Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей

Систематическое изучение неравенств началось с выходом в светныне классической монографии Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуда и Г. Полиа [11], где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < со: дискретное неравенство Харди верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {аА-}]*3, и интегральное неравенство Харди.

Г {УотаУах — (^т (оа2) выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, сю), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.

Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей, а = К}~1 вещественных чисел таких, что.

Аналогично, Ьр состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = /(:х) таких, что.

0.0.1) а11гоо := зир|а*|.

ИЛЬоо := ев88ир|/(ж)|. ж€(0,оо).

При 1 < р < оо пространства 1Р и Ьр являются линейными нормированными пространствами.

Определим линейные операторы которые называются дискретным оператором Харди и интегралънъш оператором Харди, соответственно. является наилучшей из возможных. Из неравенств (0.0.1) и (0.0.2) вытекает, что операторы Харди Н и Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1р в 1р и из Ьр в Ьр, соответственно, и их нормы равны.

В дальнейшем неравенства (0.0.1) и (0.0.2) были существенно обобщены и нашли применения во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. Некоторые из этих обобщений и применений изложены в монографиях [5], [30] и [26], а также в историобиблиографической работе [25].

В литературе имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (0.0.2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами •.

Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.

По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос: и.

Отметим, что константа в обоих неравенствах (0.0.1) и (0.0.2).

Бореля. найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности {ипи {г^}^ такие, что неравенство выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {ап}^^ при фиксированных параметрах 0 < р, д < оо.

Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом ([12], Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если 1<�р<<7<�оои то неравенство (0.0.3) выполняется.

Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг ([22], Теорема 3.1) доказал,.

В 1987;1991 Г. Беннеттом в серии работ [14], [15] и [16] представлена характеризация неравенства (0.0.3) практически для всех соотношений параметров р и д за исключением случая 0 < д < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай 0<�д<1 <�оо независимо и альтернативны: способом был характеризован в 1994 М. С. Браверманом и В. Д. Степановым [19]. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров р ид была решена М. Л. Гольдманом в 1998 [20] (см. также [1], [21]).

0.0.3) то неравенство (0.0.3) выполняется с константа С < дя (р')В.

Сформулируем полученные указанными авторами результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 0.1. (г) Если 1 < р < q < +оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда.

-^(¿-^(^(¿-^^со, (0.0,) или оо ?

А2 := вир ик] ^ у1~р' < оо, (0.0.5.

N>1 у Хк=1.

ИЛИ оо -7/оо / оо Р' Р7 := (Е) Е^ Е"" <�°°' (°-0−6) — к=Ы п=к /) и) Если 0 < р < 1, < д < оо, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда.

А4 := вир (V щ) у]/(к) < оо. (0.0.7) ш) Если 1 < р < оо, < р, и ^ = ^ - то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо /оо р/п г п=1 к=п / Ь=1 /) или оо /оо '/п.

Е"*-' Е"*)) <�""• (° 0−9) п= к—п) /с=1 ги) Если 0 < д < р < 1, то неравенство (0.0.3) выполнено тогда и только тогда, когда л7 := Х>&bdquo- (¿-щ) тах V) < оо. (0.0.10) гг=1 А-=п /——/.

Из доказательств данной теоремы вытекает, что наилучшая константа С в неравенстве (0.0.3) и вышеуказанные константы Ддля каждого диапазона параметров связаны двусторонними неравенствами. Например,.

А2 < С, Аг< С < р’Аи С < Л3 < (р')?С, (0.0.11) причем при р — <7 эти оценки неулучшаемы. Оценки (0.0.11) можно переписать также в виде тах.(д~яАъ {р')~?Аг) < А2 < С < тт (р', 4ь дЛ3) < < тт{р'дКя (р')7)А2.

Более точные соотношения между константами получены в ([16], Теорема 9), где при 1 < р < д < со показано, что.

У + а2 < с < А2. р')-гдр7.

Другие варианты соотношений даны в работах [14] и [19], а именно: а) Если 1 < р < то ч-р

РЯ где /3 = /3(а, Ь) обозначает бета-функцию, и если д = р то.

