Асимптотика вероятностей малых уклонений гауссовских процессов в гильбертовой норме

Краткая история вопроса.

Теория малых уклонений гауссовских процессов в различных нормах интенсивно развивается в последние годы (см., например, обзоры [69] и [71], практически полная библиография по малым уклонениям представлена в [72]). Этому развитию способствовало обнаружение связей малых уклонений с другими важными математическими задачами, такими как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств, закон повторного логарифма в форме Чжуна и в форме Вичуры, нахождение скорости ухода (rate of escape) бесконечномерного вине-ровского процесса. Недавно была также установлена связь малых уклонений с задачами математической статистики: функциональным анализом данных [52] и непараметрическим байесовским оцениванием [1], [89], [90].

Задача о малых уклонениях случайного процесса X в норме || • || представляет собой описание поведения при е —> 0 вероятности Р{||Х|| ^ е}. Результат, подобный.

Р{||Х|| ^ е} ~ C^expt-dO, ^ 0, с некоторыми вещественными константами С, (3, d и, а называется точной асимптотикой. Если же доказано меньше, а именно.

1пР{||Х|| ^ e}~-d?~a, е-*0, то такой результат называется логарифмической асимптотикой.

В известной монографии Лифшица [14, § 18] отмечается: «Поведение малых уклонений, в отличие от больших, нельзя описать единообразно для всего класса гауссовских мер даже на логарифмическом уровне. Формализм оценивания значений малых уклонений, сравнимый по простоте с применением функционала действия для больших уклонений, еще не найден. Известны лишь частные результаты для нескольких важных специальных ситуаций.» .

Как правило, в работах по малым уклонениям речь шла о нижних и верхних оценках вероятностей Р{||Х|| ^ ?¦}, а точную и даже логарифмическую асимптотику с явно выписываемыми константами удавалось найти лишь для небольшого числа случайных процессов [69], [32].

Настоящая диссертация посвящена изучению асимптотики малых уклонений гауссовских случайных функций в Ьч-норме. Наша основная цель — получение точной асимптотики вероятностей малых уклонений вплоть до констант для ряда конкретных гауссовских процессов. Особое внимание мы уделяем весовой норме в Ьч, где точная асимптотика была ранее известна лишь для немногих простейших весов.

Пусть дан гауссовский процесс Х (1-), а ^? < Ь, с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией й), а ^ ?, я ^ Ь, и неотрицательная, функция ф (£) на [а, 6]. Положим Гь ½ ми = Ц Х2№№) ¦

Если конечен интеграл /пЬ ¿-)^(£)гй, процесс Х{р)у/ф{€) допускает разложение Карунена-Лоэва (см., например, [38]): оо (1.1) где к е М, независимые стандартные гауссовские случайные величины, а 0 и Д (£), к € М, являются собственными значениями и ортонормирован-ными собственными функциями интегрального уравнения.

А/(0 = С в)£ € [а, 6]. (1.2).

• 'а.

Из разложения Карунена-Лоэва получаем следующее равенство по распределению рЪ °° ми = / а к=1.

Таким образом, исходная задача сводится к описанию поведения при е —> О вероятности Р {X^fcLi^fcCjfc ^ ?2}- Первые решения этой задачи были основаны на вычислении преобразования Лапласа, использовании формулы обращения для преобразования Лапласа с выходом в комплексную область и применении асимптотического метода перевала.

Легко видеть, что производящая функция кумулянтов случайной величины XX1 равна оо оо.

— u I]) = - о UC ln (x+(L4) к= 1 / к=1.

В работе Сытой [30] было получено следующее решение задачи о малых уклонениях:

Теорема 1.1. Пусть А^ > 0 и YlkLi^k < оо, тогда при е —> 0 справедливо соотношение.

Р [ркй ^ - {2-kL" {u))~1^2u~1 exp (L (u) — uL'(u)), где и = и (е) является решением уравнения.

Ь'(и)+е2 = 0. Замечание 1. Согласно формуле (1−4), оо. к= 1.

ОО Х2.

Этот результат трудно использовать для конкретных вычислений и приложений, поскольку асимптотика задается неявным выражением. Кроме того, явные формулы для собственных значений известны лишь для немногих процессов (см. [51, 67, 81]).

