Операторные и следовые неравенства в алгебрах операторов

Актуальность темы

Различные неравенства, содержащие операторы, следы и веса, являются одним из важнейших аппаратов исследования операторных алгебр и связанных с ними пространств измеримых операторов и билинейных форм. Многочисленные работы посвящены изучению таких неравенств, либо включают подобные исследования как свою существенную часть.

Операторно монотонные и операторно выпуклые функции впервые исследовались в 1930 годах-в работах К. Левнера [27] и Ф. Крауса [26]. Такие функции часто встречаются в исследованиях по теории операторных алгебр и при получении различных операторных неравенств (см., например, [4], [16], [18], [19], [21], [55] и др.). Они также применяются в различных областях физики, например, в квантовой механике, в теории связей и квантовой информации, в специальной теории относительности (см., например, [8]), и в экономической теории [17].

Одной из интересных задач в этой тематике является изучение классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной алгебры операторов. В работах [29] и [42] с помощью теории представлений С*-алгебр X. Осака, С. Д. Сильвестров и Ж. Томияма дали описания классов операторно монотонных и операторно выпуклых функций относительно заданной С*-алгебры. Имеются другие работы, посвящены изучению классов операторно монотонных функций и связанных с ними проблем (см., например, [1], [20], [30]).

Рассмотрение алгебры фон Неймана как некоммутативного аналога пространства L°° существенно ограниченных измеримых функций является основой развития так называемого некоммутативного интегрирования.

В работах 50-х годов И. Сигала [41] и Ж. Диксмье [9] была создана теория интегрирования относительно унитарно инвариантной меры на проекторах или то же самое, относительно точного нормального полуконечного следа на полуконечной алгебре фон Неймана. Распространяя сигаловскую теорию на веса, А. Н. Шерстнев создал и со своими учениками развил теорию интегрирования относительно нормального полуконечного веса (см., например, [66]). В работе [15] У. Хаагеруп впервые ввел понятие расширенной положительной части алгебры фон Неймана при изучении неограниченных условных ожиданий в некоммутативном контексте.

В нашей работе рассматривается вопрос об описании классов оператор-но выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана. В отличие от [29], наш подход базируется на некоторых хорошо известных результатах из структурной теории алгебр фон Неймана. Также исследуются неравенства для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана и неравенства для линейных ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

Другое направление предлагаемой работы — исследование следовых неравенств на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах, и их применение к задачам о характеризации следов в классе всех нормальных весов или линейных функционалов на алгебрах фон Неймана и С*-алгебрах.

Хорошо известны аналоги классических неравенств (треугольника, Щвар-ца, Гельдера, Коши-Буняковского, Минковского, Юнга, Гольдена-Томпсона и др.) для канонического следа Тг на полных матричных алгебрах и для следов на операторных алгебрах (см., например, [8], [25], [19], [35], [48], [52], [64] и др.). Пусть т — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана Л4 (см., например, [45, глава V, § 2]). В данной работе для плотно заданных самосопряженных операторов А, В, присоединенных к алгебре фон Неймана М., вещественных функций / и неотрицательных весовых функций w рассматриваются неравенства r{w{Af'2f{A)w{A)ll2) < t{w{A)l'2f{B)w{A)ll2) (.А < В).

Такие неравенства можно рассматривать как промежуточный случай между хорошо изученными операторными неравенствами, /(А) < f (B), и неравенствами монотонности для следа r (f (A)) < r (f (B)).

След является одним из основных объектов в упомянутой выше теории некоммутативного интегрирования Сигала. Поэтому актуальным является вопрос о выделении следов среди весов, удовлетворяющих некоторым условиям. Исследования по задачам о характеризации. следов в классе нормальных весов или функционалов на операторных алгебрах начались в 70-х гг. XX в. В 1979 г. в работе [12] Л. Т. Гарднер доказал, что если для линейного функционала на С*-алгебре, А выполняется неравенство треугольника < <£>(|.А|) для любого оператора, А из А, то <р — след. Там же доказан аналогичный результат для нормального сильно полуконечного веса на алгебре фон Неймана. В 1988 г. в работе [36] Д. Петз и Я. Земанек привели ряд эквивалентных условий, характеризующих след среди линейных функционалов на матричных алгебрахнекоторые свои результаты они обобщили на случай операторных алгебр. В работах О. Е. Тихонова с соавторами получены харак-теризации следов неравенством Юнга, неравенством монотонности, неравенством субаддитивности и неравенствами для модули ([5], [6], [47], [63]). В работе 2006 года [40] Т. Сано и Т. Ятсу получили характеризацию следов среди положительных линейных функционалов на полных матричных алгебрах с помощью неравенств выпуклости. В работе [56] А. М. Бикчентаев получил характеризацию следов в терминах коммутирования произведений проекторов под знаком веса. Аналогичная задача о характеризации следов на йордано-вых алгебрах исследовалась Ш. А. Аюповым [54, глава I, § 4], Г. К. Педерсеном и Е. Штермером [33]. Недавние продвижения в теории сингулярных следов на идеалах компактных операторов и важные приложения этой теории в некоммутативной геометрии привели к задачам характеризации следов в более широких классах весов на алгебрах фон Неймана (см., например, [60], [62]).

