing derivatives via minimization of risk measures. To appear in: R. Carmona (Ed.). Volume on indifferent pricing. Princeton.

14. Beer G. A Polish topology for the closed subsets of a Polish space. American Mathematical Society, 113 (1991), No. 4, p. 1123−1133.

15. Berkes I., Philipp W. Approximation theorems for independent and weakly dependent random vectors. Annals of Probability, 7 (1979), No. 1, p. 29−54.

16. Bernardo A., Ledoit 0. Gain, loss, and asset pricing. Journal of Political Economy, 108 (2000), No. 1, p. 144−172.

17. Burgert C., Ruschendorf L. Consistent risk measures for portfolio vectors. Insurance: Mathematics and Economics, 38 (2006), No. 2, p. 289−297.

18. Carr P., Geman H., Madan D. Pricing and hedging in incomplete markets. Journal of Financial Economics, 62 (2001), No. 1, p. 131— 167.

19. Cascos I. Depth functions based on a number of observations of a random vector. Working paper 07−29. Statistics and EconometricsSeries, Universidad Carlos III de Madrid (2007). Available from http://econpapers.repec.org/paper/ctewsrepe.

20. Cascos /., Molchanov I. Multivariate Risks and Depth-Trimmed Regions. Finance and Stochastics, 11 (2007), No. 3 p. 373−397.

21. Cherny A.S. General arbitrage pricing model: probability approach. Lecture Notes in Mathematics, 1899 (2007), p. 415−446.

22. Cherny A.S. Weighted V@R and its properties. Finance and Stochastics, 10 (2006), No 2, p. 367−393.

23. Cherny A.S., Madan D. Coherent measurement of factor risks. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~cherny.

24. Cherny A.S., Madan D. САРМ, rewards, and empirical asset pricing with coherent risk. Arvix: math. PR/605 065 (2006).

25. Cherny A.S., Madan D. Pricing and hedging through coherent acceptability. Препринт, доступен на сайте http://mech.math.msu.su/~ cherny.

26. Cochrane J. H., Saa-Requejo J. Beyond arbitrage: good-deal asset price bounds in incomplete markets. Journal of Political Economy, 108, (2000), No. 1, p. 79−119.

27. Cvitanic J., Karatzas I. On dynamic measures of risk. Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 4, p. 451−482.

28. Dalang R. C., Morton A., Wilinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models. Stochastics and Stochastic Reports, 29 (1990), No. 2, p. 185−201.

29. Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces. In: K. Sandmann, P. Schonbucher (Eds.). Advances in finance andstochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann. Springer, 2002, p. 1−37.

30. Delbaen F. Coherent monetary utility functions. Препринт, доступен на сайте http: //www. math. ethz. ch/~delbaen под названием «Pisa lecture notes» .

31. Denault M. Coherent allocation of risk capital. Journal of Risk, 4 (2001), No. 1, p. 1−34.

32. Embrechts P., Puccetti G. Bounds for functions of multivariate risk. Journal of Multivariate Analysis, 97 (2006), No. 2, p. 526−547.

33. Fischer T. Risk capital allocation by coherent risk measures based on one-sided moments. Insurance: Mathematics and Economics, 32 (2003), No. 1, p. 135−146.

34. Follmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints. Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 4, p. 429−447.

35. Follmer H., Schied A. Robust preferences and convex measures of risk. In: K. Sandmann, P. Schonbucher (Eds.). Advances in finance and stochastics. Essays in honor of Dieter Sondermann. Springer, 2002, p. 39−56.

36. Follmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. 2nd Ed., Walter de Gruyter, 2004, 459 p.

37. Frittelli M., Rosazza Gianin E. Putting order in risk measures. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1473−1486.

38. Frittelli M., Rosazza Gianin E. Dynamic convex risk measures. In G. Szego (Ed.). Risk measures for the 21-st century. Wiley, 2001.

39. Grothendick A. Topological vector spaces. New York-London-Paris: Gordon and Breach, (1973), 245 p.

40. Hamel А.Н., Heyde F., Hohne M. Set-valued Measures of Risk. Preprint No. 15−2007, Halle: Martin-Luther-Universitat Halle-Wittenberg, Institut fur Matematik, 2007.