Аг < С < р’Аи (0.0.13) b) Если 1 < p < q, то.

A2< p < q < oo, то iLzE pq fa-^U-i' (00Л5) и если q = p то.

A3< pAz. (0.0.16) d) Если O<<7<00, то.

V Л6<�С< A*. P.

Аналогичные результаты имеют место для двойственного дискретного неравенства оо / оо ® / ОС) р.

П=1 к—п / / 71~1 / а также для их интегральных аналогов..

Кроме этого, в литературе рассматривалась задача о нахождении необходимых и достаточных условий на неотрицательные меры Бореля А, д и и, при которых для любых неотрицательных измеримых функций / выполняется неравенство Харди f (t) d (t))9d"(x))4 < С ([ f (x)*dv (x)Р. ' [0,оо) J[0& J J J[0,oo) /.

0.0.17).

При 1 < p = q < +oo и d (t) = dt эта задача в 1972 была решена Б. Мукенхоуптом [28], а затем результат тем же методом был обобщен на случай 1 < р < q < +оо (см. [18], [5])..

Во всей полноте неравенство Харди (0.0.17) с тремя мерами было изучено Д. В. Прохоровым [7]..

За последние двадцать лет критерии выполнения неравенств Харди и связанные с этим вопросы об оптимальности и соотношении констант разрабатывались многими авторами (см. [23], [24], [27], [6], [29], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [9], [10], [38], [39], [7], [34], [8], [2], [3]).

Диссертация посвящена изучению обобщений неравенства (0.0.17) и дискретного неравенства Харди (0.0.3), когда пределами суммирования являются переменные функции..

Всюду в диссертации соотношение, А <�С В означает, А < сВ с константой с, зависящей только от р и q, А «В равносильно, А <�С В <�С А. Символы N и Z обозначают соответственно множество всех натуральных чисел и целых чисел, а 9Я+ множество всех измеримых неотрицательных функций. Хе суть характеристическая функция (индикатор) множества Е С (0,оо). Мы пользуемся также символами Lpx для обозначения классов Лебега с мерой Л..

Диссертация состоит из настоящего введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы..

Перейдем к изложению содержания диссертации..

Первая глава «Неравенство Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами. «.

В ней рассматривается неравенство Харди вида (([ № d (t)Y dfi (x)) q.

J (0,oo) J[a{x), b (x)] / / J (0,oo) J где 0 < a (x) < b (x) < oo строго возрастающие дифференцируемые функции. Основными результатами главы являются следующие две теоремы..

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < д < +оо, и А, ?1 — а-конечные борелевские меры на (0, оо) — и, у € Неравенство.

1, .1.

Q q, / Р v{x)(f fudx) dp{x) < С I I fpdi.

0,oo) J[a (x), b (x)} J J J (0,oo) J для всех f > О выполнено тогда и только тогда, когда.

А := sup sup A (s, t) < оо, s>0 s.

A (s, t) := ([ vd?) q (f up’d) P. J[s, t] J J[a{t), b{s)] /.

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С «А..

Во второй теореме доказывается неравенство типа Харди с тремя мерами..

Теорема 1.2. Пусть 1 < р < g < -t-ooX, v и? — борелевские а-конечные мери на (0, оо) и и, v 6 Ш1+. Пусть (иа, vs) — разложение Лебега меры у относительно X, то есть v = где va абсолютно непрерывна относительно X, a vs и X взаимно сингулярны и ^ — производная Радона — Никодима va относительно X. Тогда неравенство v (x)(f uf dxY d?(x) < С ([ f*dvУ J{ 0, oo) J[a (x), b (a-)] J J J (0,oo) J для всех f > 0 выполнено тогда и только тогда, когда b / г / т 1 -р' V.

4 f Г > I dva 4.

Л := sup sup (I vd? I / up (^^) dX) < +oo. s>0 ie[s, a-i (b (s))] J[s, t] J J[a (t), b (s)] V dX.