Поэтому многие авторы, начиная с работ [11, 50, 93], занимались упрощением выражения для вероятности малых уклонений при различных предположениях.

В результате был получен ряд точных и логарифмических асимптотик малых уклонений для гауссовских процессов и полей в гильбертовой норме.

Примерами результатов о логарифмической асимптотике в ?2 могут служить работы [47], [45], [19], [61] и другие.

Вопрос о точной асимптотике малых уклонений оказывается существенно более сложным. В работе [9] была впервые получена точная асимптотика малых уклонений в случае Л^ = к~Л, А > 1. В статье [70] результаты [30] были обобщены на случай рядов в которых случайные величины Z?: имеют распределение из довольно широкого класса (на еще более широкий класс распределений эти результаты обобщены в недавних работах [44], [40], [23] и [85]).

На основе результатов из [70] в работе [51] была найдена точная асимптотика в случае А&- = /(к), где / — положительная, логарифмически выпуклая, дважды дифференцируемая и суммируемая функция. В работе [42] были конкретизированы результаты [51] и вычислена точная асимптотика малых уклонений в случае проинтегрированного и центрированного (по времени) броуновского движения и броуновского моста. Более общие результаты для проинтегрированных процессов были затем доказаны в [57] и особенно в [79].

В работе [21] были описаны малые уклонения процессов Слепяна, а в [22] была получена точная асимптотика малых уклонений в часто встречающемся случае, когда числа А/с являются частными от степеней двух полиномов, то есть.

Если числа Л^ устроены сложнее, то точную асимптотику, как правило, найти не удается. В работе [61] была получена логарифмическая асимптотика малых уклонений случае А&- ~^рг, где р > 1, а (р — медленно меняющаяся на бесконечности дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям (в статье [39] была вычислена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае А&- ~ 1 + 1п/с)г/, где ?1 > 1, и € М, для более широкого класса случайных величин В статье [6] найдена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае, когда коэффициенты близки к геометрической прогрессии, то есть А&- = + о (1))&-, где 0 < д < 1.

При вычислении асимптотики малых уклонений в ½ очень полезна теорема сравнения, полученная в [67].

Теорема 1.2. Пусть Лк ^ 1, — положительные числа, такие, что Хк < оо, Ак < оо и 111 ~ Ч/^кI < оо. Тогда при? ^ О.

00 /со г/2(оо ^.

Е } ~ (П) р {Е «} •.

В статье [56] (см. также [58]) условие — < оо было ослаблено и заменено условием сходимости бесконечного произведения Пь=1 ^к/^к.

А. И. Назаровым и Я. Ю. Никитиным в работах [79], [78] был разработан новый подход, позволяющий получать асимптотику собственных чисел и асимптотику малых уклонений в 1,2-норме с точностью до константы для гауссовских процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина самосопряженного дифференциального оператора из довольно широкого класса. В статье [17] был предложен способ вычисления константы расхождения, основанный на методах комплексного анализа (близкие результаты были получены в работах [55], [56]).

Кроме асимптотики вероятностей малых уклонений для случайных процессов в диссертации получено несколько результатов о малых уклонениях гауссовских случайных полей. О малых уклонениях в многопараметрическом случае известно гораздо меньше, чем в однопараметрическом. Первые результаты о малых уклонениях случайных полей — логарифмическая асимптотика для дву-параметрического поля Винера-Ченцова — были получены в работах [15], [47]. В статье [19] была установлена логарифмическая асимптотика малых уклонений для обычного и дробного броуновского движения Леви, а также дробного поля Орнштейна-Уленбека. В работе [61] изучались малые уклонения для случайных полей, имеющих структуру тензорного произведения, то есть таких полей Х (Ь,. ковариационная функция которых распадается в произведение маргинальных ковариационных функций:

• • •, вь ., = Са (*1, в1) ¦ • - С?^, ва).

Точная асимптотика малых уклонений в многопараметрическом случае известна лишь для проинтегрированного и обычного броуновского листа [53].

Упомянем и о малых уклонениях в более общих нормах Ьр. Один из первых результатов о точной асимптотике здесь был получен для малых уклонений винеровского-процесса в Ьр-норме [5]. В статье [73] была получена логарифмическая асимптотика для симметричных ск-устойчивых процессов Римана-Лиувилля в нормах из широкого класса, включающего? р-нормы. В последние годы асимптотика малых уклонений винеровского процесса и связанных с ним процессов в Ьр, р > О, изучалась в серии работ Фаталова [33, 34, 36], в которых разработан новый оригинальный метод исследования, основанный на сведении малых уклонений гауссовских процессов к большим уклонениям времен пребывания.