В настоящей диссертационной работе рассматривается вопрос о характеризации следов на полных матричных и операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств, неравенства выпуклости и неравенства Араки-Либа-Тирринга [25].

Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:

1. Изучение операторно монотонных и операторно выпуклых функций и связанных с ними неравенств.

2. Исследование взвешенных следовых неравенств на операторных алгебрах.

3. Получение новых характеризаций следов среди линейных функционалов или нормальных весов на операторных алгебрах с помощью различных неравенств.

Методы исследований. Используются методы теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций, теории ограниченных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Применяются также методы спектральной теории для самосопряженных операторов и теории некоммутативного интегрирования.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций, изучении неравенств для операторов и следовых неравенств в теории некоммутативного интегрирования.

Основные результаты диссертации:

1. Дано описание классов операторно выпуклых функций относительно произвольной алгебры фон Неймана.

2. Доказаны аналоги неравенства монотонности и неравенства Хансена для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана.

3. Доказано неравенство монотонности для ограниченных операторов в бесконечномерном пространстве с индефинитной метрикой.

4. Доказаны взвешенные следовые неравенства на алгебрах операторов.

5. Получены новые характеризации следов среди линейных функционалов или нормальных весов на операторных алгебрах с помощью взвешенных неравенств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации прошли апробацию на семинарах «Алгебры операторов и их приложения» при кафедре математического анализа Казанского государственного университета (руководитель — проф. А. Н. Шерстнев), на молодежной научной конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2006 г., 2008 г.), на Девятой международной Казанской летней школе-конференции (г. Казань, 2009 г.), на Воронежской зимней математической школе С. Г. Крейна (г. Воронеж, 2009 г.), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XXI» (г. Воронеж, 2010 г.).

Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [67]—[76] и являются новыми. Совместная статья [67] с руководителем О. Е. Тихоновым из списка ВАК общим объемом 6 страниц. Из совместных работ [67], [68], [73], [76] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы (76 наименований). Общий объем диссертации — 87 страниц машинописного текста.

1. Ameur Y., Kaijser S., Silvestrov S. 1. terpolation classes and matrix monotone functions // J. Opererator Theory. — 2007. — V. 57. — No. 2. — P. 409−427.

2. Ando T. Lowner inequality of indefinite type // Linear Algebra' and Appl. -2004. V. 385. — P. 73−80.

3. Bebiano N., Nakazato H., Da Providencia J., Lemos R., Soares G. Inequalities for J-Hermitian matrices // Linear Algebra Appl. 2005. — V. 407. — P. 125 139.

4. Bendat J., Sherman S. Monotone and convex operator functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. — V. 79. — No. 1. — P. 58−71.

5. Bikchentaev A.M., Tikhonov O.E. Characterization of the trace by monotonicity inequalities // Linear Algebra Appl. 2007. — V. 422. — P. 274 278.

6. Bikchentaev A. M., Tikhonov O.E. Characterization of the trace by Young’s inequality //J. Inequal. Pure Appl. Math. 2005. -V. 6. — No. 2. — Article 49.

7. Blackadar B. Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and Von Neumann Algebras. New York: Springer-Verlag, 2006. — 517 p.

8. Brown L. G., Kosaki H. Jensen’s inequality in semi-finite von Neumann algebras //J. Operator Theory. 1990. — V. 23. — P. 3−19.

9. Dixmier J. Formes lineaires sur un anneau d’operateurs // Bull. Soc. Math. France. 1953. — T. 81. — No. 1. — P. 9−39.

10. Furuichi S., Kuriyama K., Yanagi K. Trace inequalities for products of matrices // Linear Algebra Appl. 2009. — V. 430. — P. 2271−2276.

11. Furuta Т. A > В > 0 assures {ВгАрВг)г/ч > for r > 0, p > 0, q>l with (1 + 2 r) q >p + 2r // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. — V. 101. — No. 1. — P. 85−88.