Более того, для наименьшей константы С в неравенстве справедливо соотношение С «Л..

Вторая глава «Дискретные неравенства Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей «В этой главе изучаются дискретные неравенства Харди вида оо / 4 / ОО р п=1 У1^'^&trade-) / / ^п==1 и 5 / Ч А.

ОО / \ /ОО р.

5>(п)? Д*) <�С Е№М") (0.0.19) n=l а{п)<�к< ОО / J П=1 / для всех вещественных последовательностей /(п) > 0, где а (п) > 1 и Ъ{п) > 1 строго возрастающие функции, принимающие целые значения..

Мы разбиваем наше рассуждение при 0<�р<�д<�оона два случая: l.

< р < 1..

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < q < +оо. Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо | /Ь (п) 7.

А := sup (Е «(*0) I Е w (k)1~P' < к^^тъ J 1 J.

Более того, справедливо соотношение С «А..

Теорема 2.2. Пусть 0.

Л* := sup (*S~]v (k) I sup w p (k) < oo. n J *e[i, b (n)].

Более того, справедливо соотношение С ~ ..

При 0 < < р < оо мы рассматриваем три случая: 1 < д < р < оо, 0.

Теорема 2.3. Пусть 1 < q < р < -Ьоо,? = ^ — К Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда.

П>6 «!(*!) 1 7 1 1 * ш.

1 -р' к) оо..

Более того, справедливо соотношение С ~ В..

Теорема 2.4. Пусть 0 < q < р < 1, = — Тогда неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда оо.

Ъ := / ^(п) I у (к)) вир IV р (к).

1 * ' 1<�к<�Ь (п) оо. п=1 кк>п.

Более того, справедливо соотношение С & Ъ..

Теорема 2.5. Пусть 0 < < р, 1 < р < +оо п? = ^ — неравенство (2.1.3) выполнено тогда и только тогда, когда.

Тогда.

Ъ* оо Е п=1 I 7.

Х>(*)) (Е ^^ к<�Ь (п) г-(п) оо..

Более того, справедливо соотношение С ~ Ъ*..

В третьей главе «Дискретные неравенства типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей» рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди вида i>w (Е /мП 0, где 1 < а (п) < Ь (п) < оо целочисленные строго возрастающие функции..

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < q < -foo. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда.

А := sup sup A (m, п) < оо, т m^n^a-^K™)) где п /ъ (т) 7.

A (m, n):= I $>(fc) I «k=m J а{п) J.

Более того, справедливо соотношение С ~ А..

Теорема 3.2. Пусть 0.

< 1. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда srf := sup sup А (т, п) < +оо, т т<�п<�а-1{Ь{т)) где ^ т, п) := J J sup w~p~(k). k=m J Ща (п), Ъ{т)].

Более того, справедливо соотношение С ~ srf..

Для заданных строго возрастающих последовательностей а (п) и Ь (п) таких, что 1 < а (п) < 6(п) выберем последовательности натуральных чисел {rik}keN, {^ilfceN С N такие, что ni = 2 и при <�п< п’к п’к: a (n'fc) < Ь (пк) < Ь (п) < а (пк + 1) — пк+1 := п’к + 1..

Теорема 3.3. Пусть 1 < < р < +оо. Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда.

В :=.

1 +^, 2).

1 кЬоо, где.

Вк, 1 :=.

О (о. 1 (п) а").

•5л, 2 V п=а{пк) г=Пк.

Ь (п'к) (К.

Е Е «» п=Ь (пк) г=г>-1(гг) 3=п гг с?)1^).

1]>Ь (пк) причем С & В..

Теорема 3.4. Пусть 0 < д < р, 1 < р < +оо и? — ^ — Тогда неравенство (3.2.1) выполнено тогда и только тогда, когда оо,.

Е + ^м) 1 к где К / п к, 1 '• = § («ю ^ ^.

Е (Е «(*) Е.

П=П)Ь к=пк / к=а{п) у с, 2 := V < / К") ^.

Е Е^) Е «м1-* «м причем С ~ 38..

Теорема 3.5. Пусть 0 .