Существует немало результатов о малых уклонениях гауссовских процессов в иных нормах, например, в гёльдеровских, соболевских нормах и супремум-норме, см. [72], но их рассмотрение находится за рамками настоящей работы.

Результаты диссертации.

Переходим к описанию основных результатов работы. Она состоит, помимо Введения, из семи параграфов и списка литературы.

В параграфе 2 решается вопрос о нахождении асимптотики малых уклонений для взвешенных случайных процессов. Для процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина дифференциального оператора из довольно широкого класса, и достаточно гладких невырожденных весовых функций явно выписывается асимптотика малых уклонений с точностью до константы. Условиям основной теоремы § 2 удовлетворяют многие известные процессы, например, винеровский процесс, броуновский мост, процесс Орнштейна-Уленбека, их многократно проинтегрированные аналоги. В последующих параграфах обсуждаются случаи, когда возможно провести до конца все вычисления и получить явное выражение для константы расхождения.

В параграфе 3 рассматриваются гауссовские случайные процессы, у которых собственные функции ковариации выражаются через тригонометрические функции. Вычисляется точная асимптотика малых уклонений процессов, являющихся обобщением винеровского процесса и броуновского моста, с четырьмя конкретными дробно-рациональными весами.

В параграфах 4 и 5 рассматриваются процессы, собственные функции которых выражаются через функции Бесселя.

В § 4 вычисляется точная асимптотика для ряда процессов, порождающих краевые задачи второго порядка: для броуновского моста со степенным весом, для процесса Орнштейна-Уленбека на отрезке и на полуоси с экспоненциальным весом, а также для так называемого онлайн-центрированного винеровского процесса со степенным весом. В § 5 вычисляется точная асимптотика малых уклонений для процессов, порождающих краевые задачи четвертого и более высокого порядка: для однократно проинтегрированного онлайн-центрированного винеровского процесса с квадратичным весом, а также для различных многократно проинтегрированных случайных процессов со степенным весом.

В параграфах 6 и 7 изучаются малые уклонения случайных процессов, имеющих важное значение для физических и статистических приложений.

В § 6 рассматриваются процессы Боголюбова. Вычисляется точная асимптотика для процессов Боголюбова с единичным и экспоненциальным весом, а также для многократно проинтегрированных процессов Боголюбова.

В § 7 вычисляется логарифмическая асимптотика малых уклонений с произвольным суммируемым весом для процесса Матерна с любым индексом, точная асимптотика для процессов Матерна с произвольным натуральным индексом, а также логарифмическая асимптотика для полей Матерна.

В параграфе 8 изучаются малые уклонения броуновской экскурсии, броуновского меандра и ряда других броуновских функционалов в тесной связи с малыми уклонениями броуновского локального времени и бесселевскими процессами.

Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции «Вероятности малых уклонений и смежные вопросы» (Санкт-Петербург, 12−19 сентября 2005 г.), на семинаре Института математической стохастики Гет-тингенского университета под руководством проф. М. Денкера (в июне 2007 г.), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике Билефельд-ского университета под руководством проф. Ф. Гётце (в июле 2008 г.), на Первом Северном трехстороннем (финско-шведско-российском) семинаре (Эспоо, 9−11 марта 2009 г.), на Шестнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Санкт-Петербург, 19−24 мая 2009 г.), на 33-й Конференции по случайным процессам и их приложениям (Берлин, 27−31 июля 2009 г.), на Десятой международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 28 июня — 2 июля 2010 г.) и на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (в октябре 2010 г.) Они опубликованы в восьми работах [95]—[102].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения и семи параграфов.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- СПб.: Лань, 2003.

2. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. — Пер. с франц.- М.: Наука, Физматлит, 1972.

3. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: ТЕНМС, 1995.

4. Лифшиц М. А., Цирельсон Б. С. Малые уклонения гауссовских полей. // Теория вероятн. и ее примен. — 1986. — Т. 31, № 3. — С. 632−633.