12. Gardner L. T. An inequatily characterizes the trace // Canad. J. Math. -1979. V. 31. — P. 1322−1328.

13. Ji G., Tomiyama J. On characterizations of commutativity of C*-algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 2003. — V. 131. — P. 3845−3849.

14. Haagerup U. Normal weights on W*-algebras // J. Funct. Anal. 1975. -V. 19. — No. 3. — P. 302−317.

15. Haagerup U. Operator valued weights in von Neumann algebras, I // J. Funct. Anal. 1979. — V. 32. — P. 175−206.

16. Hansen F. An operator inequality // Math. Ann. 1980. — V. 246. — P. 249 250.

17. Hansen F. Application of operator monotone functions in economics // Proc. Estonian Acad. Sciences. 2010. — V. 59. — No. 1. — P. 42−47.

18. Hansen F. Operator inequalities associated with Jensen’s inequality. -Copenhagen: Univ. Copenhagen, Institute of Economics, 2000. 43 p.

19. Hansen F. Convex and monotone matrix functions and their applications in operator theory. Ph.D. dissertation, Copenhagen University, Institute of Mathematics. Report No. 3. — 1983. — 28 p.

20. Hansen F., Ji G., Tomiyama J. Gaps between classes of matrix monotone functions // Bull. London Math. Soc. 2004. — V. 36. — P. 53−58.

21. Hansen F., Pedersen G.K. Jensen’s operator inequality // Bull. London Math. Soc. 2003. — V. 35. — P. 553−564.

22. Hansen F., Pedersen G.K. Jensen’s inequality for operator and Lowner’s theorem 11 Math. Ann. 1982. — 258. — P. 229−241.

23. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I. London: Academic Press, 1983. — 398 p.

24. Kadison R. V., Ringrose J. R. Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol II. London: Academic Press, 1986. — P. 399−1074.

25. Kosaki H. An inequality of Araki-Lieb-Thirring (von Neumann algebra case) // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. — V. 114. — No. 2. — P. 477−481.

26. Kraus F. Uber konvexe Matrixfunktionen // Math. Z. -1936. 41. — P. 18−42.

27. Lowner K. Uber monotone MatrixFunktionen // Math. Z. 1934. — 38. -P. 177−216.

28. Nakazato H., Bebiano N., Da Providencia J .The J-numerical range of a J-Hermitian matrix and related inequalities // Linear Algebra Appl. 2008. -V. 428. — No. 11−12. — P. 2995−3014.

29. Osaka H., Silvestrov S.D., Tomiyama J. Monotone operator functions on C*-algebras // International J. Math. 2005. — V. 16. — P. 181−196.

30. Osaka H., Silvestrov S.D., Tomiyama J. Monotone operator functions, gaps and power moment problem // Math. Scand. 2007. — V. 100. — No. 1. -P. 161−183.

31. Ogasawara T. A theorem on operator algebras //J. Hiroshima Univ. 1955. — V. 18. — P. 307−309.

32. Pedersen G.K. The trace in semi-finite von Neumann algebras // Math. Scand. 1975. — V. 37. — No. 1. — P. 142−144.

33. Pedersen G.K., Stormer E. Trace on Jordan algebras // Canad. J. Math. -1982. V. 34. — No. 2. — P. 370−373.

34. Pedersen G. К., Takesaki M. The Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras // Acta Math. 1973. — V. 130. — No. 1−2. — P. 53−87.

35. Petz D. Jensen’s inequality for positive contractions on operator algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. — V. 99. — Issue 2. — P. 273−277.

36. Petz D., Zemanek J. Characterizations of the trace j j Linear Algebra and Appl. 1988. — V. 111. — P. 43−52.

37. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. New York: Springer-Verlag, 1971. -258 p.

38. Sano T. Furuta inequality of indefinite type // Math. Inequal. Appl. 2007. V. 10. P. 381−387.

39. Sano T. On chaotic order of indefinite type // J. Inequal. Pure and Appl. Math. 2007. — V. 8. — Issue 3. — Article 62.

40. Sano Т., Yatsu T. Characterizations of the tracial property via inequalities //' J. Inequal. Pure Appl. Math. 2006. — V. 7. — Issue 1. — Article 36.

41. Segal I. A поп-commutative extension of abstract integration // Ann. Math.- 1953. V. 37. — No. 2. — P. 401−457.

42. Silvestrov S.D., Osaka H., Tomiyama J. Operator convex functions over C*-algebras // Proc. Estonian Acad. Sciences. 2010. -V. 59. — No. 1. — P. 48−52.