41. Harrison J. M., Kreps D. M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. Journal of Economic Theory, 20 (1979), No. 3, p. 381−408.

42. Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981), No. 3, p. 215−260.

43. Hess C. Loi de probabilite des ensembles al6atoires a valeurs fermees dans un espace n^trique separable. C.R. Academy Science Paris, Series I, 296 (1983), No 21, p. 883−886.

44. Hess C. Contributions a l’etude de la measurabilite, de la loi de probability, et de la convergence des multifunctions. These d’Etat, Montpellier, 1986.

45. Himmelberg C. J. Measurable relations. Fundamental Mathematics, 87 (1975), p. 53−72.

46. Jaschke S., Kuchler U. Coherent risk measures and good deal bounds. Finance and Stochastics, 4 (2001), No. 2, p. 181−200.

47. Jouini E., Kallal H. Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs. Journal of Economic Theory, 66 (1995), No. 1, p. 178−197.

48. Jouini E., Meddeb M., Touzi N. Vector-valued coherent risk measures. Finance and Stochastics, 8 (2004), No. 4, p. 531−552.

49. Jouini Е.} Schachermayer W., Touzi N. Law invariant risk measures have the Fatou property. Advances in Mathematical Economics, 9 (2006), No. 1, p. 49−71.

50. Kabanov Yu. M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets. Finance and Stochastics, 3 (1999), No. 2, p. 237 248.

51. Kabanov Yu. M., Strieker¦ Ch. A teachers' note on no-arbitrage criteria. Lectures Notes in Marhematics, 1755 (2001), p. 149−152.

52. Kabanov Yu. M., Strieker Ch. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs. Journal of Mathematical Economics, 35 (2001), No. 2, p. 185−196.

53. Kabanov Yu.M., Rasonyi M., Strieker Ch. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction. Finance and Stochastics, 6 (2002), No. 3, p. 403−411.

54. Kabanov Yu. M.- Rasonyi M., Strieker Ch. On the closedness of sums of cones in L° and the robust no-arbitrage property. Finance and Stochastics, 6 (2003), No. 3, p. 371−382.

55. Kalkbrenner M. An axiomatic approach to capital allocation. Mathematical Finance, 15 (2005), No. 3, p. 425−437.

56. Koshevoy G.A., Mosler K. Zonoid trimming for multivariate distributions. Annals of Statistics, 25 (1997), p. 1998;2017.

57. Kunze M. Verteiligungsinvariante konvexe Risikoma^e. Diplomarbeit. Humbolt Universitat. Berlin, 2003.

58. Kusuoka S. On law invariant coherent risk measures. Advances in Mathematical Economics, 3 (2001), p. 83−95.

59. Molchanov I. Theory of random sets. Springer, London (2005).

60. Nakano Y. Efficient hedging with coherent risk measure. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 293 (2004), No. 1, p. 345 354.

61. Overbeck L. Allocation of economic capital in loan portfolios. In: W. Hardle, G. Stahl (Eds.). Measuring risk in complex stochastic systems. Lecture Notes in Statistics, 147 (1999), p. 1−17.

62. Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time. Mathematical Finance, 14 (2004), No. 1, p. 19−48.

63. Schied A. Risk measures and robust optimization problems. Stochastic Models, 22 (2006), No. 4, p. 753−831.

64. Sekine J. Dynamic minimization of worst conditional expectation of shortfall. Mathematical Finance, 15 (2005), No. 4, p. 605−618.

65. Staum J. Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds. Mathematical Finance, 14 (2004), No. 2, p. 141−161.

66. Tasche D. Expected shortfall and beyond. Journal of Banking and Finance, 26 (2002), No. 7, p. 1519−1533.

67. Zsilinczky L. Polishness of the Wijsman topology revisted. American Mahematical Society, 126 (1998), No. 12, p. 3763−3765.

68. Куликов А. В. Многомерные когерентные и выпуклые меры риска. Теория вероятностей и ее применения, 52 (2007), в. 4, с. 685−710.