Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин

1.1 Проблема и ее история.

Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п € ./V = {1,2,.}, определены на вероятностном пространстве (П, Т, Р). Обозначим Яп = Х 4- • • • + Хп, — +. + Х. Требуется определить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений отношений 8П/УП) когда п пробегает некоторую подпоследовательность натуральных чисел. Другая задача состоит в том, чтобы описать возможные предельные распределения упомянутых отношений.

Отношение 5П/Т4 не определено, если Уп = 0. Мы будем придерживаться следующего правила, когда требуется определить значение некоторой функции /(Х[,., Хп, Уп) при Уп = 0, полагая.

Разумеется, указанное значение определено для тех функций, для которых предел справа существует. Все функции, которые встретятся в диссертацииимеют определенное значение при Уп — 0 в указанном смысле.

Потребность в решении поставленных задач диктуется логикой развития теории суммирования независимых случайных величин и потребностями в знании асимптотического поведения отношений Зп/Уп для решения многочисленных прикладных задач. В этой связи напомним классическую задачу, которая состоит в том, чтобы найти вещественные числа Ап и Вп> 0, п € Л^, такие, что последовательность функций распределения сумм слабо сходится к некоторой функции распределения. Решение этой задачи описано в монографиях [1] и [5]. В этих работах, в частности, указываются случаи, когда вместо нормирующих постоянных Вп можно взять случайные величины Уп, п <�Е N.

Из числа задач, имеющих необычайно широкое применение в математической статистике, мы укажем на задачу об отыскании распределения ста Уп) Уп=о = НтДХь ., Хп, Уп + е). (1.1).

1.2) тистики Стьюдента. Она определяется следующим образом гр Зп/Уп п ~ - -1)'.

Мы привели модернизированное выражение для Тп по сравнению с классическим определением.

Статистика Стьюдента впервые была введена в употребление в 1908 году в статье [42]. С тех пор она и ее различные модификации широко используются в математической статистике и при решении прикладных задач. С внушительным списком приложений статистики Стьюдента в математической статистике можно ознакомиться по учебнику [9]. Там, в частности, указывается, что распределение статистики Тп можно вычислить, если случайные величины Х:., Хп имеют общее центрированное нормальное распределение.

Если отказаться от предположения о нормальности случайных величин Х,., ХП) то распределение статистики Тп вычислить не удается. В этой связи естественно использовать приближенные распределения. В этом случае знание предельных распределений для Зп/Уп, п Е N, может оказать существенную помощь.

Имеется целый ряд публикаций, посвященных исследованию свойств отношений Зп/Уп, п Е N. Предельные теоремы о слабой сходимости распределений указанных отношений при различных предположениях о случайных величинах изучались в статьях [2], [23], [25], [31], [32], [34], [36], [38]. В некоторых из перечисленных статей изучались также неасимптотические свойства отношений 3П/УП1 п Е N. Так, в работах [17], [23] и [41] указаны неравенства, которые являются аналогами известного неравенства Берри-Эссеена. В статье [32] доказаны утверждения об отношениях Зп/Уп: п Е N, напоминающие закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин.

Во всех упомянутых статьях, за исключением [2], рассматриваются независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п ^ N. В упомянутой статье [2] указаны условия слабой сходимости отношенийЗп! Уп п Е АГ, к нормальному распределению в предположении, что случайные величины Хп, п Е Ny независимы и симметричны. Наиболее законченные результаты об отношении Зп/Уп, п Е N, получены в предположении, что общая функция распределения случайных величин Хп, п Е N, принадлежит области притяжения нормального закона.

Итоги подведены в статье [25]. Там же указана дополнительная литература. Основное утверждение этой статьи состоит в том, что слабая сходимость распределений отношений п € N, к некоторому распределению, за одним исключением, равносильна принадлежности общей функции распределения Р случайных величин Хп, п € ./V, области притяжения некоторого устойчивого закона.

Ранее был известен один частный результат [31], состоящий в том, что слабая сходимость распределений отношений б^/К, п? к стандартному нормальному закону равносильна принадлежности ^ области притяжения нормального закона и одновременному выполнению условия ЕХ = 0. При этом выяснилась одна особенность. Если случайные величины Хп, п е N, имеют ненулевые математические ожидания, то последовательность отношений Зп/Уп, п <�Е ЛГ, может не иметь слабых пределов. Соответствующий пример приведен в статье [31].

Может случиться, что ни при каком центрировании случайных величин Хп, пеИ, последовательность распределений отношений Зп/Уп, п Е N, не сходится слабо, но этим свойством обладают некоторые подпоследовательности Зтп/Утп, п € N. В этой связи естественно обобщить постановку первоначальной задачи. Одно из возможных обобщений состоит в том, чтобы рассматривать последовательности серий Хп)., Хпп1т, п е -/V, независимых в каждой серии случайных величин. По данной серии можно построить сумму = ХП1 + • • • + Хпт^и сумму квадратов (Хп1 — аП1)2 -|——+ (Хптп — аПщп)2, где ап1). ., аптп, п € АГ, — надлежащим образом подобранные вещественные числа. При такой постановке проблемы можно надеяться получить более общие утверждения об отношении Еп/1?т п? N.

1. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. M.-JL: ГИТТЛ, 1949.

2. Егоров В. А. О б асмптотическом поведении самонормированных сумм случайных величин//Теория вероятн. и ее примен., 1996. т. 41, в. 3, с. 643−649.

3. Жукова Г. Н. Асимптотическое поведение статистики Стьюден-та//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. N 3, стр. 37−42.

4. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

5. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

6. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М.: Наука, 1965.

7. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 2. М.: Наука-Физматлит, 2000.

8. Какан Л. Н., Линник Ю. В., Pao С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.

9. Крамер Г. Математические методы статистики. 2-е изд. М.: Мир, 1975.

10. Круглое В. М. К принципу инвариантности//Теория вероятн. и ее примен., 1997, т. 42, в. 2, с. 239−261.

11. Круглое В. М. Слабая сходимость случайных ломаных к винеровскому процессу//Теория вероятн. и ее примен., 1985, т. 30, в. 2, с. 209−218.

12. Круглое В. М. Об одном расширении класса устойчивых распределе-ний//Теория вероятн. и ее примен., 1972. 17, вып. 4. с. 723−732.

13. Круглое В. М., Петровская Г. Н. Слабая сходимость одного функционала/теория вероятн. и ее примен., 2001. 46, вып. 4. с. 779−784.

14. Круглое В. М., Чжан Во Предельные теоремы для максимальных предельных сумм//Теория вероятн. и ее примен., 1996, т. 41, в. 3, с. 520 532.

15. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: изд-во иностр. лит., 1962.

16. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

17. Нагаев С. В. О больших уклонениях автонормированных сумм// Теор. вер. и ее примен., 2004, в печати.

18. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей//Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 176−238.

19. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

20. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. Киев: изд-во Киевского ун-та, 1961.

21. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1967.

22. Фукс А., Иоффе А., Тойгельс Дж. Математическое ожидание отношения суммы квадратов к квадрату суммы: точные и асимптотические результаты//Теор. вер. и ее примен. 2001. 46, вып. 2. с. 297 310.

23. Bentkus V., Gotze F. The Berry—Esseen bound for Student’s statistic/Ann. Probab. 1996. 24. N 1. p. 491−503.

24. O’Brien G.L. A limit theorem for sample maxima and heavy branches in Galton-Watson trees//J. Appl. Prob., 17, 539−545 (1980).

25. Chistyakov G. P., Gotze F. Limit distributions of studentized means//Ann. Probab. 2004, v. 32, N 1. p. 28−77.

26. Csorgo S. Notes on extreme and self-normalized sums from the domain of attraction of a stable law//J. London Math. Soc. 1989. 39. N 2 p. 369−384.

27. Csorgo S., Haeusler E., Mason D. M. A probabilistic approach to the asymptotic distribution of sums of independent, identically distributed random variables//Adv. Appl. Math. 1988. 9. p. 259−333.

28. Darling D. A. The influence of the maximum term in the addition to independent random variables//Trans. Amer. Math. Soc., 1952, v. 73, pp. 95 107.

29. Donsker M. D. An invariance principle for certain probability limit theo-rems//Mem. Amer. Math. Soc., 1951, N 6.

30. Erdos P., Kac M. On certain limit theorems in the theory of probabil-ity//Bull. Amer. Math. Soc., 1946, v. 52, p. 292−302.

31. Gine E., Gotze F., Mason D. M. When is the Student t-statistic asymptotically standard normal?//Ann. probab. 1997. 26. N 3. p. 1514−1531.

32. Gine E., Mason D. M. On the LIL for self-normalized sums of IID random variables//J. Theor. Probab. 1998. 11. N 2. p. 351−369.

33. Griffin P. S., Kuelbs J. D. Self-normalized laws of the iterated logarithms/Ann. Probab. 1989. 17. N 4. p. 1571−1601.

34. Griffin Ph. S. Mason D. M. On the asymptotic normality of self-normalized sums//Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1991. v. 109, p. 597−610.

35. Kruglov V.M., Petrovskaya G.N. Weak convergence of self-normalized random poligonal lines//Journal of Mathematical Scienses 2002. 112. N 2. pp. 4145−4154.

36. LePage R., Woodroofe MZinn J. Convergence to a stable distribution via order statistics//Ann. Probab. 1981. 9. N 4. p. 624−632.

37. Levy P. Theorie de l’addition des variables aleatoires. Paris, 1937.

38. Logan B.F., Mallows G.L., Rice S.O., Shepp L.A. Limit distributions of self-normalized sums//Ann. Probab. 1973. 1. N 5. p. 788−809.

39. Mailer R. A. A note on domains of partial attraction//Ann. Probab. 1980. 8. N 3. p. 576−583.

40. Naresh Jain N. C., Orey S. Domains of partial attraction and tighteness conditions//Ann. Probab. 1980. 8. N 3. p. 584−599.

41. Shao Qi-Man Self-normalized large deviations//Ann. Probab. 1997. 25. N 4. p. 285−328.

42. Student The probable error of a mean//Biometrica, 1908. 6. p. 1−25.