43. Stinespring W. F. Positive functions on C*-algebras j I Proc. Amer. Math. Soc. 1955. — V. 6. — P. 211−216.

44. Stratila S., Zsido L. Lectures on von Neumann algebras. Tunbridge wells (Kent): Abacus Press, 1979. — 478 p.

45. Takesaki M. Theory of operator algebras I. New York: Springer-Verlag, 1979. — 415 p.

46. Takesaki M. Theory of operator algebras II. New York: Springer-Verlag, 2001. — 518 p.

47. Tikhonov O.E. Subadditivity ineqalities in von Neumann algebras and characterization of tracial functional // Positivity. 2005. — V. 9. — P. 259 264.

48. Tikhonov О. E. Trace inequalities for spaces in spectral duality // Studia Mathematica. 1993. — V. 104. — P. 99−110.

49. Tikhonov O.E. On matrix-subadditive functions and a relevant trace inequality // Linear Multilinear Algebra. 1998. — V. 44. — P. 25−28.

50. Wegge-Olsen N.E. K-theory and C*-algebra. A Friendly Approach. New York: Oxford University Press, 1993. — 370 p.

51. Wu W. An order characterization of commutativity for C*-algebras I j Proc. Amer. Math. Soc. 2001. — V. 129. — P. 983−987.

52. Zhan X. Matrix inequalities. Berlin: Springer, 2002. — 116 p.

53. Азизов Т. Я., Иохвидов И. О. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986. — 352 с.

54. Аюпов Ш. А. Классификация и представление упорядоченных йордано-вых алгебр. Ташкент: Фан, 1986. — 124 с.

55. Березин Ф. А. Выпуклые функции от операторов // Матем. сб. 1972. — Т. 88 (130). № 2(6). — С. 268−276.

56. Бикчентаев А. М. Перестановочность проекторов и характеризация следа на алгебрах фон Неймана. I / / Известия ВУЗов. Математика. -2009. № 12. — С. 80−83.

57. Далецкий Ю. JI. Интегрирование и дифференцирование функций эрмитовых операторов, зависящих от параметра // Успехи мат. наук. -1957. Т. 73. — Выпуск 1(73). — С. 182−186.

58. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая часть. М.: Изд-во иностр. литературы, 1962. — 895 с.

59. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. — 400 с.

60. Кери A. JL, Сукочев Ф. А. Следы Диксмье и некоторые прилооюения в некоммутативной геометрии // Успехи мат. наук. 2006. — Т. 61. -Выпуск 6(372). — С. 45−110.

61. Комб Ф. Веса и условные ожидания на алгебрах фон Неймана // Матем. (Сб. переводов). 1974. — Т. 18. — Выпуск 6. — С. 80−113.

62. Кордюков Ю. А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением // Успехи мат. наук. 2009. — Т. 64. — Выпуск 2(386). — С. 73−202.

63. Столяров А. И., Тихонов О. Е., Шерстнев А. Н. Характеризация нормальных следов на алгебрах фон Неймана неравенствами для модуля // Мат. заметки. 2002. — Т. 72. — С. 228−254.

64. Тихонов О. Е. Выпуклые функции и неравенства следов // В. сб. Конструктивная теория функций и приложений. выпуск 5. — Казань: Изд-во Казанского ун-та. — 1987. — С. 77−82.

65. Тихонов О. Е. Непрерывность операторных фунций в топологиях, связанных со следом на алгебре фон Неймана // Известия ВУЗов. Математика. 1987. — № 1. — С. 77−79.

66. Шерстнев А. Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М.: Физматлит, 2008. — 264 с. Работы автора по теме диссертации.

67. Динь Чунг Хоа, Тихонов О. Е. К теории операторно монотонных и операторно выпуклых функций // Известия ВУЗов. Математика. 2010. -№ 3. — С. 9−14.

68. Dinh Trung Hoa, Tikhonov O.E. Weighted trace inequalities of monotonicity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2007. — V. 25. -P. 63−67.

69. Динь Чунг Хоа. Неравенства монотонности и Хансена для элементов расширенной положительной части алгебры фон Неймана // Казанский университет. Казань, 2010. 9 с. — Деп. в ВИНИТИ. — 18.01.2010. -№ 8-В2010.

70. Динь Чунг Хоа. Взвешенные неравенства для следов на *-алгебрах измеримых операторов относительно алгебры фон Неймана // Казанский университет. Казань, 2010. 10 с. — Деп. в ВИНИТИ. — 12.03.10. — № 149-В2010.

71. Динь Чунг Хоа, Тихонов О. Е. Взвешенные неравенства монотонности для следов на операторных алгебрах // Препринт НИИММ им. Н. Г. Чеботарева Казанск. гос. ун-та. 0001−2009. -8с.-(http://www.niimm.ksu.ru/data/preprints/thepreprints/0001−0009.pdf).