5. Михайлова Е. М. Асимптотические распределения для броуновского движения со сносом. // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, № 4. — С. 173−174.

6. Назаров А. И. О точной константе в асимптотике малых уклонений в Ь2-норме некоторых гауссовских процессов. — Нелинейные уравнения и математический анализ. Новосибирск: Т. Рожковская, 2003, с. 179−214. (Проблемы матем. анализа, в. 26).

7. Назаров А. И. Об одном семействе преобразований гауссовских случайных функций. // Теория вероятн. и ее примен. — 2009. — Т. 54, № 2. — С. 209 225.

8. Назаров А. И., Никитин Я. Ю. Логарифмическая асимптотика малых уклонений в ½-норме для некоторых дробных гауссовских процессов. /./ Теория вероятн. и ее примен. — 2004. — Т. 49, № 4. С. 695−711.

9. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.

10. Никитин Я. Ю., Орсингер Э. Точная асимптотика малых уклонений процессов Слепяна и Ватсона в гильбертовой норме. // Зап. научн. семин. ПОМИ.- 2004. Т. 320. — С. 120−128.

11. Никитин Я. Ю., Харинский П. А. Точная асимптотика малых уклонений в ½-норме для одного класса гауссовских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2004. — Т. 311. — С. 214−221.

12. Csorgo M., Shi Z., Yor M. Some asymptotic properties of the local time of the uniform empirical process. // Bernoulli. — 1999. — V. 5. — P. 1035−1058.

13. Janson S. Brownian excursion area, Wright’s constants in graph enumeration, and other Brownian areas. // Probability Surveys. — 2007. — V. 4. — P. 80−145.

14. KaroP A., Nazarov A., Nikitin Y. Small ball probabilities for Gaussian random fields and tensor products of compact operators. // Trans. Amer. Math. Soc. — 2008. V. 360, № 3. — P. 1443−1474.

15. Kelbert M. Ya., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D. Fractional random fields associated with stochastic fractional heat equations. // Adv. Appl. Prob. — 2005. V. 37. — P. 108−133.

16. Kiefer J. k-sample analogues of the Kolmogorov-Smirnov and Cramer-von Mises tests.// Ann. Math. Stat. 1959. — V. 30. — P. 420−447.

17. Kleptsyna M. L., Le Breton A. A Cameron-Martin type formula for general Gaussian processes — a filtering approach. // Stochast. Stochast. Rep. — 2002. V. 72, № 3−4. — P. 229−250.

18. Lachal A. Study of some new integrated statistics: computation of Bahadur efficiency, relation with non-standard boundary value problems. // Math. Meth. Statist. 2001. — V. 10, № 1. — P. 73−104.

19. Li W. V. Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms. // J. Theoret. Probab. 1992. — V. 5, № 1. — P. 1−31.

20. Li W. V. Small ball probabilities for Gaussian Markov processes under the Lp-norm. // Stoch. Processes and Their Appl. — 2001. — V. 92. — P. 87−102.

21. Пусев Р. С. Малые уклонения полей и процессов Матерна в гильбертовой норме. // Доклады РАН. 2008. — Т. 422, № 6. — С. 741−743.

22. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Матерна в 1,2-норме с весом. // Обозрение прикл. и промышл. матем. — 2009. — Т. 16, № 2. — С. 271.

23. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений в весовой квадратичной норме для полей и процессов Матерна. // Теория вероятн. и ее примен. — 2010. Т. 55, № 1. — С. 187−195.

24. Пусев Р. С. Асимптотика малых уклонений процессов Боголюбова в квадратичной норме. // Теор. и мат. физика. — 2010. — Т. 165, № 1. — С. 134−144.

25. Назаров А. И., Пусев Р. С. Точная асимптотика малых уклонений в Ь2-норме с весом для некоторых гауссовских процессов. // Зап. научн. семин. ПОМИ. 2009. — Т. 364. — С. 166−199.

26. Nikitin Ya. Yu., Pusev R. S. Small deviation probabilities for Matern processes under weighted L2-norm. — SPA 2009, Abstract book of 33rd Conference on Stochastic Processes and Their Applications, Berlin, 27th July 31st July, 2009, p. 185−186.

27. Pusev R. Small deviations for the Bogoliubov process. — Abstracts of the 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 2010, p. 241−242.